2.3 一元二次方程及其解法-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法 (统考卷 13 题) 要点归纳 要点 1 一元二次方程(ax2 +bx+c= 0,a≠0)必须同时满足以下三个条件: (1)是整式方程; (2)只含有 1 个未知数; (3)未知数的最高次数是 2. 易错警示:对于方程 ax2 +bx+c= 0,只有当①　 a≠0　 时才是 一元二次方程;若 ax2 +bx+c= 0 是一元二次方程,则必然隐含着②　 a≠0　 . 要点 2 一元二次方程的解法(基本思路:降次) 解法 适用形式 方程的根 直接开平方法 x2 = p(p≥0) x=± p (x+n) 2 = p(p≥0) x=± p -n 因式分解法 (x-a)(x-b)= 0 x1 =a,x2 =b x(ax+b)= 0(a≠0) x1 = 0,x2 =- b a 公式法 所有一元二次方程: ax2 +bx+c= 0 (a≠0,b2 -4ac≥0) 求根公式为 x= -b± b2-4ac 2a , 在使用求根公式时: (1)要先将一元二次方程化为一般形式; (2)确定 a,b,c 的值时要带符号 配方法 所有一元二次方程,一般用于: 二次项系数化为 1 后一次项 系数是偶数的方程,形如 x2 + 2mx-n= 0(n+m2≥0) x= ± n+m2 -m 易错警示:①用公式法代 a,b,c 的值时要注意它们的符号; ②对于方程两边含有相同因式(如 2x(x-1)= 3(x-1))的一元二次方程,切勿直接约去公因 式求解导致丢根􀪍􀪍,正确做法是将方程化为两个因式之积为 0的形式,利用因式分解法求解. 例 　 多解法 ∙∙∙ 解方程:x2 +6x+5 = 0. 解法一:因式分解法 解:由原方程,得(③　 x+5　 )(④　 x+1　 )= 0, 即⑤　 x+5　 = 0 或⑥　 x+1　 = 0, 解得⑦　 x1 =-5,x2 =-1　 . 解法二:配方法 解:配方,得 x2 +6x+⑧　 9　 = ⑨　 4　 , 即⑩　 (x+3) 2 =4　 , 得􀃊􀁉􀁓　 x+3=-2　 或􀃊􀁉􀁔　 x+3=2　 , 解得􀃊􀁉􀁕　 x1 =-5,x2 =-1　 . 91 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 解法三:公式法 解:原方程 a=􀃊􀁉􀁖　 1　 ,b=􀃊􀁉􀁗　 6　 ,c=􀃊􀁉􀁘　 5　 , b2 -4ac= 􀃊􀁉􀁙　 16>0　 , x= 􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 　 　 , 解得􀃊􀁉􀁛　 x1 =-5,x2 =-1　 . 要点 3 一元二次方程根的判别式 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 +bx+c= 0 的根的判别式. (1)b2 -4ac= 0⇔方程有􀃊􀁊􀁒　 两个相等　 的实数根(x1 = x2 = 􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 　 );(统考卷 13 题) (2)b2 -4ac>0⇔方程有􀃊􀁊􀁔　 两个不相等　 的实数根; (3)b2 -4ac<0⇔方程􀃊􀁊􀁕　 没有　 实数根. 由(1)(2)知 b2 -4ac≥0⇔方程有两个实数根. 注:由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时,若一元二次方程的二􀪍 次项系数含有字母􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,应注意二次项系数不为 0􀪍􀪍􀪍 这个隐含条件. 要点 4 一元二次方程根与系数的关系 若方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根 x1,x2,则有 x1 +x2 = 􀃊􀁊􀁖　 　 　 ,x1x2 = 􀃊􀁊􀁗　 　 　 . 随堂练习 1. [人教九上 P9 练习第 1 题改编]x2 +8x+　 16　 = (x+4) 2;x2 -12x+　 36　 = (x-　 6　 ) 2 . 2. 请用你认为的最佳方法解下列方程. (1)x2 -2x-4 = 0; 解:由原方程得 x2-2x=4, 则 x2-2x+1=4+1, 即(x-1) 2 =5, ∴ x-1=± 5 , ∴ x1 =1+ 5 ,x2 =1- 5 ; (2)2x2 -5x+2 = 0; 解:a=2,b=-5,c=2, b2-4ac=(-5) 2-4×2 ×2=9>0, ∴ x=5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 =2,x2 = 1 2 ; (3)x(x-7)= 8(7-x) . 解:由原方程得 x(x-7)+8(x -7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7=0 或 x+8=0, ∴ x1 =7,x2 =-8. 3. [青岛九上 P145 第 4 题改编]已知关于 x 的方程 ax2 -4x+1 = 0. (1)若该方程有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是　 a<4 且 a≠0　 ; (2)若该方程有两个相等的实数根,则 a 的值为　 4　 ; (3)若该方程没有实数根,则 a 的取值范围是　 a>4　 ; (4)若该方程有实数根,则 a 的取值范围是　 a≤4　 . 4. 已知方程 x2 -3x+1 = 0 的两根是 x1,x2,则 x1 +x2 +x1·x2 的值是　 4　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P15~ 16 习题 02 (2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021