精品解析：江苏省南京市金陵汇文学校2024-2025学年上学期12月月考九年级数学试卷

九年级（上）大单元练习 数学 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. 0 B. 2 C. 0和2 D. 0和 2. 一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 内或外 4. 如图，，与分别相切于点A，B，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 如图，四边形内接于，E是延长线上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数有最大值，则“”中可填的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 8. 已知二次函数图象的顶点在y轴上，则k的值为________． 9. 公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试，三项成绩分别为分、分、分．若这三个分数依次按的比例确定综合成绩，则该应聘者的得分为________分． 10. 已知二次函数的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是________． 11. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 12. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与，分别相交于点，，则的长度是______． 13. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 14. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 15. 已知二次函数的图像与x轴有且只有一个公共点，且过，两点，则n的值为________． 16. 如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是______． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 18. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 19. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 （1）表中________，________． （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． （3）若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 20. 如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． （1）求的度数： （2）若的半径为r，则阴影部分面积是________； （3）当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 21. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价元时，每天能出售个，并且售价每上涨元，其销售量将减少个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的． （1）请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为元． （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 已知实数a，b，c，m，n满足，．求证：为非负数． 23. 一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4 ，高为0.75 ．当水面与抛物线形桥拱的顶部相距5时，桥下水面宽为8．要使该船顺利通过桥孔，水面与顶部至少相距多少？ 24. 已知关于的二次函数与轴有两个不同的交点． （1）求的范围； （2）若点，在二次函数的图象上，且，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 26. 尺规作图：如图，点在直线上，点在线段上，在直线上找一点，连接，，使．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点在格点上，点是小正方形边的中点，以为直径的半圆交网格线于点．在图2中，先画弧的中点，再在半圆上画点，使．（画图过程用虚线表示，写出必要的文字说明） 27. 【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【灵活应用】 （2）如图3，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【拓展延伸】 （3）如图4，小明完成上面的问题后发现的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，过圆上一点C，仅用无刻度的直尺，能否画出已知直径的垂线？请画出图形并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）大单元练习 数学 注意事项： 本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. 0 B. 2 C. 0和2 D. 0和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 2. 一组数据：5，6，6，7，8，这组数据的众数是（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，掌握众数的定义是解题关键．根据众数指一组数据中出现次数最多的数据，即可得到答案． 【详解】解：一组数据：5，6，6，7，8，其中出现了两次，次数最多， 即这组数据的众数是6， 故选：B． 3. 已知中，，若以点A为圆心，以为半径作圆，则点C在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 内或外 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：点和圆有三种位置关系：在圆内、在圆外、在圆上．用 和的半径比较即可得出结果． 【详解】解： 在中，， 以点为圆心，长为半径作圆， 点在上， 故选：B． 4. 如图，，与分别相切于点A，B，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，再证明为等边三角形，从而可得答案． 【详解】解：∵与分别相切于点，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选B． 5. 如图，四边形内接于，E是延长线上一点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，即圆内接四边形的对角互补． 先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由两角互补的性质即可得出结论． 【详解】解： 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ． 故选：． 6. 若二次函数有最大值，则“”中可填的数是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数顶点式，并会根据顶点式求最值． 先设处为，然后根据二次函数的性质得，最后根据可得中可填的数是． 【详解】解：设处为，由题意得二次函数为， ∵二次函数有最大值， ∴二次函数的图象开口向下即， ， ∴可以是， ∴中可填的数是． 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 若圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，则该圆锥的侧面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的底面圆半径为2，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可． 【详解】根据圆锥的侧面积公式：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键． 8. 已知二次函数图象的顶点在y轴上，则k的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确在轴上的点的横坐标都为0． 根据二次函数的图象的顶点在轴上，可知该函数图象顶点的横坐标为0，然后即可求得的值． 【详解】解： 二次函数的图象的顶点在轴上， ， 解得， 故答案为：0． 9. 公司对应聘者进行创新、综合知识、语言测试，三项成绩分别为分、分、分．若这三个分数依次按的比例确定综合成绩，则该应聘者的得分为________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握定义是解题的关键．把各项成绩分别乘以其权，再除以权的和，即可求出加权平均数． 【详解】解：该应聘者的得分为， 故答案为：． 10. 已知二次函数的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义和抛物线与轴的交点，要结合判别式进行解答． 根据二次函数的图象与轴有两个公共点可知且，据此可知的取值范围． 【详解】解： 二次函数的图象与轴有两个公共点， 且， 即， 解得且， 故答案为：且． 11. 如图，抛物线与直线相交于点，，则关于x的方程的解为______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出方程的解是解此题的关键．根据，两点的横坐标和函数的图象得出方程的解即可． 【详解】解：∵抛物线与直线相交于点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 12. 如图，在等腰三角形中，，，以为直径作圆，与 ，分别相交于点，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，求弧长，三角形内角和定理，连接，，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，然后根据圆周角定理和“三线合一”推出，进而利用弧长公式进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵是圆直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长度是， 故答案为：． 13. 如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 14. 已知关于的二次函数，当时，函数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，， ∴当时，二次函数有最小值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越大， ∴当时，， ∴当时，函数的取值范围为， 故答案为：． 15. 已知二次函数的图像与x轴有且只有一个公共点，且过，两点，则n的值为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求n的值． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴对称轴是直线， 又∵抛物线与x轴只有一个交点， ∴顶点为， ∴抛物线解析式为， 把代入，得： ， 即． 故答案为：18． 16. 如图，是半圆的直径，将沿弦折叠，使与相切，若，则的长的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据题意画出图形，分别求出的最大值和最小值即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最大， 过点作交于点，连接，则， 由折叠可得， ， ∴， ∴； 如图，当点与点重合，时，的值最小， ∵，， ∴； ∴的长的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可； （2）先展开方程，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，． 18. 把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位长度后，所得的抛物线的顶点坐标为．求b，c的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，考虑平移后的顶点坐标，逆推出原抛物线的顶点坐标，即可求出解析式． 把平移后的抛物线顶点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后得到原抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出原抛物线相应的函数表达式． 【详解】解：把点向上平移1个单位长度，再沿轴向右平移5个单位长度后所得对应点的坐标为， 即二次函数图象的顶点坐标为， 所以原抛物线相应的函数表达式为，即． ∴． 19. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理如下： 【整理数据】 【分析数据】 平均数/分 中位数/分 方差 甲 8.8 0.56 乙 8.8 9 0.96 丙 8 0.96 （1）表中________，________． （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适？请说明理由． （3）若去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则________．（填“”“”或“”） 【答案】（1）9， （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定， 所以选甲更合适； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，平均数，众数以及方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式是解题关键． （1）分别根据中位数、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， ∴甲得分的中位数为9， 由丙得分的扇形统计图可知，丙得分分别为：8，8，8，10，10， ∴丙得分平均数为． 故答案为：9，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差， ， 故答案为：． 20. 如图，正方形内接于，P为上的一点，连接，． （1）求的度数： （2）若的半径为r，则阴影部分面积是________； （3）当点P为的中点时，是的内接正n边形的一边，则________． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据正方形内接于，结合圆周角定理可得； （2）根据即可求出答案； （3）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出的度数，进而得出答案． 【小问1详解】 解：连接， ∵正方形内接于， ∴， ∴． 【小问2详解】 由题意可得，阴影部分面积是： ， 故答案为： 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵正方形内接于， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、正方形的性质、扇形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 21. 为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为元/个的粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价元时，每天能出售个，并且售价每上涨元，其销售量将减少个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子的售价不能超过进价的． （1）请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为元． （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）定价为元时，每天的利润为元；（2）当定价为元时，每天的利润最大，最大的利润是元． 【解析】 【分析】（1）设每个粽子的定价为元时，每天的利润为元，根据“总利润=单个利润×数量”列出方程即可求出结论； （2）设每个粽子的定价为元，根据“总利润=单个利润×数量”即可表示出总利润，然后利用配方法和平方的非负性即可求出结论． 【详解】解：设每个粽子的定价为元时，每天的利润为元， 根据题意得：， 解得 因售价不能超过进价的， 故，即 ，即定价为元时，每天的利润为元． 设每个粽子的定价为元，则每天的利润为： 当定价为元时，每天的利润最大，最大的利润是元． 【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系、配方法和平方的非负性求最值是解决此题的关键． 22. 已知实数a，b，c，m，n满足，．求证：为非负数． 【答案】证明：，， ，． 则， ，，是实数， ， 为非负数． 【解析】 【分析】本小题考查整式的运算、因式分解、分式的性质等基础知识：考的运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．根据题意得出，根据非负数的性质，即可求解； 【详解】略 23. 一艘装有防汛器材的运输船，露出水面部分的宽为4 ，高为0.75 ．当水面与抛物线形桥拱的顶部相距5时，桥下水面宽为8．要使该船顺利通过桥孔，水面与顶部至少相距多少？ 【答案】要使该船顺利通过桥孔，水面与顶部至少相距2m 【解析】 【分析】如图所示，以桥拱的顶部为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，先根据当水面与抛物线形桥拱的顶部相距5m时，桥下水面宽为8m，求出抛物线解析式，然后把，代入抛物线解析式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以桥拱的顶部为原点，建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为， ∵当水面与抛物线形桥拱的顶部相距5m时，桥下水面宽为8m， ∴可知点（4，-5）在抛物线图像上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴要使该船顺利通过桥孔，水面与顶部至少相距． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意建立坐标系求解． 24. 已知关于的二次函数与轴有两个不同的交点． （1）求的范围； （2）若点，在二次函数的图象上，且，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（）由与轴有两个不同的交点，则，然后求出的范围即可； （）根据二次函数，由题意可得时，随的增大而减小，故有，然后求出的范围即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握并灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：令，， ∵与轴有两个不同的交点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴时，随的增大而减小， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据是的直径，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出，即可证明是的切线． （2）根据勾股定理求出，在三角形中和三角形中根据勾股定理求出，即，求出，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，， 是的直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 于点， 又 点在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：，，， ， 在中，在中， ， ， 解得：， ，， 的半径为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 26. 尺规作图：如图，点在直线上，点在线段上，在直线上找一点，连接，，使．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点在格点上，点是小正方形边的中点，以为直径的半圆交网格线于点．在图2中，先画弧的中点，再在半圆上画点，使．（画图过程用虚线表示，写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】以为圆心， 长为半径画弧，与直线交于一点，以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，根据圆的性质可知，，利用等腰三角形的性质可知； 在网格中构造，借助网格作的平分线交半圆于点，则点为半圆的中点，过点为边作的正方形，连接交于点，则． 【详解】解：如下图所示， 以为圆心， 长为半径画弧，与直线交于一点， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 则点即为所求作的点； 理由：如下图所示，连接， 由作图可知，， ，， ， ， 又， ； 以点为格点，做是半圆所对的圆周角； 作平分线交半圆于点，即为半圆中点， 过点为边作的正方形， 连接交于点， ， ， ∵， ∴ 连接，则， 点即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、圆的性质、三角形外角定理、正方形的性质．解决本题的关键是利用这些图形的性质找到角之间的关系． 27. 【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【灵活应用】 （2）如图3，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则 的最大值为________． 【拓展延伸】 （3）如图4，小明完成上面的问题后发现的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，过圆上一点C，仅用无刻度的直尺，能否画出已知直径的垂线？请画出图形并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）根据题意可知点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动，所以当最大，最小， 最大，再根据已知长度计算就可以． （3）先画出图形，根据是圆的直径可得出点是三条高的交点，进而得到；根据（1）中的结论可得点、、、在同一个圆上，则有，再结合点、、、在上，推出，等量代换，结合平行线的判定可证明，至此问题不难解答． 【详解】（1）证明：点、、、四点也在同一个圆上；理由如下： 如图1：点是的中点．、的交点为点，点、、、四点也在同一个圆上．连接，， ， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点也在同一个圆上； 点、、、四点在同一个圆上；理由如下： 如图2，连接，取的中点，连接，， 则， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点在同一个圆上； （2）解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动， ， 如图3，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小， 最大， ， ， ， ， ∴ ， 此时，即的最小值为， ∵， 此时 的最大值为． 故答案为：． （3）如图所示，即为所求． 是的直径， ，即，， 根据三角形的三条高交于同一点可得：． ． ． 由（1）中的结论可得：点、、、在同一个圆上，如图所示． ． ， ． ∴． ． ， ，即． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形斜边上的中线的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $