精品解析：山西省忻州某校2024-2025学年九年级上学期上学期综合素养（三）数学试题

2024-2025学年第一学期综合素养评价（三） 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 首先把常数项移到等号右边，然后方程两边都加上一次项系数的一半的平方，配方即可． 【详解】解：移项，得， 配方，， 则． 故选：B． 3. 如图，管中放置着三根同样的绳子小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率：先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两人选中同一根绳子的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解；画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人选中同一根绳子的结果数有3种， ∴两人选中同一根绳子的概率为， 故选：C． 4. 在下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根∶根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．找出各选项中的a，b及c的值，计算出根的判别式的值，当根的判别式的值小于0时满足题意， 【详解】A．这里，，， 方程有两个不相等的实数根，不合题意； B．这里，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不合题意； C．这里，，， 方程有两个不相等的实数根，不合题意； D．这里，，， ， 方程没有实数根，符合题意， 故选：D． 5. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 【详解】解： ∵d＝5＞2.5， 点P在⊙O外， 故选C． 【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 6. 抛物线经过平移后得到抛物线，其平移方法是（ ） A. 向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移不单位，再向上平移个单位 D. 向左平移个单位，再向下平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移规律． 【详解】解：， ∴该抛物线的顶点坐标是， ∵的顶点坐标是， ∴平移的方法可以是：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法． 7. 小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流是电阻的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻的关系式为 C. 当电阻为时，电流I为 D. 当电阻时，电流I的范围为 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为：，把代入得： ，则，故B选项错误； ∵ ∴当电阻越大时，该台灯的电流也越小，故A选项错误； 当时，，故C选项错误； 由图形观察，当电阻时，电流I的范围为，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键． 8. 如图，点 A，B，C在⊙O上，，连接 BO 并延长，交 于点D，连接 ，．若 ， 则 的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，根据“半圆（或直径）所对的圆周角为直角”，可得，又根据平行线的性质可得，根据“垂直于弦的直径平分弦”，可得平分，进而求得，根据三角形中位线定理得，利用勾股定理可得，然后设的半径为，则，利用勾股定理得，即可得到方程，求解即可得的值，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 为的直径，点在上， ， ， ， 平分， ，为中点， ，， ， ， 设的半径为，则，， ， ，解得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理推论，垂径定理，平行线的性质，勾股定理的应用，三角形中位线定理，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理列方程求出圆的半径． 9. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点连接．若则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得BC=CD=AD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，S正方形ABCD=4×4=16，从而得出CE=BE==2，CF=CE=2，然后根据三角形的面积公式和扇形面积公式即可求出、和S扇形ECF，从而求出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴BC=CD=AD=AB=4，∠B=∠C=∠D=90°，S正方形ABCD=4×4=16 ∵点是的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点 ∴CE=BE==2，CF=CE=2 ∴DF=CD－CF=2 ∴=4，=4，S扇形ECF== ∴S阴影= S正方形ABCD－－－S扇形ECF =16－4－4－ =8－ 故选A． 【点睛】此题考查的是正方形的性质、正方形的面积公式、三角形面积公式和扇形面积公式，掌握各图形的面积公式是解决此题的关键． 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形变化-旋转．先求得旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同，如图，旋转第二次得到菱形，过作轴于，连接交于，由菱形的性质推出，，，由含30度角的直角三角形的性质求出，，，，据此求解，即可得到的坐标． 【详解】解：∵， ∴旋转周期为6个， ， ∴旋转第2024次得到的菱形与第二次得到的菱形相同， 如图，旋转第二次得到菱形， 过作轴于，连接交于， 四边形是菱形， ，，， 的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 的坐标是． 点的坐标是． 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象在第二，四象限，那么实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象和性质．根据反比例函数所在的象限，判定，然后通过解不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限内 ， 解得，； 故答案为：． 12. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液分别用表示，列表如下： （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） （，） 由表可知共有12种可能的结果，其中抽到2个都是酸性溶液的情况有2种， 则抽到的2个都是酸性溶液的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 如图，△OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，点B是反比例函数y＝﹣图象上的点，则△OAB的周长为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】设△OAB的边长为a，根据等边三角形的性质，可得点B的坐标为（﹣a， a），代入反比例函数解析式可得出a的值，继而得出△OAB的周长． 【详解】如图，设△OAB的边长为a，过B点作BM⊥x轴于点M． 又∵△OAB是等边三角形， ∴OM＝OA＝a，BM＝， ∴点B的坐标为（﹣a，a）， ∵点B是反比例函数y＝﹣图象上的点， ∴﹣a•a＝﹣4， 解得a＝±4（负值舍去）， ∴△OAB的周长为：4×3＝12． 故答案为12． 【点睛】考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，设△OAB的边长为a，用含a的代数式表示出点B的坐标是解答此题的关键． 14. 一个圆锥的母线长为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的底面半径为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面面积公式，即可求得圆锥的底面半径 【详解】解：设底面半径为，则底面周长为：， 圆锥的侧面展开图的面积为：， 故答案为： 【点睛】本题考查了求圆锥底面半径，熟练掌握圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 15. 如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质．由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，通过证明是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴，，， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8大题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法． 用公式法解方程即可； 首先移项得到：，然后把整体作为公因式提出来可得：，根据两数的乘积为则这两个数至少有一个为，可得两个关于的一元一次方程，解一元一次方程可得一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 提取公因式得，， 或， ，． 17. 如图，已知，是一次函数 和反比例函数 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1），y＝－2x＋2；（2）S△ABO＝3；（3）x＜−1或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设直线与y轴的交点为C，则的面积可分△AOC和△BOC两部分，分别都以OC为底、以A、B两点的横坐标的绝对值为高，即可求得； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）∵A（n，−2），B（−1，4）是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点， ∴4＝，得m＝−4， ∴y＝−， ∴−2＝−，解得n＝2． ∴点A（2，−2）， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝−2x＋2， 即反比例函数解析式为y＝−，一次函数解析式为y＝−2x＋2； （2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝−2×0＋2＝2． ∴点C的坐标是（0，2）． ∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×2＋×2×1＝3； （3）观察函数图象得，不等式kx＋b＞时，x的取值范围为：x＜−1或0＜x＜2， 故答案为：x＜−1或0＜x＜2． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 18. 如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且． （1）求证：直线BF是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】 （1）证明：， 而． ， ， ， ， 直线是的切线； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到．则，根据平行线的判定得，然后根据平行线的性质得，最后根据切线的判定定理可得到结论； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理觉得即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图， ， ， 在中，， 即的半径为2． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和垂径定理．解题关键是综合运用定理进行推理的能力，题目比较典型，是一道综合性比较强的题目． 19. 年月日，太原马拉松赛在迎泽大街太原火车站鸣枪开跑，一场城市运动盛会就此拉开帷幕．在志愿者招募阶段，婷婷和娜娜踊跃报名，致力成为太马志愿者一员．他们申请了后勤接待部．综合协调部．宣传推广部．问询志愿者部四种岗位中某一种岗位的志愿者，被随机分配到以上岗位中的任意一种的可能性相同． （1）“婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法，求婷婷和娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】（）根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义即可判定求解； （）列出表格，根据表格即可求解； 本题考查了事件的分类，用树状图或列表法求概率，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：列表如下： 娜娜 婷婷 由表可得，共有种等可能的结果，其中婷婷、娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的结果有种， ． 20. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米． （1）当通道宽为米时，花圃的面积________； （2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于，如果可以，试求出此时通道的宽． 【答案】（1）800（米2）；（2）5米． 【解析】 【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40-2a）（60-2a）； 当a=10米时，面积=（40-2×10）（60-2×10）=800（米2） 故答案为：800（米2）； （2）由已知可列式：60×40-（40-2a）（60-2a）=×60×40， 解得：a1=5，a2=45（舍去）． 答：所以通道的宽为5米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据所给出的图形和数据表示出花圃的长和宽． 21. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角置于直角坐标系中，边在轴上、边与函数的图象交于点，以为圆心、以为半径作弧交图象于点．分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点，连接得到，则．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设，，求直线对应的函数表达式（用含，的代数式表示）； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点．请说明点在直线上，并据此证明 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得点的横坐标就是点的横坐标，点的纵坐标就是点的纵坐标，从而可得点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据作图方法可知点的坐标为，四边形是矩形，根据矩形的性质可得，根据作图可知，所以，从而可证结论成立． 【小问1详解】 由题意可知轴，轴， 可知点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 证明：由题意得， 当时，， 点在直线上， 由题意可知轴，轴， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质、矩形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，解决本题的关键是理解帕普斯三等分锐角的方法，根据作图的方法找到边和角之间的关系． 22. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． （3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是______． 【答案】（1）； （2）解：当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．将代入中，得．，该运动员此次跳水不会失误； （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可． （3）由题意知，当抛物线经过点时，最大．由，可知，由，可得，此时抛物线解析式为，将点代入得，由题意知，当经过点时，最小，同理可求得，进而可得的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，当抛物线经过点时，最大． ∵， ∴． ∵， ∴， 此时抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 由题意知，当经过点时，最小． 同理可求得， ∴． 23. 在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接． （1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系； （2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明详见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半作答，得出DO＝EO，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得出，从而得出DOEO，问题得解； （2）方法1:延长EB交AD于F，先证明 ,然后证明,最后证 问题得以证明；方法2:延长EO到M，使得OM＝OE，先证是等腰三角形，然后证OAMOBE，再证MADDCE,最后证明MDE为等腰三角形问题得解． （3）分BC在AC左侧时和BC在AC右侧两种情况，画出对应图形，求得，根据含30°角的直角三角形边之间的关系和勾股定理即可求得DE,再结合（2）可证OD⊥OE，OD=OE，根据等腰直角三角形三边关系可求得OD． 【详解】（1） 理由：， 与是直角三角形， 是AB的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故，OD＝OE． （2）成立． 证法一：延长交于点，连接 和是等腰三角形， ∴四边形是矩形 是的中点 ∵在中，是中点 ，则 ． 证法二：延长到点，使得，连接 是的中点 和是等腰三角形， ． （3）如下图，当BC在AC左侧时，∠ACB=60°， 过E作EH⊥DC，与它的延长线交于H，连接DE， ∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴在中，,, ∴, 在中,, 由（2）中的证法2可证得OD⊥OE，OD=OE， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，； 如下图，当BC在AC右侧时，∠ACB=60°， 过E作EH⊥DC，与它交于H，连接DE， ∵△ADC和△BEC为等腰直角三角形， ∴, ∴， ∴在中，,, ∴, 在中,, ∴． 综上所述或． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了图形的旋转变换，直角三角形的性质，三角形全等判定与与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，三角函数等知识，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期综合素养评价（三） 九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，管中放置着三根同样的绳子小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选取该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选中同一根绳子的概率为（    ） A. B. C. D. 4. 在下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知⊙O的直径为5，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O上 C. 点P在⊙O外 D. 无法判断 6. 抛物线经过平移后得到抛物线，其平移方法是（ ） A. 向右平移个单位，再向上平移个单位 B. 向右平移个单位，再向下平移个单位 C. 向左平移不单位，再向上平移个单位 D. 向左平移个单位，再向下平移个单位 7. 小亮新买了一盏亮度可调节的台灯（图①），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流是电阻的反比例函数，其图象如图②所示．下列说法正确的是（ ） A. 电流随电阻的增大而增大 B. 电流与电阻的关系式为 C. 当电阻为时，电流I为 D. 当电阻时，电流I的范围为 8. 如图，点 A，B，C在⊙O上，，连接 BO 并延长，交 于点D，连接 ，．若 ， 则 的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9. 如图，在正方形中，点是的中点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点连接．若则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第2024次得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 反比例函数的图象在第二，四象限，那么实数m的取值范围是______． 12. 有4个外观完全相同的密封且不透明试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、碳酸钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取2个，则抽到的2个都是酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）的概率是______． 13. 如图，△OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，点B是反比例函数y＝﹣图象上的点，则△OAB的周长为_____． 14. 一个圆锥的母线长为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的底面半径为___________． 15. 如图，正方形中，点是的中点，与关于所在直线对称，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，射线交于点．若，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8大题，共75分） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，已知，是一次函数 和反比例函数 的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出关于的不等式的解集． 18. 如图，AB为的直径，弦，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且． （1）求证：直线BF是的切线； （2）若，，求的半径． 19. 年月日，太原马拉松赛在迎泽大街太原火车站鸣枪开跑，一场城市运动盛会就此拉开帷幕．在志愿者招募阶段，婷婷和娜娜踊跃报名，致力成为太马志愿者一员．他们申请了后勤接待部．综合协调部．宣传推广部．问询志愿者部四种岗位中某一种岗位的志愿者，被随机分配到以上岗位中的任意一种的可能性相同． （1）“婷婷被分配到后勤接待部做志愿者”是_____事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图法或列表法，求婷婷和娜娜被分配到同一种岗位做志愿者的概率． 20. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为米，宽为米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为米． （1）当通道宽为米时，花圃的面积________； （2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于，如果可以，试求出此时通道的宽． 21. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角置于直角坐标系中，边在轴上、边与函数的图象交于点，以为圆心、以为半径作弧交图象于点．分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点，连接得到，则．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设，，求直线对应的函数表达式（用含，的代数式表示）； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两直线相交于点．请说明点在直线上，并据此证明 22. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． （3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点D在MN之间（包括M，N两点），则k的取值范围是______． 23. 在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接． （1）如图1，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系； （2）如图2，当点旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）若，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $