圆的方程小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

圆的方程 一、单项选择题 1．(★)设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 答案　A 解析　直径|AB|＝＝2，所以半径为，又线段AB的中点坐标为(3,0)，所以圆的方程为(x－3)2＋y2＝2. 2．(★)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 答案　A 解析　设圆心坐标为(a，b)(a＞0，b＞0)， 由圆与直线4x－3y＝0相切，可得圆心到直线4x－3y＝0的距离d＝＝1， 化简得|4a－3b|＝5，① 又圆与x轴相切，可得|b|＝1， 解得b＝1或b＝－1(舍去)， 把b＝1代入①得4a－3＝5或4a－3＝－5， 解得a＝2或a＝－(舍去)， ∴圆心坐标为(2,1)， 则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1. 3．(★)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－2 D．7 答案　D 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，分别将A，B，C三点坐标代入，得 解得满足D2＋E2－4F>0， 所以A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0. 因为D(a,3)也在此圆上， 所以a2＋9－4a－25－5＝0， 所以a2－4a－21＝0， 解得a＝7或a＝－3(舍去)． 4．(★★)(2023·济南模拟)若平面内一动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为(　　) A．x2＋y2－12x＋4＝0 B．x2＋y2＋12x＋4＝0 C．x2＋y2－x＋4＝0 D．x2＋y2＋x＋4＝0 答案　D 解析　由题意，设P(x，y)，则＝，化简可得x2＋y2＋x＋4＝0. 5．(★★)圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0上一点A发出的光线经x轴反射后经过点P(－2,1)，则光线从点A到点P的最短路程为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝1，圆心为C(1,3)，半径为1，如图所示，设点P关于x轴的对称点为P1(－2，－1)，反射光线交x轴于点Q，|P1C|＝＝5，因为|PQ|＝|P1Q|，所以光线从点A到点P的路程为|PQ|＋|AQ|＝|P1Q|＋|AQ|＝|P1A|，所以光线从点A到点P的最短路程为|P1C|－1＝4. 6．(★★)已知圆O经过三点A(0,1)，B(－3,2)，C(1,4)，则点P(m,2m－5)到圆O上任意一点的距离的最小值是(　　) A. B．2 C．5－2 D．3 答案　A 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，将A，B，C三点代入 得 解得满足D2＋E2－4F>0， 则圆的方程为x2＋y2＋2x－6y＋5＝0， 即(x＋1)2＋(y－3)2＝5， 故圆心O(－1,3)，半径r＝， 则点P(m,2m－5)到圆心O的距离 d＝＝， 当m＝3时，dmin＝2>r， 所以点P(m,2m－5)到圆O上任意一点的距离的最小值是dmin－r＝. 二、多项选择题 7．(★)(2023·江门模拟)若方程a2x2＋(a＋6)y2＋2ax＝0表示一个圆，则a的取值可能为(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案　AC 解析　由圆的一般方程形式知x2，y2的系数相同， 则a2＝a＋6，解得a＝－2或a＝3， 当a＝－2时，方程为2＋y2＝表示一个圆； 当a＝3时，方程为2＋y2＝表示一个圆． 故a的取值可能为－2或3. 8．(★★)(2023·曲靖模拟)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP的面积可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 答案　BC 解析　依题意，点A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2， 又圆(x－2)2＋y2＝2的圆心C(2,0)，半径r＝，则点C到直线AB的距离为＝2>r， 因此点P到直线AB的距离d∈[，3]，△ABP的面积S＝|AB|·d＝d∈[2,6]， 显然BC满足，AD不满足． 9．(★★)下列结论正确的是(　　) A．若点A(1,2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，则实数m的取值范围为m>－3 B．光线由点P(2,3)射到x轴上，经x轴反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在直线方程是4x＋y－5＝0 C．点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)在同一个圆上 D．若圆x2－2x＋y2＝0与圆M关于直线x＋y＝0对称，则圆M的方程为x2＋y2＋2y＝0 答案　BD 解析　因为圆C的方程为x2＋y2＋mx－2y＋2＝0，所以m2＋(－2)2－4×2>0，所以m>2或m<－2，又点A(1,2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，所以12＋22＋m×1－2×2＋2>0，解得m>－3，所以－3<m<－2或m>2，故A错误； 设点P(2,3)关于x轴的对称点为点T，则点T的坐标为(2，－3)，由光学性质可得点T(2，－3)，Q(1,1)都在反射光线所在直线上，所以反射光线所在直线的斜率k＝＝－4，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝－4(x－1)，即4x＋y－5＝0，故B正确； 设过点(0,0)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0， 则 解得满足D2＋E2－4F>0， 所以过点(0,0)，(4,0)，(4,2)的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，将点(－1,1)代入得(－1)2＋12－4×(－1)－2×1＝4>0，所以点(－1,1)在圆x2＋y2－4x－2y＝0外，所以点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)不在同一个圆上，故C错误； 设圆x2－2x＋y2＝0的圆心为N，半径为r，由已知得N的坐标为(1,0)，r＝1，因为圆M与圆N关于直线x＋y＝0对称，所以点M与点N关于直线x＋y＝0对称，且圆M的半径为1，设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝1，由已知可得×(－1)＝－1，且＋＝0，所以a＝0，b＝－1，所以圆M的方程为x2＋(y＋1)2＝1，即x2＋y2＋2y＝0，故D正确． 10．(★★)(2024·长春模拟)已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2,6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是(　　) A．点M的轨迹不是圆 B．|PQ|的最小值为6 C．若l的方程是4x－3y＋10＝0，则圆O上仅有三个点到直线l的距离为5 D．使|PQ|为整数的直线l共有16条 答案　BCD 解析　圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝7. 因为直线l过点N(2,6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，所以OM⊥MN， 所以点M在以ON为直径的圆上，即点M的轨迹是圆，故A错误； 当圆心O到直线l的距离最大时，有ON⊥l，最大值为|ON|＝＝2， 故|PQ|的最小值为2＝6，故B正确； 当直线l的方程是4x－3y＋10＝0时，圆心O(0,0)到直线l的距离为＝2， 圆O的半径r＝7，所以圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，故C正确； 由B选项分析可知，|PQ|的最小值为6，最大值即为直径14， 由过定点N(2,6)的圆O的最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知， 使|PQ|为整数的直线l共有16条，故D正确． 三、填空题 11．(★)(2023·银川模拟)已知圆M的圆心在直线y＝－x－3上，且过点(1，－2)，(－1,0)，则圆M的方程为_____________________． 答案　(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 解析　因为圆M的圆心在直线y＝－x－3上，且过点(1，－2)，(－1,0)， 所以设圆心为(m，－m－3)， r＝ ＝， 解得 m＝－1，则圆心为(－1，－2), r＝2， 所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝4. 12．(★★)(2023·保定模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3,6)，点B在y轴的右侧，以AB为直径的圆C与直线l交于A，D两点，且点D的坐标为(1，t)，点E为劣弧上一点，满足＝，直线CE的斜率为2，△ABD的面积为15，则圆C的标准方程为______________________． 答案　(x－5)2＋2＝ 解析　画出图形如图所示，因为点E为劣弧上一点，满足＝，所以CE⊥BD， 因为AB为圆C的直径，所以∠ADB＝90°，即AD⊥BD，所以CE∥AD. 因为kCE＝2，所以kAD＝＝2，解得t＝2，D(1,2)，所以直线AD的方程为2x－y＝0， 设B的坐标为(m，n)(m>0)，因为AD⊥BD，kAD＝2， 所以kBD＝－，即＝－， 所以m＋2n＝5.① 因为△ABD的面积为15，所以|AD|·|BD|＝×2×＝15，即|2m－n|＝15，② 联立①②解得或(舍去)，即B(7，－1)． 所以C， 半径R＝|AC|＝＝， 所以圆C的标准方程为(x－5)2＋2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的方程 一、单项选择题 1．(★)设A(2，－1)，B(4,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　) A．(x－3)2＋y2＝2 B．(x－3)2＋y2＝8 C．(x＋3)2＋y2＝2 D．(x＋3)2＋y2＝8 2．(★)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 3．(★)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为(　　) A．1 B．3 C．－2 D．7 4．(★★)(2023·济南模拟)若平面内一动点P到两点A，B的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，则动点P的轨迹叫做阿波罗尼斯圆．若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝，则此阿波罗尼斯圆的方程为(　　) A．x2＋y2－12x＋4＝0 B．x2＋y2＋12x＋4＝0 C．x2＋y2－x＋4＝0 D．x2＋y2＋x＋4＝0 5．(★★)圆x2＋y2－2x－6y＋9＝0上一点A发出的光线经x轴反射后经过点P(－2,1)，则光线从点A到点P的最短路程为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．(★★)已知圆O经过三点A(0,1)，B(－3,2)，C(1,4)，则点P(m,2m－5)到圆O上任意一点的距离的最小值是(　　) A. B．2 C．5－2 D．3 二、多项选择题 7．(★)(2023·江门模拟)若方程a2x2＋(a＋6)y2＋2ax＝0表示一个圆，则a的取值可能为(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 8．(★★)(2023·曲靖模拟)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP的面积可能是(　　) A．1 B．3 C．4 D．7 9．(★★)下列结论正确的是(　　) A．若点A(1,2)在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2＝0外，则实数m的取值范围为m>－3 B．光线由点P(2,3)射到x轴上，经x轴反射后过点Q(1,1)，则反射光线所在直线方程是4x＋y－5＝0 C．点(0,0)，(4,0)，(－1,1)，(4,2)在同一个圆上 D．若圆x2－2x＋y2＝0与圆M关于直线x＋y＝0对称，则圆M的方程为x2＋y2＋2y＝0 10．(★★)(2024·长春模拟)已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2,6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是(　　) A．点M的轨迹不是圆 B．|PQ|的最小值为6 C．若l的方程是4x－3y＋10＝0，则圆O上仅有三个点到直线l的距离为5 D．使|PQ|为整数的直线l共有16条 三、填空题 11．(★)(2023·银川模拟)已知圆M的圆心在直线y＝－x－3上，且过点(1，－2)，(－1,0)，则圆M的方程为_____________________． 12．(★★)(2023·保定模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3,6)，点B在y轴的右侧，以AB为直径的圆C与直线l交于A，D两点，且点D的坐标为(1，t)，点E为劣弧上一点，满足＝，直线CE的斜率为2，△ABD的面积为15，则圆C的标准方程为______________________． 学科网（北京）股份有限公司 $$