精品解析：山东省临沂市沂水县第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024-2025沂水三中高二数学12月考试题 12.19 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的中项求解. 【详解】解：由等差数列的性质可知， 所以． 故选：A． 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算求得，然后利用空间向量模的坐标运算求解即可. 【详解】由向量，，且， 得，则，则. 故选：C 3. 已知直线：，：，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出或1，从而得到甲是乙的必要不充分条件. 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程结合离心率公式运算求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的离心率，所以． 故选：D． 5. 直线与以为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式及弦长公式的逆运用计算半径即可. 【详解】易知到的距离为， 所以该圆的半径为， 故该圆方程为：. 故选：B 6. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可求解. 【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为. 故选：B. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量对称性知识来判断A，利用空间四点共面的性质来判断B，利用直线方向向量与法向量垂直，结合线与面的位置关系来判断C，利用直线方向向量与法向量夹角来判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B ，已知为空间任意一点四点共面，且任意三点不共线，若， 则，B选项错误； 对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为， 所以，则或，C选项错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D选项正确； 故选：D. 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率． 【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则， 因为，所以，故， 则有， 即，即，则，由，故． 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解． 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的方程，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 故选：BD 10. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意可得，计算可得判断A；可求判断B；，可判断C；计算可得判断D. 【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确． 故选：ACD． 11. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可判定A，由平行四边形与双曲线的对称性及双曲线定义可判定B，利用双曲线的性质可判定C，设直线方程，联立双曲线利用韦达定理及弦长公式结合函数的单调性可判定D. 【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，B正确． 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得， 则，即，C正确． 由， 设：；，，， 联立得， ∴，， 则 ， 设，则， ∴， 又单调递减，则，∴， 故，D错误． 故选：BC 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在前项和为的等差数列中，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的公式，结合已知条件求即可. 【详解】由于，故，，两式相减得到. 而，故. 故答案为： 13. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为______ 【答案】 【解析】 【分析】先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出. 【详解】因为， 所以 ， . 故答案为：. 14. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________． 【答案】7 【解析】 【分析】由题意结合双曲线定义将转换为，进一步由三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示： 由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7. 故答案为：7. 四、解答题 本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 【答案】（1）（2）或 【解析】 【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，且 , 所以圆的方程为 . （2）记MN中点为Q，则由垂径定理可知且， 在中由勾股定理易知，，设动直线方程为：或，显然合题意.由到距离为1知，解得, ∴或 为所求方程. 16. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为，所以． 因为，所以， 所以．因为，所以， 所以数列是首项，公差的等差数列． 所以． （2） 根据等差数列的前项和公式，得． 对于二次函数，其图象的对称轴为直线， 所以当时，取得最小值．因为， 所以存在最小值，最小值为－9，此时． 【解析】 【分析】（1）证明出相邻两项的差为常数，即可得到结果； （2）根据数列的单调性以及最值可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：，代入抛物线方程运算求解即可； （2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，准线的方程为， 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，， 因为点在上，所以， 整理得，，解得， 故的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得， 则，可得，， 所以， 又因为的面积为3，则， 即，解得， 故直线的斜率为． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）存在，． 【解析】 【分析】（1）的中点，连接，可证四边形是平行四边形，可得，可证结论； （2）（i）由已知可证，，建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点，使得点到平面的距离是，利用点到面距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，如图所示：∵为棱的中点， ∴， ∵，∴， ∴四边形是平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面． 【小问2详解】 ∵，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， 又平面，∴，而，， ∴以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵为棱的中点， ∴ （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面的一个法向量为， ∴， 根据图形得二面角为锐角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设， 则， 由（2）知平面的一个法向量为， ， ∴点到平面的距离是， ∴，∴． 19. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为． （1）求的方程； （2）已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，根据平面向量数量积的坐标运算可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线所过定点的坐标. 【小问1详解】 解：的周长为， 由已知可得，解得， 因此，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由可得. 若直线的斜率不存在，设点、，则，其中， 则，， 所以，，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，即， ， 因为，， 由，得， 即， 则， 整理得，解得. 所以，直线的方程为，过定点． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025沂水三中高二数学12月考试题 12.19 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在等差数列中，，，则（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 已知向量，，且，那么（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知直线：，：，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 若双曲线的离心率为，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 直线与以为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线C是椭圆 B. 当或时，曲线C是双曲线 C. 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D. 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10. 记等差数列的前项和为，，，则（　　） A. B. C. D. 11. 双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（ ） A. B. C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为 D. 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在前项和为的等差数列中，，，则__________． 13. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为______ 14. 已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为_________． 四、解答题 本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交于M、N两点, 当时，求直线l方程． 16. 数列满足，，，数列满足，． （1）证明数列是等差数列并求出通项公式. （2）数列的前项和为，问是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由． 17. 已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． （1）求的方程； （2）设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为． （1）求的方程； （2）已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $