基础知识必备手册之高一数学新课标人教A版必修二（第二册）：专题十三 函数与方程 用二分法求方程的近似解

一、函数的零点及零点存在性定理 1.函数的零点 (1)定义:函数y=f(x)的零点是使方程f(x)=0的实数x. (2)方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的联系. 2、零点存在性定理 (1)条件：函数y=f(x)在[a,b]上, ①图象是连续不断的一条曲线. ②f(a)·f(b)<0. (2)结论：y=f(x)在区间(a,b)内有 零点, 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0 二、二分法的定义及步骤 1、二分法的定义:把函数f(x)的零点所在的区间不断地一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫二分法. 2、二分法的步骤： (1)验证:确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0, 给定精确度ε. (2)求中点:求区间(a,b)的中点c. (3)计算:①若f(c)=0,则__就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c) ); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)). (4)判断:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)～(4). 【典型例题】 【典例1】下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 【答案】A 【解析】由函数零点的意义可得:函数的零点是否存在表现在函数图象与x轴有无交点. 【典例2】设二次函数f(x)=x2-bx+a(a,b∈R)的部分图象如图所示,则函数g(x)=lnx+2x-b的零点所在的区间是　(　　) A. B. C. D.(2,3) 【答案】A 【解析】由二次函数图象可知,<<1,即1<b<2.又因为g=ln+1-b=-ln2+1-b<0,g(1)=ln1+2-b= 2-b>0,所以g·g(1)<0. 【典例3】方程x3=3x-1的三根x1,x2,x3,其中x1<x2<x3,则x2所在区间为(　　) A.(-2,-1) B.(0,1) C. D. 【名师指南】对函数零点判断方法的四点说明 (1)存在性:“若f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内方程f(x)=0至少有一个实数根”指出了方程f(x)=0的实数根的存在性. (2)唯一性:若f(a)·f(b)<0,且y=f(x)在(a,b)内是单调函数,则方程f(x)=0在(a,b)内有唯一实数解. (3)两个条件:①在[a,b]上函数图象连续不断;②端点