2.5 分式方程及其应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

(2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 5　 分式方程及其应用 (统考卷 6 题;统考样卷 13 题) 要点归纳 要点 1 分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 要点 2 分式方程的解法(统考样卷 13 题) 分式方程 去分母 转化 →整式方程 解整式方程 → 有解 检验 → 最简公分母不为 0 →分式方程有解 最简公分母为 0 →解是增根,分式 方程无解 ì î í ï ï ï ï 无解→分式方程无解 ì î í ï ï ï ï ï ï 例 1　 解方程: 3 x-2 = x+1 2-x -1. 答题规范 注意事项 解:方程两边乘①　 (x-2) 　 , 得②　 3=-(x+1)-(x-2) 　 , ①去分母时,方程的每一项都要乘最简公分母; ②分式前为“-”、分子为多项式时,去分母后不要 忘记“-”,并且分子要加括号 解得③　 x=-1　 , — 检验:④　 当 x=-1 时,x-2≠0　 , 一定要写检验过程 故⑤　 x=-1　 是分式方程的解 最后不要忘记写结论 要点 3 分式方程的增根与无解 (1)增根:是去分母后的整式方程的解,同时也使得分式方程的分母等于 0. (2)无解的两种情况:①分式方程化为整式方程后,整式方程无解􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解; ②分式方程化为整式方程后,整式方程的解是分式方程的增根􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,所以分式方程无解. 要点 4 分式方程的实际应用 (1)解题步骤 实际问题 找等量关系 设未知数 → 列分式方程 → 解方程 → 双检验 → 答 注:双检验———①检验是否是分式方程的解;②检验是否符合实际问题. (2)常考类型 类型 1　 工程问题(统考卷 6 题) 例 2　 [人教八上 P152 例 3]两个工程队共同参与一项筑路工程,①甲队单独施工 1 个月􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 完成总工程的 1 3 , 􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 这时②增加了乙队,两队又共同工作了半个月􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,总工程全部完成. 哪个队的施工速度快? 审:工作总量看作“1”,工作总量=工作效率×工作时间. 32 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 甲单独施工的工作量:⑥　 　 　 ;甲单独施工的工作时间:1 个月,可得甲的工作效 率= ⑦　 　 　 ;乙的工作时间:⑧　 　 　 个月,甲增加的工作时间:⑨　 　 　 个月;则 甲的工作总量为⑩　 　 　 　 ;由题意可得甲、乙工作总量和为 1. 设:设乙队单独施工 1 个月能完成总工程的 1 x . 列:􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 　 　 　 　 , 解:解得􀃊􀁉􀁔　 x=1　 , 验:􀃊􀁉􀁕　 检验:当 x=1 时,2x≠0,∴ x=1 是原分式方程的解,且符合实际　 , ∴ 乙队单独施工􀃊􀁉􀁖　 　 　 个月可完成全部任务. 答:􀃊􀁉􀁗　 乙队的施工速度快　 . 类型 2　 行程问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…晚 /少用 /提前 / …”“…先出发􀪍􀪍􀪍,…同时􀪍􀪍到达”“相遇”. 例 3　 [人教八上 P154 第 3 题改编]甲、乙两人分别从距目的地 6 千米􀪍􀪍􀪍和 10 千米􀪍􀪍􀪍􀪍的两地 同时出发,甲、乙的速度比是 3 ∶ 4􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,结果甲比乙提前 20 分钟􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍到达目的地,设甲的速 度为 3x 千米 /时,则所列方程是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 6 3x +20 = 10 4x B. 6 3x = 10 4x +20 C. 6 3x +20 60 = 10 4x D. 6 3x = 10 4x +20 60 审:基本数量关系式:路程 速度 =时间. 设:已知设出甲的速度为 3x 千米 /时. 列:依题意,得􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 　 . (根据甲乙同 时出发,到达目的地的时间差列方程) 【答案】􀃊􀁊􀁒　 C　 路程 (千米) 速度 (千米 /时) 时间 (时) 甲 6 3x 􀃊􀁉􀁘　 　 　 乙 10 􀃊􀁉􀁙　 4x　 􀃊􀁉􀁚　 　 　 类型 3　 购买问题 ◆关键字句:“…是…的 n 倍􀪍􀪍”“…比􀪍…多 /少 /贵 / …”“…与􀪍…相等􀪍􀪍(同)” . 例 4　 某商场准备购进 A,B 两种书包,每个 A 种书包比 B 种书包的进价少 10 元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,用􀪍 600 元购进 A 种书包的个数是用 350 元购进 B 种书包个数的 2 倍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则 A,B 两种书 包每个进价各是多少元? 审:基本数量关系式:总费用 单价 =数量. 设:设 A 种书包每个进价为 x 元, 列:依题意,得􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 　 , (根据两种书包数量的倍数关系列方程) 解:解得􀃊􀁊􀁗　 x=60　 , 总费用 单价(元) 数量(个) A 种 600 x 􀃊􀁊􀁓　 　 　 B 种 350 􀃊􀁊􀁔　 　 　 􀃊􀁊􀁕　 　 　 42 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 验:􀃊􀁊􀁘　 检验:当 x=60 时,x(x+10)≠0,∴ x=60 是原分式方程的解,且符合题意　 , 则 B 种书包每个的进价为􀃊􀁊􀁙　 　 　 元, 答:􀃊􀁊􀁚　 A种书包每个进价为 60 元,B 种书包每个进价为 70 元　 . 随堂练习 1. 已知 2 x-1 = m x 是关于 x 的分式方程. (1)若方程的解为 2,则 m 的值为　 4　 ; (2)若方程的解为正整数,当 m 为整数时,m 的值为　 3 或 4　 ; (3)若方程的解为负数,则 m 的取值范围为　 0<m<2　 ; (4)若方程有增根,则 m 的值为　 0　 ; (5)易错 ∙∙ 　 若方程无解,则 m 的值为　 2 或 0　 . 2. 【2022 年版课标新增内容】某施工队挖掘一条长 96 米的隧道,开工后每天比原计划多 挖掘 2 米,结果提前 4 天完成任务,求实际每天挖掘隧道的长度和实际施工的天数. 小 明同学根据题意列出方程:96 x - 96 x+2 = 4,则方程中未知数 x 表示 　 . 3. 为了实施乡村振兴,某企业帮扶火红村发展林果产业,先后两次购进同种果树苗,第一 次购进树苗用去 12 000 元,第二次用去 10 000 元,第一次树苗的单价是第二次树苗单 价的 1. 5 倍,第二次购进树苗的数量比第一次多 100 棵. 设第二次树苗单价为 x 元,则 可列方程:　 　 　 　 　 　 　 　 . 4. [人教八上 P153 例 4 改编]中国高铁已成为一张世界名片. 经过技术改进,某次列车平均 提速 20 km / h,列车提速前行驶 540 km 所用的时间,提速后可多行驶 60 km,求这次列 车提速前的平均速度. 设这次列车提速前的平均速度为 x km / h,则可列方程: 　 . 5. 解方程: x +5 x2 -x = 4 1-x + 3 x . 解:方程两边乘 x(x-1),得 x+5=-4x+3(x-1), 解得 x=-4, 检验:当 x=-4 时,x(x-1)≠0, ∴原分式方程的解为 x=-4. 温馨提示:请完成《分层作业本》P19~ 22 习题 52