精品解析：辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷

丹东市2024年普通高中教学质量调研测试 高一数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求解出结果. 【详解】因为，所以， 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定求解即可. 【详解】根据全称量词命题的否定，：. 故选：D. 3. 若函数的定义域为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，即可得出该函数的值域. 【详解】因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，，所以函数在上的值域为. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的解法，分别求得不等式的解集，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】根据题意可知， ， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设这两年的平均增长率为，根据题意列出等式即可求解. 【详解】设这两年的平均增长率为, 则根据题意的， 求解可得. 故选：A 6. 设函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到函数单调递增，得到，解得答案. 【详解】由，可知在上是增函数， 所以，解得． 故选：D. 7. 设，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】的范围通过画出两个函数图像的交点来确定，然后利用函数单调性比较大小. 【详解】如图所示：，而，所以. 故选：A 8. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为，的定义域为关于原点对称， 所以为奇函数，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C. 二､选多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若幂函数的图像经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 的图像关于轴对称 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出幂函数解析式，ABC直接判断，D选项利用作差法判断. 【详解】设幂函数的解析式为，因为幂函数经过，所以有， 所以幂函数的解析式为，的定义域为，值域为，故A错误B正确； ，所以关于轴对称，故C正确； 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD 10. 若实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据可分析出的最值；根据结合的范围可求的最值. 【详解】因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故C错误，D正确； 故选：AD. 11. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数单调性结合已知可得，结合对数函数性质求解判断AB；借助对勾函数单调性求解判断CD. 【详解】函数的定义域为，由，得， 则，由，得， 即，因此，，，AB正确； 对于C，函数在上单调递增，则，C错误； 对于D，函数在上单调递增，则， 当时，在上单调递增，因此，D正确. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据指、对数运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 13. 设函数，若，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】设，利用函数的奇偶性的定义判断函数为奇函数，再根据奇函数的性质计算可得. 【详解】设，， 则， 所以， 则，所以函数为奇函数， 则，即， 则，即. 故答案：5. 14. 设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用并集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解； （2）由（1）知，先根据，求得实数的取值范围，再根据其补集即可求解. 【小问1详解】 解不等式得， 当时，， 因此. 【小问2详解】 由（1）知或. 若，则解得. 因为， 所以的取值范围为或. 16. 二次函数满足，且的最小值为. （1）求的解析式； （2）若函数在上单调，且在该区间内有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，的图象关于直线对称，利用二次函数的对称轴可求出，由函数的最小值可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的单调性结合函数的零点可得出关于实数的的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由知的图象关于直线对称， 从而，则，因此. 因为的最小值为，所以，可得. 于是. 【小问2详解】 在单调递减，在单调递增. 由，则函数在单调且在该区间内有且只有一个零点等价于 或，解得或， 故的取值范围为. 17. 已知是奇函数. （1）证明：； （2）写出的单调区间； （3）求使成立的值集合. 【答案】（1）证明见解析 （2）单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】(1)由奇函数的定义，结合对数的运算性质，即可证明； (2)根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可求； (3)法一：令，得，由（2）单调性即可求解，法二：根据对数单调性可列出不等式，再综合指对数函数定义域即可求解. 【小问1详解】 由题意不在定义域内，因为是奇函数， 所以也不在定义域内， 从而当时，，可得. 于是. 因为定义域为是奇函数，由得. 此时，满足. 因此. 【小问2详解】 定义域为. 当时，单调递增； 当及时，均单调递减， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 【解法1】令，得， 由（2）可知当时，单调递增； 则，过当时， 当时，单调递减， 当时，，所以 综上成立的值集合为. 【解法2】由得， 等价于解得. 于是使成立的值集合为 18. 定义域为的函数满足. （1）求证：； （2）求证：为偶函数； （3）当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【小问1详解】 取代入，得， 取代入， 得，故. 【小问2详解】 取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. 【小问3详解】 设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 19. 若关于的一元二次方程有两个实根，则称为两根之间的距离，简称“根距”.当，其中，则称该一元二次方程有级“根距”.例如，则称该一元二次方程有2级“根距”. （1）试用表示根距； （2）设关于的方程有两个不等实根，判断该方程的根距是多少级？ （3）若，当时，，，求的值，并确定一元二次方程根距级数的最小值，使至少可以取到两个整数值. 【答案】（1） （2）级. （3），；6 【解析】 【分析】（1）利用求根公式求出方程根，然后可表示出； （2）根据（1）的结果表示出，采用换元法结合基本不等式求解出的最大值，由此可确定出根距的级数； （3）先根据关于的方程的解确定出的值，然后由根距表示出的范围，根据范围内整数值的个数进行分类讨论，由此可求的最小值. 【小问1详解】 当时，， 故. 【小问2详解】 由题设，可得， 所以， 设，则，所以， 当且仅当时等号成立， 且满足，所以， 因为，所以此方程根距是级. 【小问3详解】 由，得或，则， 因为当时，， 所以，因为，所以，， 所以关于的方程根距， 由，得， 因为，当，即时，此时少于2个整数解， 若，则仅有1个整数解， 若，则仅有1个整数解， 若，则有2个整数解和， 综上，关于的一元二次方程根距级数的最小值为6，使至少可以取到两个整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丹东市2024年普通高中教学质量调研测试 高一数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数定义域为，则的值域为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 不充分也不必要条件 5. 若某地区第一年的经济增长率为，第二年的经济增长率为（其中），则这两年的平均增长率为（ ） A. B. C. D. 6. 设函数若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､选多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若幂函数的图像经过点，则（ ） A. 的定义域为 B. 值域为 C. 的图像关于轴对称 D. 当时， 10. 若实数满足，则（ ） A. 有最大值为 B. 有最小值为 C. 有最大值为 D. 有最小值为 11. 设函数，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为6 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：__________. 13. 设函数，若，则__________. 14. 设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 二次函数满足，且的最小值为. （1）求的解析式； （2）若函数在上单调，且在该区间内有且只有一个零点，求实数取值范围. 17. 已知是奇函数. （1）证明：； （2）写出的单调区间； （3）求使成立的值集合. 18. 定义域为的函数满足. （1）求证：； （2）求证：为偶函数； （3）当时，，求证：上单调递增，在上单调递减. 19. 若关于的一元二次方程有两个实根，则称为两根之间的距离，简称“根距”.当，其中，则称该一元二次方程有级“根距”.例如，则称该一元二次方程有2级“根距”. （1）试用表示根距； （2）设关于的方程有两个不等实根，判断该方程的根距是多少级？ （3）若，当时，，，求值，并确定一元二次方程根距级数的最小值，使至少可以取到两个整数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$