第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算-2021年中考数学优选知识点题型（一领三通）

第19讲 点、直线和圆的位置关系及其计算 一、考点知识梳理 【考点1 切线的性质与判定】 1.点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离) 位置关系,数量(d与r) 点在圆内d＜r,点在圆上d＝r,点在圆外d＞r，数量(d与r) 2.直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． 3.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． 位置关系,相离,相切,相交 公共点个数,0,1,2 公共点的名称,无,切点,交点 数量关系,d＞r,d＝r,d＜r 4.切线的判定： 判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 5. 切线的五个性质： ①切线与圆只有一个公共点； ②切线到圆心的距离等于圆的半径； ③切线垂直于经过切点的半径； ④经过圆心垂直于切线的直线必过切点； ⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心． 6.切线长定理： 经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 【考点2 三角形内切圆】 内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 二、考点分析 【考点1 切线的性质与判定】 【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径． 2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决． 3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 【例1】（2020•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝，以点B为圆心，r为半径作⊙B，当r＝3时，⊙B与AC的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】B． 【分析】根据三角函数的定义得到AC，根据勾股定理求得BC，和⊙B的半径比较即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝， ∴＝＝， ∴AC＝4， ∴BC＝＝3， ∵r＝3， ∴⊙B与AC的位置关系是相切， 故选：B． 【一领三通1-1】（2020•南京）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D．若⊙P的半径为5，点A的坐标是（0，8）．则点D的坐标是（　　） A．（9，2） B．（9，3） C．（10，2） D．（10，3） 【答案】A． 【分析】设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G，证明四边形PEOF为正方形，求得CG，再根据垂径定理求得CD，进而得PG、DB，便可得D点坐标． 【解答】解：设⊙O与x、y轴相切的切点分别是F、E点，连接PE、PF、PD，延长EP与CD交于点G， 则PE⊥y轴，PF⊥x轴， ∵∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∵PE＝PF，PE∥OF， ∴四边形PEOF为正方形， ∴OE＝OF＝PE＝OF＝5， ∵A（0，8）， ∴OA＝8， ∴AE＝8﹣5＝3， ∵四边形OACB为矩形， ∴BC＝OA＝8，BC∥OA，AC∥OB， ∴EG∥AC， ∴四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形， ∴CG＝AE＝3，EG＝OB， ∵PE⊥AO，AO∥CB， ∴PG⊥CD， ∴CD＝2CG＝6， ∴DB＝BC﹣CD＝8﹣6＝2， ∵PD＝5，DG＝CG＝3， ∴PG＝4， ∴OB＝EG＝5+4＝9， ∴D（9，2）． 故选：A． 【一领三通1-2】（2020•徐州）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC⊥OA，OC交AB于点P．若∠BPC＝70°，则∠ABC的度数等于（　　） A．75° B．70° C．65° D．60° 【答案】B． 【分析】先利用对顶角相等和互余得到∠A＝20°，再利用等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝20°，然后根据切线的性质得到OB⊥BC，从而利用互余计算出∠ABC的度数． 【解答】解：∵OC⊥OA， ∴∠AOC＝90°， ∵∠APO＝∠BPC＝70°， ∴∠A＝90°﹣70°＝20°， ∵OA＝OB，