第04讲 直线与圆的位置关系（4个知识点+4种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第04讲 直线与圆的位置关系（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024•杨浦区三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 2．（2024•杨浦区三模）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 　　． 3．（2024•青浦区三模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 题型二．切线的性质 4．（徐汇区校级月考）如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2022春•长宁区校级期中）如图，已知是半圆的直径，是弦，将图形沿直线翻折，点落在点的位置，过点作．如果与圆相切，那么的度数等于 　　． 6．（徐汇区二模）在梯形中，，，，，．为底边上一点，以点为圆心，为半径画交线段于点． （1）如图，当点在线段上时，设，，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当以为直径的与相切时，求的值； （3）连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 题型三．切线的判定 7．（浦东新区模拟）已知在矩形中，，，如果以为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 8．如图，中，，，，为半圆的直径，将沿射线方向平移得到△，当与半圆相切于点时，阴影部分的面积为 　　． 9．（2024•闵行区校级自主招生）如图，在△中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是△的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）若，，求及长． 题型四．切线的判定与性质 10．（闵行区二模）下列关于圆的切线的说法正确的是　　 A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 11．如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为1的与的一边相切时，的长为 　　． 12．（2024•青浦区三模）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． （1）连接，求证：是的切线； （2）若，，求的长． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上，，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（　　） A．100° B．50° C．130° D．65° 2．下列说法中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆心角是圆周角的2倍 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 3．如图，已知与相切于点D，A为圆上一点，线段恰好经过圆心，C为圆上一点，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点是弦延长线上一点，与相切于点．已知的半径为2，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 5．如图，已知点，，点C在直线上，则使是直角三角形的点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，，则与的边所围成阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是 ．（填“相离”、“相交”或“相切”） 8．如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 ． 10．如图，为外一点，与相切于点，若，则 11．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为，则 ． 12．如图，，分别是的直径和弦，，交于点．过点作的切线与的延长线交于点，若，，则的长 ． 13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝ 度． 14．如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是 ．（参考数据：，，） 15．如图，点P在双曲线上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是 ． 16．如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是△ABC的内心，则点I的坐标为 ；点I关于原点对称的点的坐标为 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 ． 三、解答题 19．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你在这块材料上作一个面积最大的圆． 20．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，米，求车轮的直径的长． 22．乒乓球是我国的国球，在历届国际大赛上都取得非常优异的成绩，乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，G是中点，连接，，且． (1)求证：； (2)若弓形的高为，，且，求的长． 23．如图，，，分别与相切于，，三点，是的直径 ． （1）连接，，若，，求的长； （2）若，，，请画出关于的函数图象． 24．如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，过点作的切线，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)求证：． (2)直接回答： ①已知，当为何值时，？ ②连接，，，当等于多少度时，四边形是菱形？ 25．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：    (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 26．如图，有一块三角形余料、，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面.     图1               图2 方案一：如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上； 方案二：如图2，作的内切圆，它与三边分别相切于点，，. 请通过计算，比哪种方案的利用率高. 27．已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 直线与圆的位置关系（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 题型强化 题型一．直线与圆的位置关系 1．（2024•杨浦区三模）已知点在半径为3的圆上，如果点到直线的距离是6，那么圆与直线的位置关系是　　 A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答． 【解答】解：点在圆上，已知圆的半径是3，点到直线的距离是6， 圆与直线的位置关系可能是相切或相离， 故选：． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离与半径的大小关系解答．若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 2．（2024•杨浦区三模）如图，在中，，，，如果以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交，那么的取值范围是 　　． 【分析】如图，连接，交于，延长交于．在中，解直角三角形求出，在中，根据勾股定理求出，根据圆与圆的位置关系即可得的答案． 【解答】解：如图，连接，交于，延长交于， 是的直径， ， 在中，，，， ， 在中，，， ， ，， 当时，以为直径的圆与以为圆心、为半径的圆相交， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直线与圆的位置关系，综合运用这些知识是解决问题的关键． 3．（2024•青浦区三模）如图，为等腰三角形的外接圆，，延长交于点，过点作的垂线，交于点，交于点，交于点，交过点且与平行的直线于点，连结． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求和的大小； （3）若，，求的长． 【分析】（1）根据等腰三角形性质得，，再根据得，据此可得与的位置关系； （2）根据等腰三角形性质得，则，再根据得，然后根据平行线性质及圆周角定理可得和的度数； （3）设，则，，根据得，再根据，得，进而得，，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，则，由此解出，则，设为，连接，则，然后再由勾股定理构造方程求出即可． 【解答】解：（1）与相切，理由如下： 为等腰的外接圆，，延长交于点， ，， ， ， 为的半径， 是的切线， 即与相切； （2），，， ， ， ， ， ， ， ； （3）设，则，， 在中，， ， ， ， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 设为，连接，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故的长为． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，解直角三角形等，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 题型二．切线的性质 4．（徐汇区校级月考）如图，在的内接四边形中，是的直径，，过点的切线与直线交于点，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，先利用圆内接四边形的性质得，再根据证得是等边三角形，得出，由切线的性质可得，然后利用互余计算的度数． 【解答】解：连接，如图， ， ， ， 是等边三角形， ， 为切线， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理的基本图形，得出垂直关系． 5．（2022春•长宁区校级期中）如图，已知是半圆的直径，是弦，将图形沿直线翻折，点落在点的位置，过点作．如果与圆相切，那么的度数等于 　　． 【分析】过点作于点，过点作于点，如图，利用切线的性质得到为的半径，再证明四边形为矩形，所以，接着利用折叠的性质得到，，然后根据正弦的定义求出，从而得到的度数． 【解答】解：过点作于点，过点作于点，如图， 与圆相切， 为的半径， ， ， 四边形为矩形， ， 图形沿直线翻折，点落在点的位置， ，， 在中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、折叠的性质和解直角三角形． 6．（徐汇区二模）在梯形中，，，，，．为底边上一点，以点为圆心，为半径画交线段于点． （1）如图，当点在线段上时，设，，试建立关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当以为直径的与相切时，求的值； （3）连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【分析】（1）想要建立线段与线段之间的函数关系式，就要想办法将这些线段构造在一个图形中，故我们可过点作交点，利用圆与直线的位置关系和勾股定理，即可容易的得出函数关系式． （2）本题主要是分情况来讨论，①是外切；②是内切；分别根据各相切之间的关系及函数关系式即可得出的值． （3）这一问主要是利用数据线的全等、勾股定理以及以求得的函数关系式来进行解答． 【解答】解：（1）如图1，过点作于点． 可得，，，，； 在中， ，即； （负值舍去） 定义域：； （2）设的中点，连接，过点作于点． ，，，； ①与外切时， 在中，， ， ， 化简并解得； ②与内切时， 在中，， ， ， ， 化简并解得； 综上所述，当与相切时，或； （3）如图2，连接，， 当时，由，，有和全等， ，即 在中，； 由，解得； 如图3，当时，过点作于点，有，且， ，，（负值舍去）； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时， 或． 【点评】本题综合考查了学生对梯形和圆之间的位置关系，利用切线的性质和函数关系式，以及合理的辅助线，方可对本题有一个完善的解答，本题具有一定的难度，属于压轴性题目，望同学们多加练习和总结． 题型三．切线的判定 7．（浦东新区模拟）已知在矩形中，，，如果以为直径作圆，那么与这个圆相切的矩形的边共有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【分析】根据已知画出图形，再利用切线的判定得出答案即可． 【解答】解：在矩形中，，，以为直径作圆， ， ，， 与这个圆相切的矩形的边，， 同理可得出是圆的切线， 与这个圆相切的矩形的边共有3条， 故选：． 【点评】此题主要考查了切线的判定以及矩形的性质，根据已知画出正确的图形是解决问题的关键． 8．如图，中，，，，为半圆的直径，将沿射线方向平移得到△，当与半圆相切于点时，阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接，根据相切的性质得，根据勾股定理得，根据三角形的面积公式得，可得，即可求出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接， 当与半圆相切于点， ， ，，， ， 沿射线方向平移，当与半圆相切于点，得△， ，，，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平移的性质、勾股定理． 9．（2024•闵行区校级自主招生）如图，在△中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，是△的外接圆． （1）求证：是的切线； （2）过点作，垂足为，求证：； （3）若，，求及长． 【分析】（1）连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线； （2）连接，先根据证明△△，再由全等三角形的对应边相等即可得出． （3）先证得△△，根据相似三角形的性质求得，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，得出． 【解答】证明：（1）如图，连接． ， ， 是圆的直径． 平分， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）如图，连接． ，于，于， ． ，， ． 在△与△中， ， △△， ． （3）由（2）得，又， ， 在△中，， ， ， ， ， △△， ，即， ， ，， △中，， △中，， ， ， ． 【点评】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 题型四．切线的判定与性质 10．（闵行区二模）下列关于圆的切线的说法正确的是　　 A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【分析】根据切线的判定和性质定理进行判断即可． 【解答】解：、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； 、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误； 、经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； 、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，正确． 故选：． 【点评】本题考查了切线的判定和性质定理熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． 11．如图，中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为1的与的一边相切时，的长为 　　． 【分析】分三种情况讨论解答：①与边相切，②与边相切，③与边相切，依据题意画出图形，利用切线的性质，过点分别作各边的垂线段，利用比例式即可求得结论． 【解答】解：①当与边相切时，如图， 过点作，则为切点，． ， ． ． ， ， ； 此时，点与点重合． ②当与边相切时，如图， 过点作，则为切点，． ， ． ． 由①得：， ． ， 解得：； ③当与边相切时，如图， 过点作于点，则为切点，． 过点作于点， ，， ． ． ，， ． ． ． ． ，， ． ． ， ． 综上，当半径为1的与的一边相切时，的长为或或． 故答案为：或或． 【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，利用切线的性质得到圆心到直线的距离等于圆的半径和利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键． 12．（2024•青浦区三模）如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，． （1）连接，求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据证，得出，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，证，设圆的半径为，根据线段比例关系列方程求出，利用勾股定理求出，最后根据求出即可． 【解答】（1）证明：在和中， ， ， ， 与相切， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：在中，，，， ， ，， ， ， 设的半径为，则， 解得， 在中，，，， ， ， 即的长为：． 【点评】本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在AB的延长线上，，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（　　） A．100° B．50° C．130° D．65° 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠D＝∠CBE＝50°，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查圆的内接四边形对角互补的性质以及在圆中与等腰三角形的结合问题. 2．下列说法中正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆心角是圆周角的2倍 C．三角形的外心到三角形各边的距离相等 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、 三角形外接圆的概念辨析、应用切线长定理求解 【分析】根据切线的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理进行解答． 【详解】解：选项A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以错误； 选项B、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，所以错误； 选项C、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，所以错误； 选项D、从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是正确的． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，综合性较强，难度中等． 3．如图，已知与相切于点D，A为圆上一点，线段恰好经过圆心，C为圆上一点，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】设AB与圆O交于E，连接OD，ED，由AB经过了圆心O，得到AE是圆O的直径，则∠ADE=90°，得到∠EAD+∠AED=90°，再由BD是圆O的切线，得到∠ODB=90°，可以推出∠ODA=∠BDE，由三角形外角的性质得到∠AED=∠B+∠BDE，即∠AED=∠ODA+∠B，根据OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，则∠EAD+∠AED=∠ODA+∠OAD+∠B=90°，由此求解即可． 【详解】解：设AB与圆O交于E，连接OD，ED， ∵AB经过了圆心O， ∴AE是圆O的直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠EAD+∠AED=90° ∵BD是圆O的切线， ∴∠ODB=90°， ∴∠ODA+∠ODE=∠BDE+∠ODE， ∴∠ODA=∠BDE， ∵∠AED=∠B+∠BDE， ∴∠AED=∠ODA+∠B， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∴∠EAD+∠AED=∠ODA+∠OAD+∠B=90°， ∴2∠ODA+32°=90°， ∴∠ODA=29°， ∴∠AED=61°， ∴∠C=∠AED=61°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形的两锐角互余，圆周角定理，解题的关键在于能够正确作出辅助线，求出∠ODA=29°． 4．如图，在中，点是弦延长线上一点，与相切于点．已知的半径为2，，，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】作于点，由切线的性质得，因为，，所以，则是等边三角形，所以，则，再证明，则，由，求得，则，可得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，则， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵的半径为2，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．如图，已知点，，点C在直线上，则使是直角三角形的点C的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】坐标与图形、判断直线和圆的位置关系、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据为直角，为直角与为直角三种情况进行分析． 【详解】解：如图， 当为直角时，过点作轴的垂线与直线的交点即为； 当为直角时，过点作轴的垂线与直线的交点即为点 若为直角，则点C在以线段为直径、中点为圆心、5为半径的圆与直线的交点上． 在直线中，当时，即 当时，即点， 则， 过中点，作垂直直线于点F， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴以线段为直径、为圆心的圆与直线有2个交点． ∴直线上有2个点C满足． 综上所述，使是直角三角形的点C的个数为4， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断为直角的情况是否存在． 6．如图，的顶点O是边长为2的等边的重心，的两边与的边交于E，F，，则与的边所围成阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】连接、，过点O作，垂足为N，由点O是等边三角形的内心可以得到，结合条件即可求出的面积，由，从而得到，进而可以证到，因而阴影部分面积等于的面积． 【详解】解：连接、，过点O作，垂足为N， ∵为等边三角形， ∴， ∵点O为的内心 ∴，． ∴． ∴．， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． ∴ 故选C． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 二、填空题 7．初中生小明日常骑自行车上下学，某日小明沿地面一条直线骑行，自行车轮胎与这条直线的位置关系是 ．（填“相离”、“相交”或“相切”） 【答案】相切 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据直线与圆的公共点的个数，判断即可． 【详解】解：∵自行车轮胎是圆， 又∵在骑行时，自行车轮胎与这条直线只有一个交点， ∴自行车轮胎与这条直线的位置关系是相切． 故答案为：相切 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解本题的关键在理解题意，正确判断出直线与圆的公共点的个数．直线和圆有三种位置关系：1、相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；2、相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；3、相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 8．如图，是的切线，A，B是切点，C是上一点，若，则 ．    【答案】/70度 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理 【分析】题目主要考查切线的性质，圆周角定理，连接，根据题意得出，再由多边形内角和得出，最后利用圆周角定理即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【详解】解：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 9．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，已知∠P＝60°，OA＝3，那么AB的长为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算 【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，由垂径定理可得：AC=AB，又由PA、PB是⊙O的切线，由切线长定理可得PA=PB，由∠P=60°，即可得△PAB是等边三角形，继而可求得∠OAC=30°，则可求得AC的长，继而求得答案． 【详解】解：过点O作OC⊥AB于点C， ∴AC＝AB， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA， ∵∠P＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠PAB＝60°， ∴∠OAC＝90°﹣∠PAB＝30°， 在Rt△AOC中，OA＝3， ∴AC＝OA•cos30°＝， ∴AB＝2AC＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线长定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 10．如图，为外一点，与相切于点，若，则 【答案】 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了切线的性质、含角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质． 根据与相切于点，得出，再利用含的直角三角形的性质求解． 【详解】与相切于点， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为，则 ． 【答案】60°． 【知识点】切线的性质定理、根据特殊角三角函数值求角的度数 【详解】∵OA⊥BC，BC=2， ∴根据垂径定理得：BD=BC=1． 在Rt△ABD中，sin∠A=． ∴∠A=30°． ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠ABO=90°． ∴∠AOB=60°． 12．如图，，分别是的直径和弦，，交于点．过点作的切线与的延长线交于点，若，，则的长 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的判定和性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理 【分析】连接BD，先由线段垂直平分线的性质得，再证，然后证是等边三角形，得，即可得出答案． 【详解】解：连接BD，如图： 是的直径， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 又， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、角平分线的判定、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝ 度． 【答案】55 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】如图（见解析），连接OE、OF，由圆的切线性质得，再由四边形的内角和定理得，最后根据圆周角定理即可得. 【详解】连接OE、OF 由圆的切线性质得： 在四边形AEOF中，由内角和定理得： 再根据圆心角与圆周角的关系得： 故答案为：55. 【点睛】本题考查了圆的切线性质（圆的切线垂直于过切点的半径）、四边形的内角和定理、圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），掌握这些性质和定理是解题关键. 14．如图，是的切线，为切点，连接，．若，，，则的长度是 ．（参考数据：，，） 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线的性质定理，锐角三角函数与解直角三角形等知识，连接，由是的切线，得，然后根据解直角三角形即可求解，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，点P在双曲线上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是 ． 【答案】12 【知识点】反比例函数与几何综合、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】利用P点在双曲线上且以点P为圆心的P与两坐标轴都相切求出P点，再利用△BPE≌△APF列出OE与OF之间的关系即可. 【详解】设圆P与坐标轴分别相切与A点与B点，连接PA、PB，则PA⊥x轴，PB⊥y轴，设圆P的半径为R. ∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°， ∵PF⊥PE ∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE 又∵AF=BE， ∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R， ∵点P的坐标为（R,R） ∴R²=36， ∴R=6（-6舍去） ∴OF-OE=12 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 16．如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 17．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是△ABC的内心，则点I的坐标为 ；点I关于原点对称的点的坐标为 ． 【答案】 （3，2） （-3，-2） 【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆的半径，继而即可得出点I的坐标，再利用关于原点对称的性质求解． 【详解】解：如图，过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E， ∵A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)， ∴BC=4，AC=3，则AB=5， ∵点I是△ABC的内心， ∴点I到△ABC各边距离相等，等于△ABC内切圆的半径， ∴IF＝ 故点I到AC，BC的距离都是1， 则AE＝1， 故IE＝3－1＝2，OE＝4－1＝3 ∴点I坐标为（3，2） 点I关于原点对称的点的坐标为(-3,-2) ． 故答案为：（3，2）；（-3，-2） 【点睛】本题考查直角三角形内切圆的性质，关于原点对称的坐标性质，解题的关键是求出直角三角形内切圆的半径． 18．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣，）为圆心，1为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是 ． 【答案】14﹣4 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】设点P（x，y），表示出PA2+PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2， ∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2， ∵OP2＝x2+y2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， 当点P处于OC与圆的交点上时，OP取得最值， ∴OP的最小值为CO-CP＝﹣1， ∴PA2+PB2最小值为14﹣4． 故答案是：14﹣4． 【点睛】考查圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最小值. 三、解答题 19．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你在这块材料上作一个面积最大的圆． 【答案】作图见解析 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】分别作∠B和∠C的角平分线，它们的交点即为圆心O，再过O点作任意一边的垂线，以垂线段长为半径作圆，该圆为三角形的内切圆，即是能在这块材料上作出的面积最大的圆． 【详解】解：如图所示，为△ABC的内切圆． 尺规作图如下： 【点睛】此题主要考查的是三角形内切圆的意义及作法， 由于三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，可作△ABC的任意两角的角平分线，它们的交点即为△ABC的内切圆的圆心(设圆心为O)，以O为圆心、O点到任意一边的距离长为半径作圆，即可得出△ABC的内切圆，即为能作出的最大圆，解决本题的关键是学生能正确理解三角形的内切圆并掌握其作法. 20．已知关于的二次函数（，为常数）的图象的顶点为． (1)若此二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． (2)已知以坐标原点O为圆心，r为半径的圆是以5，12，13为边长的三角形的内切圆． ①的半径________． ②我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点为“完美点”，顶点是“完美点”的二次函数为“完美函数”，若M是“完美点”，试判断点M与的位置关系． 【答案】(1) (2)2；点在外 【知识点】判断直线和圆的位置关系、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象及性质． （1）根据题意可得，求出的值即可； （2）①由所给的三角形三边为勾股数，可知三角形是直角三角形，再由等积法求半径即可； ②先求顶点为，再由“完美点”定义可得，可确定点，由①知，的半径为2，则点在外． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴只有一个交点， ， ； （2）解：①以5，12，13为边长的三角形是直角三角形， ， 解得； 故答案为：2． ②， 顶点为， 点是“完美点”， ， 解得， 点， 由①知，的半径为2，则点在外． 21．如图①，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计，包含大量零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服．如图②是马车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接，．    (1)求证：； (2)若，米，求车轮的直径的长． 【答案】(1)见解析 (2)直径 【知识点】用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质定理、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图，连接，利用切线的性质得到，利用圆周角定理得到，进而三角形内角和定理证明即可； （2）过点作于点．设米，米，根据，构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，   是切线， ， 是直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于点． ， 可以假设米，米， （米）， ， （米）， （米）， ， ， 解得，， 直径． 【点睛】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．乒乓球是我国的国球，在历届国际大赛上都取得非常优异的成绩，乒乓球台（如图①）的支架可近似看成圆弧，其示意图如图②，与所在的直线过弧所在圆的圆心，直线与弧所在的圆相切于点G，G是中点，连接，，且． (1)求证：； (2)若弓形的高为，，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接，则直线与圆O相切于点G，，则有，可证明，则，即可证明结论成立； 连接，设与交于点H，利用解直角三角形即可求得，结合平行线的性质得，圆周角定理得，则有，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点O，则点O是弧所在圆的圆心，连接， ∵直线与圆O相切于点G， ∴，， ∵G是中点 ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）如图，连接，设与交于点H， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，，弓形高为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查圆和解直角三角形的相关知识，涉及切线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、圆周角定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆的性质和解直角三角形． 23．如图，，，分别与相切于，，三点，是的直径 ． （1）连接，，若，，求的长； （2）若，，，请画出关于的函数图象． 【答案】（1）5；（2）见详解 【知识点】应用切线长定理求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据切线的性质和切线长定理得到AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，然后证明∠COD＝90°，从而利用勾股定理可计算出CD； （2）证明△AOD∽△BCO，利用相似比得到y＝4x（x＞0），然后利用描点法画函数图象． 【详解】解：（1）∵AD，BC，CD分别与⊙O相切于A，B，E三点， ∴AB⊥AD，AB⊥BC，DO平分∠ADE，CO平分∠BCE， ∴∠ODE＝∠ADE，∠OCE＝∠BCE，AD∥BC， ∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∠ODE＋∠OCE＝（∠ADE＋∠BCE）＝90°， ∴∠COD＝90°， ∴CD＝==5； （2）∵∠COD＝90°， ∴∠AOD＋∠BOC＝90°， ∵∠AOD＋∠ADO＝90°， ∴∠ADO＝∠BOC， ∴△AOD∽△BCO， ∴，即 ∴（x＞0）， 函数图像如下： 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，利用相似比进行几何计算．也考查了切线的性质． 24．如图，是的直径，点是上一点，点是弧的中点，过点作的切线，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)求证：． (2)直接回答： ①已知，当为何值时，？ ②连接，，，当等于多少度时，四边形是菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证明四边形是菱形 【分析】（1）连接，由点是弧的中点，过点作的切线，可得，，进而得出； （2）①当时，连接，证明，所以，即； ②当时，证明，，为等边三角形，所以，即四边形是菱形． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 点是的中点，过点作的切线， ，， ∴, ， ， ， ， ∴, ． （2）解：①当时，． 如图2，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ． ． ②当时，四边形是菱形．如图3， 过点作的切线， ， ， ， ，为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键是掌握圆的切线的性质． 25．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题：    (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 【答案】(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、切线的性质定理、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点，   ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点，    由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 26．如图，有一块三角形余料、，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面.     图1               图2 方案一：如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上； 方案二：如图2，作的内切圆，它与三边分别相切于点，，. 请通过计算，比哪种方案的利用率高. 【答案】方案2的利用率高，理由见解析. 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、利用相似三角形的性质求解 【分析】在方案一中，设，则，根据相似三角形的性质，可知，即可求出x的值，进而得到正方形的面积；在方案二中，连接OI，OG，OH，根据是的内心，可知，利用面积法，求出圆O的半径r，进而求出圆O的面积；即可比较两种方案的利用率. 【详解】设，则， ， ，即，解得， ， 因为在中，，，， ， 因为是的内心， ， ，即 ，解得， ， ， 所以方案2的利用率高. 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质定理和三角形的内切圆的性质，求出正方形的边长和圆的半径是解题的关键. 27．已知，正方形，边长为4，点是边、上一动点，以为直径作， (1)点在边上时（如图1） ①求证：点在边的垂直平分线上； ②如图2，若与边相切，请用尺规作图，确定圆心的位置，（不写作法，保留作图痕迹），并求出长； ③如图3，点从运动到点的过程中，若始终是的中点，写出点运动的轨迹并求出路径长： (2)当点在边上时（如图4），若始终是的中点，连接，，连接，求：的面积． 【答案】(1)①证明见解析；②见解析，；③点运动的轨迹为线段，线段 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、确定圆心(尺规作图)、切线的性质定理 【分析】此题考查了切线的性质，线段垂直平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理等．此题的关键是注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． （1）①证明即可证明点在边的垂直平分线上；②作的垂直平分线，作切点与A所连线段的垂直平分线，即可找到圆心；③由由是等腰直角三角形，证明，进而即可求解； （2）先证明，设，则，，，进而即可求解． 【详解】（1）解：①为直径，； 点在圆上， 连接， ， 点在的垂直平分线上； ②设与边相切于点E，则， 如图所示：    设，则， ∴，解得：， ∴， ∵是的中位线， ∴； ③连接，； 始终是的中点， 是等腰直角三角形， ∴， 连接、交于点，则， ∴， ∵， ∴， ； 当点与点重合，点与点重合，当点与点重合，点与点重合， 点运动的轨迹为线段，． （2）解：连接,，过点H作， 由（1）③可得：， ，， ∴， ∵， 设，则，，， 解得：，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$