2.1 一次方程(组)及其解法-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第二章　 方程(组)与不等式(组) 　 　 (统考卷 4 道,12 分;统考样卷 3 道,15 分) 　 　 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 要点 1 等式的性质 基本性质 文字表达 数学表达 在解方程中的应用 性质 1 等式两边加(或减)同一个数(或 式子),结果仍相等 若 a= b,则 a±c= b±c 移项 性质 2 等式两边乘同一个数,或除以同 一个不为 0 的数,结果仍相等 若 a= b,则 ac= bc; 若 a= b,c≠0,则 a c = b c 去分母, 系数化为 1 要点 2 解一元一次方程:本质是经过移项、合并同类项等步骤,将方程化为 ax=b(a≠0)的 形式,再将系数化为 1,得到 x= b a . 例 1　 解方程:x +2 5 = 2- x -1 2 . 答题规范 注意事项 解:去分母:①　 2(x+2)= 20-5(x-1) 　 , ①不要漏乘不含分母的项; ②分子是多项式时,去分母时加括号 去括号:②　 2x+4=20-5x+5　 , 去掉“-( 　 　 )”形式的括号时,原括号内 的每一项都要变号 移项:③　 2x+5x=20+5-4　 , 移项一定要变号 合并同类项:④　 7x=21　 , ①把方程化为 ax= b(a≠0)的形式; ②字母及其指数不变,只把系数相加 系数化为 1:⑤　 x=3　 方程两边同除以未知数的系数 要点 3 二元一次方程组的解法 (1)基本思想:二元一次方程组 消元 转化 → 一元一次方程; (2)解法:代入消元法,加减消元法. 例 2　 解方程组 2x+3y= 16,　 ① x+4y= 13. 　 ②{ 解法一:代入消元法　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 解法二:加减消元法 解:由②得 x= ⑥　 13-4y　 ,③ 解:②×( -2) +①,得􀃊􀁉􀁔　 -5y=-10　 , 51 基础夯实练·山东数学 第 二 章 　 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 把③代入①,得⑦　 2(13-4y)+3y=16　 , 解得⑧　 y=2　 , ⑨　 将 y=2 代入③中　 ,得􀃊􀁉􀁒　 x=5　 , ∴ 方程组的解为􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 . 解得􀃊􀁉􀁕　 y=2　 , 􀃊􀁉􀁖　 将 y=2 代入②中　 ,得􀃊􀁉􀁗　 x=5　 , 解得􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 , ∴ 方程组的解为􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 . 归纳:①任意一个二元一次方程组都可以用两种消元法求解; ②加减消元法:适用于方程组中两个方程同一未知数的系数相等或互为相反数; ③代入消元法:适用于方程组中一个方程常数项为 0 或某个未知数的系数为 1 或-1. 要点 4 一次方程(组)解的应用 (1)若 x=m 是关于 x 的一元一次方程 ax+b= 0 的解,则 am+b= 0; (2)若 x=m, y=n{ 是关于 x,y 的二元一次方程 ax+by= 0 的解,则 am+bn= 0,要注意二元一次方 程 ax+by= 0 的解不唯一; (3)若 x=m, y=n{ 是关于 x,y 的二元一次方程组 a1x+b1y= 0, a2x+b2y= 0{ 的解,则 a1m+b1n= 0, a2m+b2n= 0.{ 要点 5 ※三元一次方程组的解法 基本思想:三元一次方程组 消元 转化 →二元一次方程组 消元 转化 →一元一次方程. 随堂练习 1. 解方程 1 2 x-1 = - 1 2 x+1 时,利用等式性质变形,下列正确的是 ( C ) A. 两边同时乘 2,得 x-1 = -x+1　 　 　 　 　 　 　 B. 移项,得 1 2 x= - 1 2 x+1-1 C. 移项,得 1 2 x+ 1 2 x= 1+1 D. 两边同时除以 1 2 ,得 x-2 = -x+ 1 2 2. [鲁教六上 P149 第 18 题改编]已知 x=3 是关于 x 的方程mx-2=x+1 的解,那么m的值为　 2　 . 变式 2-1 　 已知 x= 2, y= -1{ 是方程 2x-ay= 6 的一个解,那么 a 的值是　 2　 . 变式 2-2 　 [青岛七下 P72 第 11 题改编]若关于 x,y 的方程组 3x+y= 3m-5, x-y=m-1{ 中,x+y = -1,则 m 的值为　 1　 . 3. 请用你认为最佳的方法解下列方程组. (1) 2x+3y= 12, x+1 = 2y;{ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 (2) 5x-2y= 3, 4x+3y= 7.{ 解: 2x+3y=12,① x+1=2y,②{ 由②得 x=2y-1,③ 把③代入①,得 2(2y-1)+3y=12, 解得 y=2, 把 y=2 代入③,得 x=3, ∴原方程组的解为 x=3, y=2.{ 　 　 　 　 　 解: 5x-2y=3,① 4x+3y=7,②{ ①×3,得 15x-6y=9,③,②×2,得 8x+6y=14,④ ③+④,得 23x=23,解得 x=1, 将 x=1 代入②,得 4+3y=7,解得 y=1, ∴原方程组的解为 x=1, y=1.{ 温馨提示:请完成《分层作业本》P11~ 12 习题 61 参考答案 第一章　 数与式 命题点 1　 实数的相关概念与大小比较 要点归纳 ①不循环　 ②-3 m　 ③盈利 50 元　 ④亏损 80 元 ⑤温度下降 3 ℃ 　 ⑥- 1 2 或 3 2 　 ⑦-a　 ⑧0　 ⑨0　 ⑩-1　 􀃊􀁉􀁓相等　 􀃊􀁉􀁔对称　 􀃊􀁉􀁕-a　 􀃊􀁉􀁖大　 􀃊􀁉􀁗a= -b　 􀃊􀁉􀁘1　 􀃊􀁉􀁙±1 􀃊􀁉􀁚 2 　 􀃊􀁉􀁛108 　 􀃊􀁊􀁒大　 􀃊􀁊􀁓>　 􀃊􀁊􀁔 = 　 􀃊􀁊􀁕> 随堂练习 1. (1)②③⑨􀃊􀁉􀁓􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕;(2)①⑤⑥⑦⑧⑨􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕􀃊􀁉􀁖􀃊􀁉􀁘;(3) ③④ 􀃊􀁉􀁒􀃊􀁉􀁓􀃊􀁉􀁗;(4)①②③④⑥⑦⑨􀃊􀁉􀁓􀃊􀁉􀁔􀃊􀁉􀁕;(5)⑤⑧􀃊􀁉􀁒􀃊􀁉􀁖􀃊􀁉􀁗􀃊􀁉􀁘 2. (1) -1,E;(2)B,F;(3)2 2 -1;(4) -2 或 4 3. | -3 | ,- 1 3 　 4. a<-b<b<-a 5. (1)7. 05 × 107 ;( 2) 5. 07 × 10-8 ;( 3) 3. 3 × 1010 ;( 4) 5. 4 × 103 ;(5)1. 25×10-7 ;(6)5×10-4 命题点 2　 二次根式及其运算 (含无理数的估值) 要点归纳 ①相反数　 ②0　 ③0 和 1　 ④3 a 　 ⑤-1,0,1　 ⑥≥　 ⑦a ⑧ ab 　 ⑨ a÷b 　 ⑩4　 􀃊􀁉􀁓9　 􀃊􀁉􀁔2　 􀃊􀁉􀁕3　 􀃊􀁉􀁖C　 􀃊􀁉􀁗2. 5 􀃊􀁉􀁘3　 􀃊􀁉􀁙C 随堂练习 1. (1)x≥4;(2)x>1;(3)x≥1 且 x≠2 2. (1)3;(2)3;(3) -3;(4) 3 ;(5) 6 ;(6)2;(7)3 2 +2 3 ; (8)1 3. 8 3 命题点 3　 实数的运算 要点归纳 ①na　 ② 1 b 　 ③an 　 ④1　 ⑤ 1 ap 　 ⑥ 1 a 　 ⑦b-a 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 3 2 　 ⑩ 3 3 　 􀃊􀁉􀁓 2 2 　 􀃊􀁉􀁔 2 2 　 􀃊􀁉􀁕1　 􀃊􀁉􀁖 3 2 　 􀃊􀁉􀁗 1 2 　 􀃊􀁉􀁘 3 随堂练习 1. (1)1;(2)12;(3)1;(4)1- 2 ;(5) -2;(6) 1 4 ;(7) -1; (8)2;(9) - 2 2 2. 解:(1)原式= 4-3 3 + 3 -1+4× 3 2 = 4-3 3 + 3 -1+2 3 = 3; (2)原式= 1+ 1 3 ×3- 2 × 2 2 = 1+1-1 = 1. 命题点 4　 整式与因式分解 要点归纳 ①am+n 　 ②amn 　 ③ambm 　 ④am-n 　 ⑤am+an+bm+bn ⑥a2 -b2 　 ⑦a2 ±2ab+b2 随堂练习 1. 3　 2. 3,-4 3. (1)a6 ;(2)6a2b;(3) -a3 ;(4)8a6 ;(5)2a8 ;(6)3x2y4 ; (7)2a2 -2ab;(8)2a2 -ab-b2 ;(9)x2 -6x+9 4. (1)(1-45%)x;(2)a+10b　 5. 2　 变式 2 026 6. 2n-1 n2 +1 　 7. (5n+1) 8. (1)y(x-2y);(2)(4a-1) 2 ;(3)(3+x)(3-x) 9. 解:解法一:原式= x2 +2x+1-x2 -x = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 解法二:原式= (x+1)(x+1-x) = x+1, 当 x= 2 024 时,原式= 2 024+1 = 2 025. 命题点 5　 分式及其运算 要点归纳 ①B≠0　 ②A= 0 且 B≠0　 ③B≠0,C≠0,D≠0　 ④ bd ac ⑤ bc ad 　 ⑥ bn an 　 ⑦x-1　 ⑧x+1　 ⑨x-2　 ⑩ a±b c 　 􀃊􀁉􀁓 ad±bc bd 　 􀃊􀁉􀁔(x-2)(x-1)　 􀃊􀁉􀁕(x+1)(x-1)　 􀃊􀁉􀁖(x+2)(x-2) 2 随堂练习 1. x≠5;x= 1 2. (1) - 1 2 ;(2) 1 a+2 ;(3) -x 3. 解:原式= x-3 x-1 · x2 -9-2x+10 x2 -9 = x -3 x-1 · (x-1) 2 (x+3)(x-3) = x -1 x+3 , 由题意得 x≠1,x≠±3,∴ 当 x= 2 时,原式= 2-1 2+3 = 1 5 . 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 要点归纳 ①2(x+2)= 20-5(x-1)　 ②2x+4 = 20-5x+5 ③2x+5x= 20+5-4　 ④7x= 21　 ⑤x= 3　 ⑥13-4y ⑦2(13-4y) +3y= 16　 ⑧y= 2　 ⑨将 y= 2 代入③　 ⑩x= 5 􀃊􀁉􀁓 x= 5, y= 2{ 　 􀃊􀁉􀁔-5y= -10　 􀃊􀁉􀁕y= 2　 􀃊􀁉􀁖将 y= 2 代入②　 􀃊􀁉􀁗x+4×2 = 13　 􀃊􀁉􀁘x= 5　 􀃊􀁉􀁙 x= 5, y= 2{ 随堂练习 1. C　 2. 2　 变式 2-1 2　 变式 2-2 1 3. 解:(1) 2x+3y= 12,① x+1 = 2y,②{ 由②得 x= 2y-1,③ 把③代入①,得 2(2y-1) +3y= 12, 解得 y= 2, 把 y= 2 代入③,得 x= 3, ∴ 原方程组的解为 x= 3, y= 2; { 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 911 (2) 5x-2y= 3,① 4x+3y= 7,②{ ①×3,得 15x-6y= 9,③ ②×2,得 8x+6y= 14,④ ③+④,得 23x= 23, 解得 x= 1, 将 x= 1 代入②,得 4+3y= 7, 解得 y= 1, ∴ 原方程组的解为 x= 1, y= 1.{ 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 要点归纳 ①(100-x)　 ②10x+(100-x) ×1 = 235　 ③x = 15,则 100-x = 85　 ④这个月该公司分别销售甲、乙两种特产 15 吨、85 吨 ⑤ a+b= 100, 10a+b= 235{ 随堂练习 1. 90%x-y= 20%y, 80%x-y= 10{ 　 2. 1 12 x+ 1 24 x= 1 3. 7. 2,2. 6　 4. x+y= 24, 4×3x= 12y{ 　 5. B 命题点 3　 一元二次方程及其解法 要点归纳 ①a≠0　 ②a≠0　 ③x+5　 ④x+1　 ⑤x+5　 ⑥x+1　 ⑦x1 = -5,x2 = -1　 ⑧9　 ⑨4　 􀃊􀁉􀁒( x+ 3) 2 = 4　 􀃊􀁉􀁓x+ 3 = - 2　 􀃊􀁉􀁔x+ 3 = 2　 􀃊􀁉􀁕x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗6　 􀃊􀁉􀁘5　 􀃊􀁉􀁙16>0　 􀃊􀁉􀁚 -b± b2 -4ac 2a = -6± 16 2 　 􀃊􀁉􀁛x1 = -5,x2 = -1　 􀃊􀁊􀁒两个相等 􀃊􀁊􀁓- b 2a 　 􀃊􀁊􀁔两个不相等　 􀃊􀁊􀁕没有　 􀃊􀁊􀁖- b a 　 􀃊􀁊􀁗 c a 随堂练习 1. 16;36,6 2. 解:(1)由原方程得 x2 -2x= 4, 则 x2 -2x+1 = 4+1,即(x-1) 2 = 5, ∴ x-1 = ± 5 , ∴ x1 = 1+ 5 ,x2 = 1- 5 ; (2)a= 2,b= -5,c= 2, b2 -4ac= ( -5) 2 -4×2×2 = 9>0, ∴ x= 5± 9 4 = 5±3 4 , ∴ x1 = 2,x2 = 1 2 ; (3)由原方程得 x(x-7) +8(x-7)= 0, ∴ (x-7)(x+8)= 0, ∴ x-7 = 0 或 x+8 = 0, ∴ x1 = 7,x2 = -8. 3. (1)a<4 且 a≠0;(2)4;(3)a>4;(4)a≤4 4. 4 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 要点归纳 ①a(1+x) 2 　 ②a(1-x) 2 　 ③4(1+x) 2 = 4. 84 ④(a-2x)(b-2x)　 ⑤(a-x)(b-x)　 ⑥x· m-x 2 ⑦x· m+1-x 2 　 ⑧2　 ⑨(40-2x)(26-x)= 144×6　 ⑩ax 􀃊􀁉􀁓ax2 　 􀃊􀁉􀁔(1+x)　 􀃊􀁉􀁕(1+x) 2 随堂练习 1. 2 750　 2. 120　 3. 10　 4. B 命题点 5　 分式方程及其应用 要点归纳 ①(x-2)　 ②3 = -( x+ 1) -( x- 2) 　 ③x = - 1　 ④当 x = - 1 时,x-2≠0　 ⑤x= -1　 ⑥ 1 3 　 ⑦ 1 3 　 ⑧ 1 2 　 ⑨ 1 2 　 ⑩ 1 3 + 1 3 × 1 2 　 􀃊􀁉􀁓 1 3 + 1 3 × 1 2 + 1 2x = 1　 􀃊􀁉􀁔x = 1　 􀃊􀁉􀁕检验:当 x = 1 时,2x≠0,∴ x= 1 是原分式方程的解,且符合实际　 􀃊􀁉􀁖1　 􀃊􀁉􀁗乙队的施工速度快　 􀃊􀁉􀁘 6 3x 　 􀃊􀁉􀁙4x　 􀃊􀁉􀁚 10 4x 　 􀃊􀁉􀁛 6 3x + 20 60 = 10 4x 􀃊􀁊􀁒C　 􀃊􀁊􀁓 600 x 　 􀃊􀁊􀁔x+10　 􀃊􀁊􀁕 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁖 600 x = 2× 350 x+10 　 􀃊􀁊􀁗x= 60 􀃊􀁊􀁘检验:当 x= 60 时,x(x+10) ≠0,∴ x = 60 是原分式方程的 解,且符合题意　 􀃊􀁊􀁙70　 􀃊􀁊􀁚A 种书包每个进价为 60 元,B 种 书包每个进价为 70 元 随堂练习 1. (1)4;(2)3 或 4;(3)0<m<2;(4)0;(5)2 或 0 2. 原计划每天挖掘隧道的长度 3. 12 000 1. 5x +100 = 10 000 x 4. 540 x = 540 +60 x+20 5.解:方程两边同乘 x(x-1),得 x+5 = -4x+3(x-1), 解得 x= -4, 检验:当 x= -4 时,x(x-1)≠0, ∴ 原分式方程的解为 x= -4. 命题点 6　 一元一次不等式(组)及其应用 要点归纳 ①>　 ②>　 ③<　 ④x<a　 ⑤x>a　 ⑥x≤a　 ⑦x≥a　 ⑧a<x<b　 ⑨x>b　 ⑩x<a　 􀃊􀁉􀁓无解　 􀃊􀁉􀁔m≥3　 􀃊􀁉􀁕0<m≤1　 􀃊􀁉􀁖>　 􀃊􀁉􀁗<　 􀃊􀁉􀁘≥　 􀃊􀁉􀁙≤　 􀃊􀁉􀁚x≥ 1 n (m-x)　 􀃊􀁉􀁛ax+b(m-x)≤n 随堂练习 1. C　 2. C 3.解:去分母,得 2(x+1) >x+4, 去括号,得 2x+2>x+4, 移项,得 2x-x>4-2, 合并同类项,得 x>2, 解集在数轴上表示如解图所示. 第 3 题解图 4. 解:解不等式 1+x>-2,得 x>-3, 解不等式 2x-1 3 ≤1,得 x≤2, 则不等式组的解集为-3<x≤2, 将不等式组的解集表示在数轴上如解图所示. 第 4 题解图 5. 小明至少答对 22 道题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 021