1.2 二次根式及其运算(含无理数的估值)-【一战成名新中考】2025山东中考数学·一轮复习·基础夯实练（讲册）

基础夯实练·山东数学 第 一 章 　 数 与 式 命题点 2　 二次根式及其运算(含无理数的估值) (统考样卷 11 题) 要点归纳 要点 1 平方根、算术平方根、立方根的对比 名称 a(a>0) a(a= 0) a(a<0) 总结 平方根 ± a 0 无 正 数 有 两 个 平 方 根, 它 们 互 为 ①　 相反数　 ; 平方根等于本身的数是②　 0　 算术平方根 a 0 无 算 术 平 方 根 等 于 本 身 的 数 是 ③　 0 和 1　 立方根 3 a 0 ④　 3 a 　 任意一个实数只有一个立方根,且 与原数同号;立方根等于本身的数 是⑤　 -1、0、1　 注:①∵ (±10) 2 = 100,∴ 100 的平方根是±10. 附表:百以内的完全平方数及其平方根 完全平方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 平方根 0 ±1 ±2 ±3 ±4 ±5 ±6 ±7 ±8 ±9 ±10 ②∵ 43 = 64,∴ 64 的立方根是 4. 附表:千以内的完全立方数(含对应的负数)及其立方根【2022 年版课标变化】 完全立方数 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000 立方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 完全立方数 — -1 -8 -27 -64 -125 -216 -343 -512 -729 -1 000 立方根 — -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 要点 2 二次根式 二次根式 一般地,式子 a (a≥0)叫作二次根式,a 是被开方数 有意义的条件 (统考样卷 11 题) 被开方数 a⑥　 ≥　 0 最简二次根 式的条件 (1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 同类二次根式 化为最简二次根式后,被开方数相同的几个二次根式称为同类二次根 式. 如: 12 (化简后为 2 3 )与 3 就是同类二次根式 5 基础夯实练·山东数学 第 一 章 　 数 与 式 续表 性质 (1)双重非负性: a≥0(a≥0); (2)( a ) 2 = ⑦　 a　 (a≥0); (3) a2 = | a | = a(a≥0), -a(a<0),{ 注:只有当 a≥0 时, a 2 =( a ) 2; (4) ab = a· b (a≥0,b≥0); (5) a b = a b (a≥0,b>0) ü þ ý ï ïï ï ï 北师独有 运算 (1)乘法运算: a· b = ⑧　 ab 　 (a≥0,b≥0); (2)除法运算: a b = a b 或 a ÷ b = ⑨　 a÷b 　 (a≥0,b>0); (3)加、减运算本质:同类二次根式运算 步骤一:化简为最简二次根式;步骤二:合并同类二次根式. 切记: a + b≠ a+b (a>0,b>0); (4)混合运算:先乘除,再加减;有括号先算括号里的(或先去掉括号) 易错警示:二次根式运算的最终结果应化为最简􀪍􀪍二次根式 非负数 (1)常见非负数: | a | (a 是任意实数),a2n(a 是任意实数,n 为正整数), a (a≥0); (2)若 a2 + | b | + c = 0,则 a= 0,b= 0,c= 0 要点 3 无理数的估值 (1)关键点:m2 <a<n2(m>0,a>0,n>0)→m< a <n; (2)确定无理数在哪两个整数之间 例 1　 估计 7的值在 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 解题步骤 备注 ①先对无理数平方 ( 7 ) 2 = 7 ②找出平方后与所得数字相邻 的两个开得尽方的整数比较 大小 ⑩　 4　 <7<􀃊􀁉􀁓　 9　 ③对两个整数开方即可 􀃊􀁉􀁔　 2　 < 7 <􀃊􀁉􀁕　 3　 ①熟记常见的平方数:1,4,9, 16,25,36,…; ②若无理数为 n a形式,需先转 化为 an2 再估值,不容易出错 【答案】􀃊􀁉􀁖　 C　 6 基础夯实练·山东数学 第 一 章 　 数 与 式 (3)确定无理数离哪个整数较近 例 2　 下列整数中,与 7最接近的是 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题步骤 图示理解法 ①确定无理数在哪两个相邻整 数之间 2< 7 <3 ②求这两个整数的平均数 1 2 ×(2+3)= 􀃊􀁉􀁗　 2. 5　 ③若平均数的平方小于该无理 数的平方,则该无理数更接近 较大的那个整数 ∵ 2. 52 = 6. 25,6. 25<7, ∴ 7 离􀃊􀁉􀁘　 3　 更近 【答案】􀃊􀁉􀁙　 C　 注:常见无理数的近似值: 2 ≈1. 414, 3 ≈1. 732, 5 ≈2. 236,黄金分割比 5 -1 2 ≈0. 618. 随堂练习 1. [鲁教八下 P34 第 1 题改编]x 取何值时,下列式子有意义? (1) x-4 :　 x≥4　 ;　 　 (2) 2 -x x-1 :　 x>1　 ;　 　 (3) x -1 2-x :　 x≥1 且 x≠2　 . 2. 计算: (1)( 3 ) 2 = 　 3　 ; (2) ( -3) 2 = 　 3　 ; (3) - ( -3) 2 = 　 -3　 ; (4) 12 - 3 = 　 3 　 ; (5) 2 × 3 = 　 6 　 ; (6) 4 3 ÷ 1 3 = 　 2　 ; (7)( 3 + 2 ) × 6 = 　 3 2 +2 3 　 ;　 　 　 　 (8)( 3 - 2 ) ×( 3 + 2 )= 　 1　 . 3. 若 | 2a-4 | +(3-b) 2 + 3c+7 = 0,则 a+b+c= 　 　 　 　 . 温馨提示:请完成《分层作业本》P3~ 4 习题 7 参考答案 第一章数与式 随堂练习 1.32.3.-4 命题点1实数的相关概念与大小比较 3.(1)a:(2)6ab:(3)-a3:(4)8a°：(5)2a:(6)3xy: 要点归纳 (7)2a2-2ab:(8)2a2-ab-b:(9)x2-6r+9 ①不循环②-3m③盈利50元④亏损80元 4.(1)(1-45%)x:(2)a+1065.2变式2026 ⑤温度下降3e0-号⑧-：80@0-1 62m-1 7.(5n+1) 重相等2对称B-a大a=-b061±1 n2+1 B29102大24>2=3> 8.(1)y(x-2y):(2)(4a-1)2:(3)(3+x)(3-x) 随堂练习 9.解：解法一：原式=x2+2x+1-x2-x 1.(1)②3902B:(2)①56⑦8⑨2B06:(3)③④ =x+1. 1005:(4)①23④679023：(5)58101050 当x=2024时.原式=2024+1=2025. 2.(1)-1,E:(2)B,F:(3)22-1:(4)-2或4 解法二：原式=(x+1)(x+1-x) 31-31, =x+1, 4.a<-b<b<-a 当x=2024时.原式=2024+1=2025 5.(1)7.05×10':(2)5.07×10":(3)3.3×10:(4)5.4× 命题点5分式及其运算 103:(5)1.25×103:(6)5×10· 要点归钠 命题点2二次根式及其运算 (含无理数的估值)】 ①B≠02A=0且B≠08B≠0.C≠0，D≠0④M 要点归纳 5年 6⑦-18+1⑨x-2m ①相反数②0③0和1④a⑤-L,0,1⑥≥⑦u ad bd 8√ad⑨√a÷b04922B3C52.5 2(x-2)(x-1)B(x+1)(x-1) 4(x+2)(x-2) 031C 随堂练习 随堂练习 1.x≠5：x=1 1.(1)x≥4：(2)x>1:(3)x≥1且x2 2.(1)3:(2)3:(3)-3:(4)5:(5)6:(6)2(7)32+23: 2-72 +2:(3) (8)1 3解：原式3.-9-2x+103 (x-1)2-1 x-1 x2-9x-1(x+3)(x-3)x+3 3 命题点3实数的运算 由题意得143当=2时原式站行 要点归纳 第二章 方程（组）与不等式（组） ①na ⑦b-a a 命题点1一次方程（组）及其解法 ⑨3 3 2 2 B15 要点归纳 ①2(x+2)=20-5(x-1)）②2x+4=20-5x+5 随堂练习 ③2x+5x=20+5-4④7x=21⑤x=3613-4y 1（1:(212(3)1:(41-2,(5)-2:(6)7:(7)-l: ⑦2(13-4y)+3y=16⑧y=29将y=2代人③00x=5 (82:(9) m/=5. 02-5y=-100By=20将y=2代入2 1=2 2 2解：(1)原式=433+3-1+4x 5r+4x2=13x=5=5., (y=2 2 随堂练习 =4-33+3-1+23 =3: 1.C22变式2-12 变式2-21 2)原式1写万号 3解：(1)/2r+3=12,① (x+1=2y,② =1+1-1 由2得x=2y-1.③ =1. 把③代入①，得2(2y-1)+3=12. 命题点4整式与因式分解 解得y=2, 要点归纳 把y=2代人，得x=3, ①an②a③ab④a4Gam+an+bm+bn 6e2-b2⑦a2±2ab+b 原方程组的解为=3， (y=2: 119