精品解析：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

长春外国语学校2024-2025学年第一学期第二次月考 初二年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的平方根是（ ） A B. C. D. 2. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，乐乐在∠ABC平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为(　　) A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 10，20，30 B. ，， C. 6，9，12 D. 9，12，13 5. 在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（　　） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 6. 如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为( ) A B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 10. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 11. 若，则的值是_____________ 12. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 13. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为_________ 14. 矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为____________ 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15 因式分解： （1） （2） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证：▱ABCD是菱形． 18. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简并求值：．其中，． 小豫的方法： 解：原式 ． 小宛的方法： 解：原式 任务一：仔细检查小豫同学解题的过程，回答下列问题． （1）第①处用到的乘法公式是________；（用字母表示公式） （2）第②处错误的原因是________． 任务二： （3）小宛运用了因式分解的方法，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小宛的过程． 19. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 21. 观察下列等式： …… （1）根据以上规律，则______________； （2）你能否由此归纳出一般性规律：________； （3）根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 22. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 23. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 24. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长春外国语学校2024-2025学年第一学期第二次月考 初二年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为90分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，难度不大，属于基本知识．如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：的平方根是； 故选：C． 2. 下列数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是掌握无理数和有理数的定义，进行解答，无理数的定义：无限不循环的小数；有理数的定义：除无理数之外的数都是有理数，即可． 【详解】解：∵，，是有理数；是无理数， 故选：B． 3. 如图，乐乐在∠ABC的平分线上任取一点P，并作PE⊥AB于点E，经测量知PE＝2 cm，由此可以推断点P到BC的距离为(　　) A. 4 cm B. 3 cm C. 2 cm D. 1 cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得． 【详解】过P作PF⊥BC于F． ∵BP是∠ABC的平分线，PE⊥AB，PF⊥BC，∴PE=PF=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 4. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 10，20，30 B. ，， C. 6，9，12 D. 9，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理判断即可求解． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，不合题意； B、，故是直角三角形，符合题意； C、，故不是直角三角形，不符合题意； D、，故不是直角三角形，不合题意； 故选：B． 5. 在□ABCD中，已知∠A﹣∠B=20°，则∠C=（　　） A. 60° B. 80° C. 100° D. 120° 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A+∠B=180°，又由∠A-∠B=20°，即可求得∠A的度数，继而求得答案． 详解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B=180°， ∵∠A-∠B=20°， ∴∠A=100°， ∴∠C=∠A=100°． 故选C． 点睛：此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 6. 如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长，然后再确定点所对应的数． 【详解】解：点，对应在数分别是，， ， 以为边在数轴上方作正方形， ， ， ， 点对应的数是， 在数轴上对应在数为， 故选：B． 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 8. 小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到，则正确的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以错抄成除以，结果得到， ∴原式 ， 则正确计算结果为： ． 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式运算，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解本题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 如果关于x的多项式是完全平方式，则常数k的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据完全平方公式的特点，常数项等于一次项系数一半的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟知完全平方式中常项数等于一次项系数一半的平方是解题的关键． 10. 如图，D是直线l外一点，在l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，理由是_____________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】 11. 若，则的值是_____________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出，再根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 12. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积． 13. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为_________ 【答案】30 【解析】 【分析】根据正方形面积公式，且结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，由勾股定理得：， ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：30． 14. 矩形中，平分，，则下列结论 ①； ②是等腰三角形； ③； ④， 其中正确结论的序号为____________ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形的性质和角平分线的定义得，，进而得，则为等边三角形，从而得，由此可求出的度数，进而可对①进行判断；由为等边三角形得，证为等腰直角三角形得，由此可对②进行判断；先求出，进而得，则，由此可得的度数，进而可对③进行判断；由可对④进行判断． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 平分， ， ， ， ∴为等边三角形， ， ，故①正确，符合题意； ∵为等边三角形， ， 又，， ∴为等腰直角三角形， ， ， ∴是等腰三角形，故②正确，符合题意； ，， ， ，， ， ，故③错误，不符合题意； ， ，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法的运算法则是解答关键． （1）根据同底数幂的运算，积的乘方和幂的乘方的运算法则来计算求解； （2）先利用积的乘方的运算法则计算，再利用整式除法的运算法则求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，且AE＝CF，求证：▱ABCD是菱形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA，进而利用菱形的判定证明即可． 【详解】证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠CFB＝∠AEB＝90°， 在△ABE与△CBF中 ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴BC＝BA ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD是菱形． 【点睛】此题考查菱形的判定，关键是根据AAS证明△ABE≌△CBF，进而利用全等三角形的性质得出BC＝BA． 18. 下面是两位同学进行整式运算的部分过程，请认真阅读并完成相应的任务． 化简并求值：．其中，． 小豫的方法： 解：原式 ． 小宛的方法： 解：原式 任务一：仔细检查小豫同学解题的过程，回答下列问题． （1）第①处用到的乘法公式是________；（用字母表示公式） （2）第②处错误的原因是________． 任务二： （3）小宛运用了因式分解方法，简便了运算，但其过程不完整，请你补全小宛的过程． 【答案】（1）；（2）完全平方公式运用错误；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据平方差公式即可得解； （2）根据完全平方公式即可得解； （3）先化简，再代入，计算即可得解． 【详解】解：（1）第①处用到的乘法公式是； （2）第②处错误的原因是完全平方公式运用错误； （3） ， 当，时，原式． 19. 如图，搬运师傅将滑轮固定在高为的楼顶上．师傅在楼底水平面上距离楼房9米的处拉紧绳子（绳长），并做个记号，然后沿方向向前走7米到处，拉紧绳子（绳长），量得绳长比绳长长5米，求楼的高度． 【答案】12米 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理． 设米，米，在和中，运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设米，米， 在中，， ． 在中，， ． ． ∴ ， 解得：． ． ， ∴楼的高度为12米． 20. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形、正方形的判定和性质，勾股定理； （1）作一个边长为的正方形即可； （2）根据菱形的性质作图即可； （3）根据平行四边形的性质作图即可 【小问1详解】 解：如图，正方形即为所求， 【小问2详解】 解：如图，菱形即为所求， 【小问3详解】 解：如图，平行四边形即为所求， 21. 观察下列等式： …… （1）根据以上规律，则______________； （2）你能否由此归纳出一般性规律：________； （3）根据（2）的规律计算：（结果保留幂的形式即可） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，问题就可根据规律解答了． 【小问1详解】 解：由规律得：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键．观察所给出式子，找到规律，填空，利用规律进行计算，实际上是规律的反利用，即把式子化为符合规律的式子，进行简便运算． 22. 如图，四边形的对角线相交于点O，，．若四边形是菱形； （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，，则有，然后问题可求证； （2）由题意易得，，则有，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质与判定、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键 23. 在矩形纸片中，，． （1）如图①，将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处，则的长为 （2）如图②，点为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点、且，①证明：．②求的长 （3）如图③，将矩形纸片折叠，使顶点B落在边上的点处，折痕所在直线同时经过、（包括端点，请直接写出的最大值和最小值． 【答案】（1）2 （2）①见解析② （3）的最大值为，最小值为1 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和全等三角形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． （1）在中，由勾股定理得出，由折叠得，从而可求出； （2）由证明，得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）当折痕所在直线经过点A时，此时最小；当折痕所在直线经过点C时，最大，，由勾股定理得． 【小问1详解】 解：∵矩形纸片中，， ∴， 由折叠得，点落在对角线上的点E处， ∴， ∴， 故答案为：2； 【小问2详解】 解：①证明：由折叠得 在和中， ， ∴， ②设， 由折叠的性质得：，， ∵ ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：当折痕所在直线经过点A时，如图所示： 此时最小； 当折痕所在直线经过点C时，如图所示： 此时最大，， 由勾股定理得：， ∴的最大值为，最小值为1． 24. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）解：三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$