精品解析：河南省郑州市金水区河南省实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级阶段性评估2数学试卷 命题人：岳伟 审题人：陈玉 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则（ ） A B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 平分 4. 若关于一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 5. 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在中，点、分别在边、上， ，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 9. 根据函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点D为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是10，则a＝（　　） A. 7 B. C. 8 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 已知关于的二次函数同时满足下列两个条件： （1）当时，随的增大而增大； （2）该函数图象的顶点在第二象限． 你认为符合要求的二次函数的表达式可以是：________（写出一个即可）． 13. 如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形矩形，，，则________． 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为_______． 15. 如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在由边长为1小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点D，使得． （2）如图2，画出角平分线． 18. 如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，小明把一根竹竿斜靠在石坝旁，底部与石坝的底部相距4米，量出竿上长为1米时，它离地面的高度为，石坝与地面的倾斜角为，请你帮小明计算石坝顶部距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 19. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． （2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 20. 在边长为1的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． （1）若是的中点，连接、，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）若是的三等分点，求的长． 21. 如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． （1）求反比例函数及直线的表达式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，写出的取值范围； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 23. 如图，已知，定点在射线上，动点在射线上，作四边形，使，且． （1）如图，当时，则________（用含的式子表示）； （2）如图，当点运动到时，连接交于点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若点关于直线的对称点为点，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级阶段性评估2数学试卷 命题人：岳伟 审题人：陈玉 （时间：100分钟 满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的相关计算，正确表示出各边长是解题关键．直接根据已知表示出三角形各边进而得到答案． 详解】解：如图所示： ， 设，则， 故， 则， 故选：C． 2. 如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据左边看到的图形进行判断即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： ， 故选C． 3. 在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（ ） A B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，先将方程化为一般式，再根据时一元二次方程有两个相等的实数根，即可求解． 【详解】解：将移项得， 该一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故选：B． 5. 小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果，再找出恰好是白色上衣和白色裤子的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种，其中，恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种， 则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为， 故选：B． 6. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象平移，首先把二次函数的解析式写成顶点坐标式，根据抛物线平移时左加右减、上加下减的规律写出平移后的抛物线的顶点坐标，从而得到平移后的二次函数的顶点坐标式解析式，再把它化为一般式即可得到，的值． 【详解】解：二次函数写成顶点坐标式为， 抛物线的顶点坐标为， 向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度后的顶点坐标是， 平移后的二次函数的解析式为， 化为二次函数的一般式为， 抛物线，中，． 故选：C． 7. 如图，在中，点、分别在边、上， ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积比，熟悉掌握相似三角形的面积比为相似比的平方是解题的关键． 利用平行判定出，再通过比值关系运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，，，，以原点为位似中心画一个四边形，使它与四边形位似且相似比是，则点的对应点的坐标为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，熟悉掌握位似变换的概念是解题的关键． 根据图形的相似比，分类讨论位似图形的位置情况解答即可． 【详解】解：∵相似比为， ∴当所画四边形与四边形同侧时，，则对应点为：； 当所画四边形与四边形关于原点中心对称方向时，，则对应点为：； 故选：C． 9. 根据函数的图像，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例的函数得出图像即可． 【详解】解：当时，即， 得； 由的图像知，当时，的取值范围是或． 故选D． 10. 如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB﹣BC匀速运动到点C停止，在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点D为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是10，则a＝（　　） A. 7 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象可知AB=AC=a，点D表示点K在BC中点，由△ABC的面积是10求BC，再利用勾股定理求AC即可． 【详解】解：由图象可知，点D所在的曲线关于点D对称的，即点D左右对应图象呈现对称性，则AB=AC，点K位于BC边的中点时，AK为△ABC底边BC上的高，AK的最小值是5 ∵△ABC的面积是10 ∴ 解得：BC=4 由勾股定理AB= ∴a=AB=AC=7 【点睛】本题为动点问题的函数图象探究题，考查动点在临界点前后的函数图象变化规律，解题关键是数形结合． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程结构，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程化为， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 12. 已知关于的二次函数同时满足下列两个条件： （1）当时，随的增大而增大； （2）该函数图象的顶点在第二象限． 你认为符合要求的二次函数的表达式可以是：________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和图像，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像以及性质进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：符合要求的二次函数的表达式可以是：， 故答案为：． 13. 如图，将矩形各边向外平移1个单位并适当延长，得到矩形，若矩形矩形，，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查相似的性质，熟练掌握相似的性质是解题的关键．根据矩形矩形，得到，由题意可知，，根据比例计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 矩形矩形， ， ， 解得， 故， 故答案为：1． 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形．若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．过点E作交于点H，延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：过点E作交于点H，延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点，分别为，上一个动点，沿折叠得到、点的对应点为，若点落在上，且与相似，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，分别画出图形，利用相似三角形的性质解答即可求解． 【详解】解：当时，如图，有，连接， 由折叠可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴； 当时，如图，有， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，余角性质，折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算以及分式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将特殊角的函数值代入计算即可； （2）将分式进行通分再计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母． （1）如图1，在线段上找一点D，使得． （2）如图2，画出的角平分线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）取格点F和格点E，使得，连接交于点D即可； （2）取格点G，构造等腰三角形，找到的中点H，连接并延长交于点E即可． 【小问1详解】 （1）如图所示，点D即为所求； 如图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D即可为所求； 【小问2详解】 如图所示，线段即为所求． 取格点，连接、，相交于点H，根据网格特点可知，四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴平分， 延长交于点E， 则即为所求 18. 如图，为了测量山坡的护坡石坝的高，小明把一根竹竿斜靠在石坝旁，底部与石坝的底部相距4米，量出竿上长为1米时，它离地面的高度为，石坝与地面的倾斜角为，请你帮小明计算石坝顶部距地面的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据勾股定理求出，根据三角函数得到，得到，求出即可得到答案． 【详解】解：， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ． 石坝顶部距地面的高度为米． 19. 暑假期间，为了加强青少年积极参加体育锻炼，强盛体育用品店开展乒乓球拍促销活动． （1）据市场调研发现，强盛体育用品店近几个月的乒乓球拍销售量逐月提升，已知6、7、8三个月的销售情况如下表： 销售时间 6月 7月 8月 销售量 500副 720副 每月的月销售增长率相同，求表格中的值． （2）强盛体育用品店乒乓球拍的进价为40元/副，每天的销售量（副）与销售单价（元）之间的关系为，请问该体育用品店的销售单价定为多少元可使每天的销售利润最大？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意列出函数式子是解题的关键． （1）设平均每月增长率为，根据6月和8月的增长情况列出方程求出增长率即可解答； （2）设每天销售利润为元，根据利润每一件利润数量列出函数式子，再根据取值范围分析求解即可． 【小问1详解】 解：设平均每月增长率为， 根据题意得：， 解得：或（不合题意舍去）， ∴ ； 【小问2详解】 设每天销售利润为元， 根据题意得：， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，取最大值， 答：销售单价定为90元时，每天的销售利润最大． 20. 在边长为1的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． （1）若是的中点，连接、，请判断四边形的形状，并说明理由． （2）若是的三等分点，求的长． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质和判定出，得到，即可判定出四边形的形状； （2）利用正方形的性质判定出，得到，再分类讨论的位置进行解答即可． 【小问1详解】 解：连接,如图所示： 四边形是平行四边形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ①当时，则， ∴． ②当时，则， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，熟悉掌握图形的判定方法是解题的关键． 21. 如图，直线：与反比例函数交于点，，连接，． （1）求反比例函数及直线的表达式； （2）求的面积； （3）在直线上是否存在一点，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；； （2）； （3）存在；或． 【解析】 【分析】（1）首先点在反比例函数上，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点的坐标，根据、的坐标利用待定系数法求一次函数的解析式； （2）求出直线与轴的交点坐标，根据计算出的面积； （3）设直线与直线的交点为点，点的坐标为，根据可列方程求出，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：点在反比例函数上， ， 反比例函数的解析式为， 又点也在反比例函数上， ， 点的坐标为， 把点、的坐标代入， 得到：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 点的坐标为， ， ， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，直线与直线的交点为点， 当时，， 点的坐标为， 设点的坐标为，则， ， ， ， 又， ， 解：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数图象、一次函数与几何图形、待定系数法求解析式，解决本题的关键要注重数形结合的思想． 22. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为． （1）求二次函数表达式； （2）当时，写出的取值范围； （3）当时，二次函数最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和点坐标，求得点的坐标，然后代入二次函数解析式，求解即可； （2）令求得的值，结合函数图像即可求解； （3）分三种情况，根据最小值为，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点与点关于直线对称，∴点的坐标为， 代入，得：，解得， 所以二次函数的表达式为； 【小问2详解】 当时 ∴， ∵ ∴ 【小问3详解】 若，即，则函数的最小值为， 解得（正值舍去）； 若，即， 则函数的最小值为，解得：（舍去）； 若，则函数的最小值为， 解得（负值舍去）； 综上，的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数与方程和不等式的关系、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用． 23. 如图，已知，定点在射线上，动点在射线上，作四边形，使，且． （1）如图，当时，则________（用含的式子表示）； （2）如图，当点运动到时，连接交于点，试用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若点关于直线的对称点为点，连接，，当为等腰直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理可得，进而即可求解； （）点作交于点，证明，推出，，又由直角三角形的性质可得，进而即可求解； （）分两种情形：①当点在点的左侧时，首先证明，由（）可知，，过点作于点，则，利用三角形面积公式，即可求解；②当点在点的右侧时，同法解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，, ∴， ∴； 即； 【小问3详解】 解：①如图中，当点在点的左侧时， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∴， 由()可知，， 过点作于点，则， ∴； ②如图中，当点在点的右侧时， ∵，， ∴， ∵关于对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 延长交于点，则，， 设，则， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$