2.6 一元一次不等式(组)及其应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 (统考卷 10 题,12 题;统考样卷 17(2)题,18(2)题) 要点归纳 要点 1 不等式的基本性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解不等式中的应用 性质 1 不等式两边加(或减)同一个数 (或式子),不等号的方向不变 如果 a > b,那么 a ± c ①　 >　 b±c 移项 性质 2 不等式两边乘(或除以)同一 个正数,不等号的方向不变 如果 a>b,c>0,那么 ac ②　 >　 bc(或 a c > b c ) 性质 3 不等式两边乘(或除以)同一 个负数,不等号的方向改变 如果 a>b,c<0,那么 ac ③　 <　 bc(或 a c < b c ) 去分母,系数化为 1 要点 2 一元一次不等式的解法及解集表示 解法步骤 与解一元一次方程类似:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项; ⑤系数化为 1(特别注意性质 3 的变号) 注:根据实际情况选择解题步骤,如不等式中无分母,则跳过① 解集 的表示 数轴上 的表示 解集 ④　 x<a　 ⑤　 x>a　 ⑥　 x≤a　 ⑦　 x≥a　 总结 在数轴上表示解集时,要注意“两定”:一定边界点,二定方向. 定边界 点时,“≥”或“≤”是实心圆点,“>”或“<”是空心圆圈;定方向的原则 为小于向左,大于向右 要点 3 一元一次不等式组的解法及解集表示 解法步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来,找出它们的公共部分; (3)根据公共部分写出不等式组的解集,如果没有公共部分,那么不等式组无解 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) 类型 解集 解集在数轴上的表示 确定解集的口诀 x>a x<b{ (统考卷 12 题;统考样卷 17(2)题) ⑧　 a<x<b　 大小小大中间找 x>a x>b{ ⑨　 x>b　 同大取大 62 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 续表 解集的类型 及其在数轴 上的表示 (b>a) x<a x<b{ ⑩　 x<a　 同小取小 x<a x>b{ 􀃊􀁉􀁓　 无解　 大大小小找不到 要点 4 含参不等式组的相关计算 例　 已知关于 x 的不等式组 x≥m,① 5x-2<4x+1. ②{ (1)若该不等式组无解,则 m 的取值范围是􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 ; (2)若该不等式组有且只有 2 个整数解,则 m 的取值范围是􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 　 　 . 【思维模型———数形结合】 第一步:先求不等式②的解集为 x<3; 第二步:在数轴上表示出不等式②的解集,如图所示; 第三步:结合题意表示出 x≥m 的大致位置. (1)思路:不等式组无解,即 x≥m 与 x<3 没有公共部分,如图,可 得 m 的取值范围. 思考:m 能为 3 吗,为什么? (2)思路:由不等式组有且只有 2 个整数解,结合 不等式②的解集得这两个整数解是 2 和 1,即 不等式 x≥m 的最小整数解是 1,如图,可得 m 的取值范围. 注:解含参不等式组的问题,一定要注意临界点的取舍,看清空心和实心是关键. 要点 5 一元一次不等式的实际应用(统考卷 10 题;统考样卷 18(2)题) ◆常见关键词与对应不等号: 见到“大于、多于、超过、高于”用􀃊􀁉􀁖　 >　 ; 见到“小于、少于、不足、低于”用􀃊􀁉􀁗　 <　 ; 见到“至少、不低于、不小于、不少于”用􀃊􀁉􀁘　 ≥　 ; 见到“至多、不超过、不大于、不多于”用􀃊􀁉􀁙　 ≤　 . (1)购买 A,B 两种商品共 m 个,且 A 商品的数量不少于􀪍􀪍􀪍 B 商品的 1 n ,设购买 A 商品 x 个, 则可列不等式为􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 　 ; (2)购买 A,B 两种商品共 m 个,A 商品的单价为 a 元,B 商品的单价为 b 元,总费用不超􀪍􀪍 过􀪍 n 元. 设购买 A 商品 x 个,则可列不等式为􀃊􀁉􀁛　 ax+b(m-x)≤n　 . 72 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 随堂练习 1. [人教七下 P120 第 4 题改编]下列说法错误的是 ( C ) A. 若 a<b,则 a+1<b+1　 　 　 　 　 　 　 　 　 B. 若-2a>-2b,则 a<b C. 若 a<b,则 ac<bc D. 若 a(c2 +1) <b(c2 +1),则 a<b 2. 一件商品的成本价是 50 元,如果按原价的八五折销售,至少可获得 12%的利润,若设该 商品的原价是 x 元,则列式正确的是 ( C ) A. 50-50×12%≥85%x B. 50-50×12%≤85%x C. 50+50×12%≤85%x D. 50+50×12%≥85%x 3. 解不等式 x+1>x +4 2 ,并把它的解集在数轴上表示出来. 第 3 题图 4. 解不等式组 1+x>-2, 2x-1 3 ≤1, ì î í ï ï ï ï 并把解集在数轴上表示出来. 第 4 题图 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 5. [北师八下 P48 例 3]一次环保知识竞赛共有 25 道题,规定答对一道题得 4 分,答错或不答 一道题扣 1 分. 在这次竞赛中,小明被评为优秀(85 分或 85 分以上),小明至少答对几 道题? 温馨提示:请完成《分层作业本》P23~ 24 习题 82 (2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021