精品解析：四川省眉山市东坡区高中学校2025届高三上学期一诊模拟联合考试数学试题

高中学校2022级高三一诊模拟联合考试 数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求的值域化简集合，再解不等式化简集合，然后进行集合的交集运算即可. 【详解】因为， ，所以． 故选：A. 2. 满足集合为的子集且的集合的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的概念得到答案. 【详解】因为集合， 则集合可以为,，，，，，， 共8个， 故选：C 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用指数与对数的互化得出，再利用对数的运算性质即可求解. 【详解】，则， 所以. 故选：D 4. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知恒过定点，再由指数函数的性质可知不过第二象限. 【详解】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移2个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 故选：B 5. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】 【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以为周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】将对数不等式进行等价变换，结合，，可判断，的取值范围，从而判断与的关系. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时取等号，即， 又， 所以不能推出，所以是的不充分条件； 又，所以是的必要条件， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由换底公式和基本不等式即可求解. 【详解】由知, 结合，以及换底公式可知， ， 当且仅当，， 即时等号成立， 即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可. 【详解】函数的部分图象如图所示. 由方程，解得或. 当时，有5个实根，当时，有6个实根， 故方程实根个数为11. 故选：C. 二、多项选择题（共18分） 9. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A. c＜0 B. b2﹣4ac＜0 C. x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D. 图像的对称轴是直线x＝3 【答案】CD 【解析】 【分析】由的两根分别为，结合韦达定理以及二次函数的性质判断即可. 【详解】因为二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），所以的两根分别为. 由图可知，，由韦达定理可知，即，故A错误； 由图可知，该二次函数与轴有两个交点，即，故B错误； 由韦达定理可知，，即该二次函数的对称轴为，即在x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值，故CD正确； 故选：CD 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 11. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:) A. B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 三、填空题（共15分） 12. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得 【详解】由题意，解得或． 故答案为：． 【点睛】本题考查由存在命题真假求参数范围，掌握解一元二次不等式的知识是解题关键． 13. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a． 设， 若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断出在区间上的单调性，结合复合函数的单调性同增异减来求得的取值范围. 【详解】由于满足：对任意两个不相等的实数， 都满足不等式，所以在区间上单调递增. 在上递减； 的开口向上，对称轴为， 所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 设是定义在上的函数，且，当时，． （1）判断的单调性，并证明； （2）若，解不等式． 【答案】（1）为上的减函数，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取，结合题目条件得到，即可证明； （2）利用赋值法，令，得到，令，，得到，从而将原不等式转化为，结合题目条件得到，再利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 设，则，因为当时， 所以， 即时，， 所以为上的减函数； 【小问2详解】 令，得，所以， 令，，得，所以， 则， 即， 由于， 则， 因为为上的减函数， 所以，解得：或， 故解集为． 16. 设二次函数 （1）若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； （2）方程两根为，，若，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据函数无零点，得到对应方程没有实数根，利用判别式小于零即可求解； (2)根据方程的两根，，利用根的分布列出不等式组即可求解. 【小问1详解】 若函数无零点，也即方程无实数根， 则判别式，解得， 即实数a的范围为； 【小问2详解】 因为方程的两根，， 则，即，解得， 即实数a的范围为 17. 某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）． （1）给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由． （2）该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本． 【答案】（1）选择且较好，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别将代入两个函数模型，可求得函数解析式，验证和时，两函数模型对应的函数值，比较其与实际数据的差异即可确定结果； （2）将收益表示为关于的函数，由可解得结果. 【小问1详解】 若选择函数且， 将代入函数得：，解得：，； 当时，；当时，； 可知当或时，与实际数据差距较大； 若选择函数且， 将代入函数得：，解得：，； 当时，；当时，； 可知当或时，与实际数据比较接近； 综上所述：选择且较好. 【小问2详解】 设该公司这天的仓库收益为元， 由表格数据可知：若货物存放天，每个仓库收费元， ， 由得：，的最小值为. 18. 函数，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式； （2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可. 【小问1详解】 当时， 不等式， 即，解得或， 所以不等式的解集为或； 【小问2详解】 易知的对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， 则，得，符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 解得或（舍）； ③当时，函数在上单调递减， 则，解得，不符合题意， 综上所述，的值为或. 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． （1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； （2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及导数法求函数的单调性即可求解； （2）根据（1）结论及导数法其函数的极值，结合函数零点与最值的关系即可求解. 【小问1详解】 由题可知，， ， 因为是函数的“拐点”， 所以，解得． 所以， ． 令，得或， 令，得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）可知，函数的拐点横坐标为，所以， 令，解得或； 令．解得． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为， 的极大值为． 当，即时，有三个零点; 当，即时，有两个零点; 当，即时，有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中学校2022级高三一诊模拟联合考试 数学试卷 一、选择题（共40分） 1. 若集合，则（ ） A B. C. D. 2. 满足集合为子集且的集合的个数是（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 15 3. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 4. 已知函数恒过定点，则函数不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 2025 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 已知函数则方程的实数个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多项选择题（共18分） 9. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图像经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　） A. c＜0 B. b2﹣4ac＜0 C. x＝3时函数y＝ax2+bx+c取最小值 D. 图像的对称轴是直线x＝3 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:) A. B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过年后，样本中氚元素变为原来的 D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则 三、填空题（共15分） 12. 若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是________. 13. 已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是____． 14. 已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的取值范围为__________． 四、解答题（共77分） 15. 设是定义在上的函数，且，当时，． （1）判断的单调性，并证明； （2）若，解不等式． 16. 设二次函数 （1）若该二次函数无零点，求实数a的取值范围； （2）方程的两根为，，若，，求实数a的取值范围. 17. 某公司每个仓库的收费标准如下表（表示储存天数，（万元）表示天收取的总费用）． （1）给出两个函数且，且，要从这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由． （2）该公司旗下有个这样的仓库．每个仓库储存货物时，每天需要元的运营成本，不存货物时仅需元的成本．一批货物需要存放天，设该批货物存放在个仓库内，其余仓库空闲．要使该公司这天的仓库收益不少于元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本． 18. 函数，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值． 19. 给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．已知函数． （1）若是函数的“拐点”，求a的值和函数的单调区间； （2）若函数的“拐点”在y轴右侧，讨论的零点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$