2.2 一次方程(组)的实际应用-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

(2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 (统考样卷 18(1)题) 要点归纳 类型 1 购买、分配类问题(统考样卷 18(1)题) (1)费用=单位费用×数量 一般结论 →总量=单位量×数量; (2)总费用=甲的单位费用×甲的数量+乙的单位费用×乙的数量; (3)总数量=甲的数量+乙的数量(或甲、乙数量之间和差倍分关系) . 例　 某公司经营甲、乙两种特产,其中甲种特产每吨成本价为 10 万元,乙种特产每吨成 本价为 1 万元,由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的①销售量之和都是􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 100 吨􀪍􀪍􀪍. 若该公司某月销售甲、乙两种特产的 ②总成本为 235 万元􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍,问这个月该公司 分别销售甲、乙两种特产各多少吨? 审:①“总销量” = 100 =甲的销量+乙的销量; ②“总成本” = 235 =甲的单位成本×甲的销量+乙的单位成本×乙的销量. 设:销售甲种特产 x 吨,则销售乙种特产①　 (100-x) 　 吨, 列:可列方程为②　 10x+(100-x)×1=235　 , 解:解得③　 x=15,则 100-x=85　 , 答:④　 这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨　 . 多解法 ∙∙∙ 设销售甲种特产 a 吨,销售乙种特产 b 吨,可列方程组为⑤　 　 　 　 　 . 类型 2 打折销售问题 (1)售价=标价(原价)×折扣(如打八折,折扣就是 80%);(2)利润=售价-进价(成本价); (3)利润率=利润 进价 ×100%,即“获利 15%”指的是“进价(成本价) ×15%” . 类型 3 工程问题:总工作量未定时,可设总工作量为单位 1. (1)总工作量=工作效率×工作时间;(2)总工作量=各单位工作量之和. 类型 4 行程问题(匀速运动):基本关系式 s= v·t. (1)相遇问题(同时出发):如图 1,s甲+s乙 =AB,t甲 = t乙; 图 1 (2)追及问题: 同时不同地:如图 2,s甲 = s乙+AC,t甲 = t乙; 图 2 　 　 图 3 同地不同时:如图 3,甲出发 a 小时后乙出发,在 B 处乙追上甲,s甲 = s乙,t甲 =a+t乙 . (3)航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度. 71 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 类型 5 阶梯费用问题 设基础量为 5,在基础量以内􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍单价为 2 元,超出基础量􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍后,超出部分单价为 3 元. 若共付 m 元,求用量 x. 先判断,有两种情况: 情况 1:m≤2×5 时,关系式为 2x=m; 情况 2:m>2×5 时,关系式为 2×5+(x-5) ×3 =m. 类型 6 配套问题 (1)1 个 A 和 1 个 B 配套:A 的总数量= B 的总数量; (2)m 个 A 和 n 个 B 配套 ∶数量比 A ∶B =m ∶n,即 A 的数量的 n 倍􀪍􀪍 = B 的数量的 m 倍􀪍􀪍. 随堂练习 1. 一件商品如果按标价打九折出售可以盈利 20%,如果打八折出售可以盈利 10 元,求该商 品的标价和进价. 若设标价为 x 元,进价为 y 元,可列方程组:　 　 　 　 　 　 . 2. [鲁教六上 P149 第 10 题改编]铺设一条地下管线,若由甲工程队单独完成需要 12 天,由乙 工程队单独完成需要 24 天. 如果由这两个工程队从两端同时施工,多少天可以铺好这条 管线? 若设 x 天可以铺好这条管线,则可列方程:　 　 　 　 　 　 . 3. [人教七上 P99 第 6 题改编]甲、乙两人从相距 34 km 的两地匀速相向而行,若甲比乙先动身 2 h,则在乙动身 2 h 后甲、乙两人相遇;若乙先走 9. 5 km,则在甲动身 2. 5 h 后,甲、乙两人 相遇,则甲的速度为　 7. 2 km / h　 km / h,乙的速度为　 2. 6 km / h　 km / h. 4. [人教七上 P106 习题 3. 4 第 2 题改编]已知 1 个桌面配 4 个桌腿,木匠师傅用 1 根木材可做 3 个桌面或 12 个桌腿,现在木匠师傅有 24 根木材,如何分配木材才能使桌面和桌腿刚 好配套? 设用 x 根木材做桌面,y 根木材做桌腿,依题意得方程组为 　 . 5. 【2022 年版课标新增内容】如图,学习列方程解应用题时,老师板书的问题和两名同学列 的方程如下. 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用了 2 h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了 2. 5 h. 已知水流的速度是 3 km / h,求船在静水中的平均速度. 兵兵:2(x+3)= 2. 5(x-3) 　 　 　 　 　 倩倩: x 2 - x 2. 5 = 3×2 根据以上信息,有下列四种说法:①兵兵所列方程中的 x 表示船在静水中的平均速度; ②倩倩所列方程中的 x 表示船在静水中的平均速度;③兵兵所列方程中的 x 表示甲、乙两 码头的距离;④倩倩所列方程中的 x 表示甲、乙两码头的距离. 其中正确的是 ( B ) A. ①③　 　 　 　 　 　 　 　 B. ①④　 　 　 　 　 　 　 　 C. ②③　 　 　 　 　 　 　 　 D. ②④ 温馨提示:请完成《分层作业本》P13~ 14 习题 81