随机事件、频率与概率小题限时训练--2025届高三数学二轮复习

随机事件、频率与概率 一、单项选择题 1．(★)下列叙述错误的是(　　) A．若事件发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．两个对立事件的概率之和为1 D．对于任意两个事件A和B，都有P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 答案　D 解析　若A，B两事件有交事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)不成立． 2．(★)从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 答案　A 解析　在A选项中，“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能同时发生，故互斥，“恰好有两个白球”的对立事件是“至少有一个黑球”，故不对立，所以互斥不对立． 3．(★)设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B一定为(　　) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．独立事件 D．对立事件 答案　B 解析　因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B一定为互斥事件． 4．(★)(2024·青岛模拟)将四位数2 025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　将2 025各个数字打乱顺序重新排列所组成的不同四位数(含原来的四位数)的所有样本点有2 205,2 250,5 220,5 022,2 025,2 520,2 052,2 502,5 202，共9个， 所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的样本点有2 025,2 520,2 052,2 502,5 202，共5个， 所以所组成的不同四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为. 5．(★★)(2023·邯郸模拟)2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，来自A省的3名代表和B省的3名代表合影留念．假设6名代表站成一排，则A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　6名代表站成一排的所有排法共有A＝720(种)排法， A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的排法可分为两类： 第一类：A省的3名代表坐在第1,3,5位置，共有AA＝36(种)排法， 第二类：A省的3名代表坐在第2,4,6位置，共有AA＝36(种)排法， 所以A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的排法共有2AA＝72(种)排法， 所以事件“A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻”的概率P＝＝. 6．(★★)(2023·广州模拟)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　先考虑恰有3人领取的礼品种类相同，先从5人中选取3人有C＝10(种)，再从三类礼品中领取一件有C＝3(种)， 另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有2×2＝4(种)，按照分步乘法计数原理可得，恰有3人领取的礼品种类相同，共有10×3×4＝120(种)， 又总情况有35＝243(种)，故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是＝. 二、多项选择题 7．(★)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况(不包括罚球)如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55 答案　ABC 解析　由古典概型得， P(A)＝＝0.55，故A正确； P(B)＝＝0.18，故B正确； P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.55－0.18＝0.27，故C正确； P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.27＝0.45，故D错误． 8．(★)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间(分钟) 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 答案　BD 解析　“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，A错误； 线路一所需的平均时间为30×0.5＋40×0.2＋50×0.2＋60×0.1＝39(分钟)， 线路二所需的平均时间为 30×0.3＋40×0.5＋50×0.1＋60×0.1＝40(分钟)， 所以线路一比线路二更节省时间，B正确； 线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8， 所以小张应该选线路二，故C错误； 所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为(50,60)，(60,50)和(60,60)三种情况， 概率为0.2×0.1＋0.1×0.1＋0.1×0.1＝0.04，故D正确． 9．(★★)(2023·苏州调研)6个相同的球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为x1，第二次取出球的数字为x2.设X＝，其中[X]表示不超过X的最大整数，则(　　) A．P(x1>x2)＝ B．P(x1＋x2＝5)＝ C．事件“x1＝6”与“X＝0”互斥 D．事件“x2＝1”与“X＝0”对立 答案　AC 解析　由题意， 6个相同的球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球． ∴共有36种可能的情况，其中x1>x2的情况共有＝15(种)， ∴P(x1>x2)＝＝，故A正确； ∵两次取球数字之和为5的情况有以下4种：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)， ∴P(x1＋x2＝5)＝＝，故B错误； 当x1＝6时，X＝＝≠0， ∴事件“x1＝6”与“X＝0”互斥，故C正确； ∵当x2＝1时，X＝＝[x1]≠0， 当x2＝2，x1＝2时，X＝＝1≠0， ∴事件“x2＝1”与“X＝0”不对立，故D错误． 10．(★★)某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男生、女生各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y，制成如图，其中“*”表示男生，“＋”表示女生． 若0<x<0.6，则认定该学生为“初级水平”；若0.6≤x≤0.8，则认定该学生为“中级水平”；若0.8<x≤1，则认定该学生为“高级水平”．若y≥100，则认定该学生为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”．下列说法中错误的有(　　) A．50名参加测试的女生中，指标在0<x<0.6的有20人 B．从50名女生中随机选出1名，则该学生为“初级水平”的概率为 C．50名参加测试的男生中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人 D．从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男生中任选2名，则选出的2名均为“高级水平”的概率为 答案　AC 解析　对于A，由图知，在50名参加测试的女生中，指标在0<x<0.6的有15人，故A说法错误； 对于B，从50名女生中随机选出1名，则该学生为“初级水平”的概率P＝＝，故B说法正确； 对于C，由图知，参加测试的男生中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有26人，故C说法错误； 对于D，由图知，“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男生共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为A1，A2，A3，“高级水平”有3人，分别记为B1，B2，B3，则任选2名的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共有15个样本点，设事件C表示“两人均为高级水平”，则C＝，共有3个样本点，所以P(C)＝＝，故D说法正确． 三、填空题 11．(★★)(2023·运城模拟)在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为________． 答案　 解析　甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况： (1)场馆分组人数为1,1,3时，甲、乙必在3人组，则方法数为CA＝18(种)； (2)场馆分组人数为2,2,1时，其中甲、乙在一组，则方法数为CA＝18(种)， 即甲、乙分配到同一个场馆的方法数n＝18＋18＝36(种)． 若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数m＝CA＋CA＝12(种)， 故所求的概率P＝＝＝. 12．(★★)(2024·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________． 答案　 解析　和为5有2种组合，和为6有2种组合， 和为7有3种组合，和为8有3种组合， 和为9有4种组合，和为10有4种组合， 和为11有5种组合， 和为12有4种组合，和为13有4种组合， 和为14有3种组合，和为15有3种组合， 和为16有2种组合，和为17有2种组合， 所以P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 随机事件、频率与概率 一、单项选择题 1．(★)下列叙述错误的是(　　) A．若事件发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1 B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 C．两个对立事件的概率之和为1 D．对于任意两个事件A和B，都有P(A∪B)＝P(A)＋P(B) 2．(★)从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球” C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 3．(★)设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B一定为(　　) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．独立事件 D．对立事件 4．(★)(2024·青岛模拟)将四位数2 025的各个数字打乱顺序重新排列，则所组成的不同的四位数(含原来的四位数)中两个2不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 5．(★★)(2023·邯郸模拟)2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，来自A省的3名代表和B省的3名代表合影留念．假设6名代表站成一排，则A省的3名代表互不相邻，且B省的3名代表也互不相邻的概率为(　　) A. B. C. D. 6．(★★)(2023·广州模拟)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代，人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题 7．(★)中国篮球职业联赛(CBA)中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况(不包括罚球)如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是(　　) A．P(A)＝0.55 B．P(B)＝0.18 C．P(C)＝0.27 D．P(B∪C)＝0.55 8．(★)小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间(分钟)随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示： 所需时间(分钟) 30 40 50 60 线路一 0.5 0.2 0.2 0.1 线路二 0.3 0.5 0.1 0.1 则下列说法正确的是(　　) A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件 B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间 C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该选线路一 D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04 9．(★★)(2023·苏州调研)6个相同的球分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为x1，第二次取出球的数字为x2.设X＝，其中[X]表示不超过X的最大整数，则(　　) A．P(x1>x2)＝ B．P(x1＋x2＝5)＝ C．事件“x1＝6”与“X＝0”互斥 D．事件“x2＝1”与“X＝0”对立 10．(★★)某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男生、女生各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把测评结果转化为个人的素养指标x和y，制成如图，其中“*”表示男生，“＋”表示女生． 若0<x<0.6，则认定该学生为“初级水平”；若0.6≤x≤0.8，则认定该学生为“中级水平”；若0.8<x≤1，则认定该学生为“高级水平”．若y≥100，则认定该学生为“具备一定艺术发展潜质”；否则为“不具备明显艺术发展潜质”．下列说法中错误的有(　　) A．50名参加测试的女生中，指标在0<x<0.6的有20人 B．从50名女生中随机选出1名，则该学生为“初级水平”的概率为 C．50名参加测试的男生中，“具备一定艺术发展潜质且为中级或高级水平”的有24人 D．从所有“不具备明显艺术发展潜质却为中级或高级水平”的男生中任选2名，则选出的2名均为“高级水平”的概率为 三、填空题 11．(★★)(2023·运城模拟)在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为________． 12．(★★)(2024·温州模拟)若数列a1，a2，a3，a4满足a1＋a4＝a2＋a3，则称此数列为“准等差数列”．现从1,2，…，9,10这10个数中随机选取4个不同的数，则这4个数经过适当的排列后可以构成“准等差数列”的概率是________． 学科网（北京）股份有限公司 $$