2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 类型 1 变化率问题 设原来的量为 a,变化后的量为 b, (1)若连续两次增长,平均增长率为 x,则 b= ①　 a(1+x) 2 　 ; (2)若连续两次下降,平均下降率为 x,则 b= ②　 a(1-x) 2 　 . 例 1　 每年 8 月 8 日是我国全民健身日,据有关部门统计,某市居民 8 月份第一周人均运 动时长为 4 小时,第三周人均运动时长为 4. 84 小时,若设人均运动时长周平均增长率 为 x,依题意可列方程为③　 4(1+x) 2 =4. 84　 . 类型 2 面积问题 (1)如图 1,设空白部分的宽为 x,则 S阴影 = ④　 (a-2x)(b-2x) 　 ; 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 (2)如图 2、图 3、图 4,设阴影道路的宽为 x,则 S空白 = ⑤　 (a-x)(b-x) 　 ; (3)如图 5,用总长为 m 米的篱笆,围成一个矩形,一边靠墙,若平行于墙的一边长为 x 米 (墙面长度大于 x 米),则所围成矩形的面积为 S = ⑥　 　 　 　 ;如图 6,当在边上留 1 米的门时,S= ⑦　 　 　 　 . 图 5 　 　 　 　 　 图 6 例 2　 如图 7 所示,某小区计划在一个“长为 40 m,宽为 26 m”的矩形场地 ABCD 上修建 三条同样宽的道路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AD 平行,其余部分种草. 若使每 一块草坪的面积都是 144 m2,则道路的宽是⑧　 2　 m. 图 7 　 　 　 　 　 　 图 8 拓展设问 将图 7 中的三条道路分别向上、向左和向右平移到图 8 的位置,若设宽为x m, 则可列方程为⑨　 (40-2x)(26-x)= 144×6　 . 12 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 3 “传播”问题(拓展) (1)细胞分裂:现有 a 个细胞,若每轮分裂中每一个细胞可分裂成 x 个细胞,则第一轮分 裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁒　 ax　 ,第二轮分裂后的细胞总数为􀃊􀁉􀁓　 ax2 　 ; (2)病毒传染:有一个人患流感,若每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,则第一轮后共 有􀃊􀁉􀁔　 (1+x) 　 个人患流感,第二轮后共有􀃊􀁉􀁕　 (1+x) 2 　 个人患流感; (3)植物主干分支:一种植物的主干长出 a 个支干,每个支干又长出同样数目的小分支, 则主干、支干和小分支的总数为(1+a+a2)个. 类型 4 “循环”问题(拓展) (1)握手问题:有 n 个人相互之间只握一次手􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则每个人需要握手(n-1)次,总握手次数 为 n(n-1) 2 次; (2)单循环赛问题:有 n 支球队参加比赛,每个球队都要和其他球队进行比赛,且相同的 两个球队只进行一场比赛􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,则每个球队需要进行( n- 1) 场比赛,总的比赛场次为 n(n-1) 2 场; (3)互赠礼物问题:一个班级有 n 名同学,每两名同学之间都要互相赠送􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍一个礼物,则每 个同学需赠送礼物(n-1)个,总的礼物个数为 n(n-1)个. 随堂练习 1. [鲁教八下 P76 例 2 改编]新华商场销售某种冰箱,每台冰箱进价为 2 500 元. 调查发现,当 销售价为 2 900 元时,平均每天能售出 8 台;而当销售价每降低 50 元时,平均每天就能多 售出 4 台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5 000 元,则每台冰箱的定价应 为　 2 750　 元. 2. 由于新能源汽车越来越多,为了解决充电难的问题,现对一面积为 12 000 m2 的矩形停车 场进行改造,将该矩形停车场的长减少 20 m,减少的这部分区域用于修建电动汽车充电 桩,原停车场的剩余部分就变成了正方形,则原停车场的长是　 120　 m. 3. [人教九上 P19 探究 1 改编]有一个人患了流感,经过两轮传染后共有 121 个人患了流感,则 每轮传染中平均一个人传染了　 10　 个人. 4. [人教九上 P17 第 9 题改编]参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所 有公司共签订了 45 份合同,设有 x 家公司参加,则依题意列方程为 ( B ) A. 1 2 x(x+1)= 45　 　 　 B. 1 2 x(x-1)= 45　 　 　 C. x(x+1)= 45　 　 　 D. x(x-1)= 45 温馨提示:请完成《分层作业本》P17~ 18 习题 22 (2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021