专题02 整式的乘除（考点清单，3个考点清单+7种题型解读）-2024-2025学年七年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题02 整式的乘除（考点清单，3个考点清单+7种题型解读） 【清单01】整式的乘法 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2.幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【清单02】乘法公式 1.平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【要点归纳】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 2.完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【要点归纳】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单03】整式的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【要点归纳】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【要点归纳】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【要点归纳】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 4.整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【要点归纳】（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【考点题型一】幂的乘方与积的乘方（共10题） 1．（2024秋•黄浦区期中）的计算结果是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•普陀区校级期中）、为正整数，若成立，则　　 A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 3．（2024秋•崇明区期中）已知，，，则有　　 A． B． C． D． 4．（2024秋•青浦区校级月考）计算： 　 　． 5．（2024秋•闵行区校级期中）若，则　 　． 6．（2024秋•普陀区校级期中）计算：　 　． 7．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，，，求、、之间的等量关系． 8．（2024秋•浦东新区校级月考）已知正整数，且，求的值． 9．（2024秋•静安区月考）已知，，用，的代数式表示． 10．（2024秋•虹口区校级月考）定义一种幂的新运算：⊕．如：3⊕，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求⊕的值； （2），，，求⊕的值． 【考点题型二】单项式与单项式相乘（共4题） 11．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•宝山区期中）计算：　 　． 13．（2024秋•闵行区校级月考）计算：． 14．（2024秋•静安区月考）计算：． 【考点题型三】单项式与整式相乘（共5题） 15．（2024秋•宝山区校级月考）计算： 　 　． 16．（2024秋•闵行区校级期中）要使的展开式中不含项，则　　． 17．（2024秋•杨浦区校级月考）若，，则　 　． 18．（2024秋•闵行区期中）计算：． 19．（2024秋•静安区月考）计算：． 【考点题型四】整式与整式相乘（共17题） 20．（2024秋•闵行区期中）下列各式中，与之积等于的是　　 A． B． C． D． 21．（2024秋•上海月考）如果，那么、的值是　　 A．， B．， C．， D．， 22．（2024秋•长宁区校级期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则 　 　． 23．（2024秋•杨浦区校级月考）已知代数式积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则　　． 24．（2024秋•杨浦区期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为 　 　． 25．（2024秋•宝山区校级月考）已知，，那么的值为 　　． 26．（2024秋•杨浦区校级月考），则　 　． 27．（2024秋•松江区校级月考）已知，，则　 　． 28．（2024秋•静安区月考）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 29．（2024秋•宝山区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 　 　． 30．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 31．（2024秋•松江区校级月考）若，求的值． 32．（2024秋•宝山区校级月考）计算：． 33．（2024秋•闵行区校级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 34．（2024秋•松江区校级月考）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不含二次项，且一次项系数为6．求、的值． 35．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 36．（2024秋•松江区期中）我们知道：． 类似地有：①； ②； （1）验证上述②式成立； （2）再写出一个类似的等式； （3）计算：（结果用含3的幂表示）． 【考点题型五】完全平方公式（共9题） 37．（2023秋•宝山区期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 38．（2024秋•杨浦区期中）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 39．（2024秋•长宁区校级期中）计算： 　 　． 40．（2024秋•闵行区校级期中）已知：，，则 　 　． 41．（2024秋•闵行区期中）若，则　 　． 42．（2024秋•静安区月考）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 　 　． 43．（2024秋•青浦区校级月考）计算：． 44．（2024秋•静安区月考）利用乘法公式计算：． 45．（2024秋•上海月考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【考点题型六】平方差公式（共9题） 46．（2024秋•普陀区校级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 47．（2024秋•闵行区校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 48．（2024秋•虹口区校级月考）如图，点、、、分别在长方形的边上，点、在上，若正方形的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形的面积等于　　 A．3 B．4 C．5 D．6 49．（2024秋•黄浦区校级月考）计算：　 　． 50．（2024秋•徐汇区校级期中）给出下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 51．（2024秋•普陀区校级期中）用乘法公式计算：． 52．（2024秋•普陀区校级期中）计算：． 53．（2024秋•普陀区校级期中）用简便方法计算：． 54．（2024秋•崇明区期中）计算：． 【考点题型七】整式的除法（共6题） 55．（2024秋•奉贤区期中）已知，那么、的取值依次为　　 A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 56．（2024秋•普陀区校级期中）已知，其中是正整数，那么的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 57．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 　 　． 58．（2024秋•松江区期中）先化简后求值：，其中是正整数）． 59．（2024秋•闵行区期中）计算：． 60．（2024秋•徐汇区校级期中）先化简，再求值：，其中为正整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式的乘除（考点清单，3个考点清单+7种题型解读） 【清单01】整式的乘法 1.同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 2.幂的乘方 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． 3.积的乘方 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 4.单项式与单项式相乘 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 【要点归纳】 （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 5.单项式与整式相乘 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加. 即. 【要点归纳】 （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 6.整式与整式相乘 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即. 【要点归纳】 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【清单02】乘法公式 1.平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 【要点归纳】在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 2.完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 【要点归纳】公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【清单03】整式的除法 1.同底数幂的除法法则 同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且） 【要点归纳】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 2.零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0） 【要点归纳】底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 3.单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 【要点归纳】（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 4.整式除以单项式法则 整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 【要点归纳】（1）由法则可知，整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【考点题型一】幂的乘方与积的乘方（共10题） 1．（2024秋•黄浦区期中）的计算结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024秋•普陀区校级期中）、为正整数，若成立，则　　 A．、必同为奇数 B．、必同为偶数 C．必为奇数 D．必为奇数 【分析】根据乘方的定义判断即可得． 【解答】解：， 必为奇数， 故选：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握乘方的定义及幂的乘方是解题的关键． 3．（2024秋•崇明区期中）已知，，，则有　　 A． B． C． D． 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方法则化成底数相同的幂，再进行比较大小即可． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（2024秋•青浦区校级月考）计算： 　 　． 【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2024秋•闵行区校级期中）若，则　 　． 【分析】根据幂的乘方的性质的逆用将式子进行变形，再把已知数据代入求值即可． 【解答】解：， ． 【点评】本题考查了幂的乘方的性质，把转化为的形式是解题的关键． 6．（2024秋•普陀区校级期中）计算：　 　． 【分析】先根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再根据积的乘方的逆运算法则把原式进一步变形得到，据此计算求解即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】主要考查了考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握相关运算法则是关键． 7．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，，，求、、之间的等量关系． 【分析】先逆用积与因数的关系，再利用积的乘方法则、逆用幂的乘方法则得结论． 【解答】解：， ． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘法法则和逆用、积的乘方法则等知识点是解决本题的关键． 8．（2024秋•浦东新区校级月考）已知正整数，且，求的值． 【分析】先利用积的乘方计算，再利用积的逆运算化成含有的形式，再把代入计算即可． 【解答】解：原式， 当时，原式． 【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是先把所给的整式化成含有次方的形式． 9．（2024秋•静安区月考）已知，，用，的代数式表示． 【分析】利用幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法解决问题即可． 【解答】解：，， ． 【点评】本题幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．（2024秋•虹口区校级月考）定义一种幂的新运算：⊕．如：3⊕，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求⊕的值； （2），，，求⊕的值． 【分析】（1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【解答】解：（1）⊕ ； （2）当，，时． ⊕ ． 【点评】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． 【考点题型二】单项式与单项式相乘（共4题） 11．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 12．（2024秋•宝山区期中）计算：　 　． 【分析】根据单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（2024秋•闵行区校级月考）计算：． 【分析】先进行积的乘方，再进行单项式的乘法运算即可． 【解答】解：原式． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则． 14．（2024秋•静安区月考）计算：． 【分析】利用积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法运算即可求出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查整式的乘法，掌握积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法是解题的关键． 【考点题型三】单项式与整式相乘（共5题） 15．（2024秋•宝山区校级月考）计算： 　 　． 【分析】直接进行单项式的乘法运算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查单项式乘单项式，关键是掌握单项式的乘法法则． 16．（2024秋•闵行区校级期中）要使的展开式中不含项，则　　． 【分析】先根据单项式乘多项式进行化简，然后让这一项的系数为0即可． 【解答】解：原式 ， 展开式中不含项， ， 故答案为：0． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 17．（2024秋•杨浦区校级月考）若，，则　 　． 【分析】根据可得，，，将变形为，再将整体代入计算即可． 【解答】解：， ，，， 原式 ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查代数式求值，熟练掌握该知识点是关键． 18．（2024秋•闵行区期中）计算：． 【分析】利用单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方计算． 【解答】解： ， ． 【点评】本题考查了单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握单项式乘多项式，幂的乘方与积的乘方的计算法则． 19．（2024秋•静安区月考）计算：． 【分析】根据多项式乘单项式法则进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查整式的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 【考点题型四】整式与整式相乘（共17题） 20．（2024秋•闵行区期中）下列各式中，与之积等于的是　　 A． B． C． D． 【分析】将每个选项中的多项式分别与相乘，再把所得的结果和作比较即可． 【解答】解：根据多项式乘多项式的运算法则对各选项进行计算． ．， 选项不符合题意； ．， 选项不符合题意； ．， 选项符合题意； ．， 选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，完全平方公式，平方差公式，掌握平方差公式和完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 21．（2024秋•上海月考）如果，那么、的值是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开的结果即可得到答案． 【解答】解：， ， ，， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是关键． 22．（2024秋•长宁区校级期中）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不出现一次项，且二次项系数为1，则 　 　． 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项系数为1，一次项系数为0，即可求出与的值． 【解答】解： ， 积中不出现一次项，且二次项系数为1， ， 解得， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式．熟练掌握运算法则是关键． 23．（2024秋•杨浦区校级月考）已知代数式积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则　　． 【分析】运用多项式乘多项式的运算方法进行求解． 【解答】解： ， 化简后含项的系数为1 ，， 解得：，， 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式乘多项式，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地求解． 24．（2024秋•杨浦区期中）如果的乘积中不含的一次项，则的值为 　 　． 【分析】把式子展开，找到所有的一次项的所有系数，令其为0，可求出的值． 【解答】解：， 又结果中不含的一次项， ，解得． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0． 25．（2024秋•宝山区校级月考）已知，，那么的值为 　　． 【分析】先根据多项式乘多项式的乘法法则，再整理成的形式，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解： ， ，， 原式， 故答案为：9． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，关键是掌握多项式的乘法法则． 26．（2024秋•杨浦区校级月考），则　 　． 【分析】根据多项式乘法法则得到，又由得到，则，，求出，，即可求出． 【解答】解：，， ， 解得，， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了多项式的乘法和多项式的相等，熟练掌握该知识点是关键． 27．（2024秋•松江区校级月考）已知，，则　 　． 【分析】利用多项式乘多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：，， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查了多项式乘多项式及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．（2024秋•静安区月考）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形．则需要类卡片 　　张，类卡片 　　张，类卡片 　　张． 【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量． 【解答】解：长为，宽为的矩形面积为：， 类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为， 需要类卡片2张，类卡片3张，类卡片7张． 故答案为：2；3；7． 【点评】本题考查了多项式与多项式的乘法运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 29．（2024秋•宝山区校级月考）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为 　 　． 【分析】先根据题意得出关于、的方程组，再整体代入求解． 【解答】解：由题意得：且， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键． 30．（2024秋•闵行区校级期中）计算：． 【分析】根据多项式乘多项式的法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 31．（2024秋•松江区校级月考）若，求的值． 【分析】先根据多项式乘以多项式法则算乘法，再合并同类项，求出后代入即可求解． 【解答】解： ， ， ， 原式． 【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 32．（2024秋•宝山区校级月考）计算：． 【分析】按照多项式乘多项式和单项式乘多项式乘法法则计算，再合并同类项． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了多项式乘多项式和单项式乘多项式，关键是掌握乘法法则． 33．（2024秋•闵行区校级期中）若关于的多项式与的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求的值． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，根据展开式中没有二次项和常数项为10得到关于、的方程，求解即可． 【解答】解： ． 乘积展开式中没有二次项，且常数项为10， ，， ，， ． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 34．（2024秋•松江区校级月考）将关于的一次二项式与二次三项式相乘，积中不含二次项，且一次项系数为6．求、的值． 【分析】由题意列出算式，利用多项式乘以多项式法则计算，合并后令二次项系数为0，一次项系数为6，即可求出与的值． 【解答】解： ， 积不含的项，一次项系数为6， ，解得， ，． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式．熟练掌握该知识点是关键． 35．（2024秋•青浦区校级月考）小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． （1）她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； （2）老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据正确答案是不含一次项的，得到关于的方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1） ； （2）设被遮住的一次项系数为， 即 ， 这个题目的正确答案不含一次项的， ， 解得：， 被遮住的一次项系数为． 【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 36．（2024秋•松江区期中）我们知道：． 类似地有：①； ②； （1）验证上述②式成立； （2）再写出一个类似的等式； （3）计算：（结果用含3的幂表示）． 【分析】（1）按多项式乘多项式展开，即可得到结果； （2）对照示例写出 ； （3）参照示例，看作是当时，所得到的等式，即可得到结果． 【解答】解：（1） ， 成立； （2） ； （3）， ． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，读懂题意，找出规律是解答本题的关键． 【考点题型五】完全平方公式（共9题） 37．（2023秋•宝山区期末）下列算式中，可用完全平方公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式对每个选项解析逐一判断即可得出结论． 【解答】解：符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项符合平方差公式的特征，应用平方差公式计算， 选项不符合题意； ， 选项可用完全平方公式计算，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握上述两个公式是解题的关键． 38．（2024秋•杨浦区期中）已知，则的值是　　 A．5 B．9 C．13 D．17 【分析】观察题干相关条件，采用整体代换的思想，即可求解． 【解答】解：令，则原式可化简为，则， 解得：，即． 故选：． 【点评】本题考查了代数换元法，利用完全平方公式展开，构建一个新的方程，从而求出答案． 39．（2024秋•长宁区校级期中）计算： 　 　． 【分析】把看作整体，原式变形为：，然后根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想是解题的关键． 40．（2024秋•闵行区校级期中）已知：，，则 　 　． 【分析】把两式相减，从而可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查完全平方公式，解答的关键是对完全平方公式的掌握． 41．（2024秋•闵行区期中）若，则　 　． 【分析】根据完全平方公式对代数式进行变形，整体代入求值． 【解答】解：， 故答案为：29． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 42．（2024秋•静安区月考）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 　 　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出的值． 【解答】解：由题意可知：， 或，即的值是8或， 故答案为：8或． 【点评】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 43．（2024秋•青浦区校级月考）计算：． 【分析】利用完全平方公式计算即可求解． 【解答】解： ． 【点评】此题考查了完全平方公式，解题关键在于掌握完全平方公式的结构特征． 44．（2024秋•静安区月考）利用乘法公式计算：． 【分析】本利用完全平方公式进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，熟练掌握这个公式是解题的关键． 45．（2024秋•上海月考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）由可变形为，利用完全平方公式即可求解； （2）先相乘后整理得，再整体代入即可． 【解答】解：（1）根据条件可知，即， ， 即， ； （2）， ． 【点评】本题考查了完全平方公式变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 【考点题型六】平方差公式（共9题） 46．（2024秋•普陀区校级期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据公式的特点逐个判断即可． 【解答】解：、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，不能用平方差公式进行计算，故本选项正确； 故选：． 【点评】本题考查了对平方差公式的应用，平方差公式是． 47．（2024秋•闵行区校级期中）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中符合平方差公式特征的有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】左边是两个二项式相乘，且两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数；右边是两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）；公式中的和可以是单项式，也可以是多项式．据此判断即可． 【解答】解：①符合平方差公式的特点，符合题意； ②，不符合平方差公式的特点，不符合题意； ③，符合平方差公式的特点，符合题意； ④，符合平方差公式的特点，符合题意； ⑤，相同字母的符号都相同，不符合平方差公式的特点，不符合题意； ⑥，符合平方差公式的特点，符合题意； 符合平方差公式特征的有4个． 故选：． 【点评】本题考查平方差公式：，解题的关键是掌握平方差公式的特点． 48．（2024秋•虹口区校级月考）如图，点、、、分别在长方形的边上，点、在上，若正方形的面积等于20，图中阴影部分的面积总和为8，则正方形的面积等于　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】设大、小正方形边长为、，则，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形的面积． 【解答】解：设大、小正方形边长为、， 则有，阴影部分面积为：， 即， 可得， 正方形的面积等于， 即所求面积是4． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，找准图形间的面积关系是关键． 49．（2024秋•黄浦区校级月考）计算：　 　． 【分析】直接利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【解答】解：原式 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的运算法则，解题的关键是熟练运用熟练应用乘法公式是解题关键． 50．（2024秋•徐汇区校级期中）给出下列式子： ①；②；③；④；⑤；⑥，其中，符合平方差特征的有 　 　（填序号）． 【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可． 【解答】解：由平方差公式的结构特征可得， ①符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ②符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ③符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； ④不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑤不符合平方差公式的结构特征，不能利用平方差公式进行计算； ⑥符合平方差公式的结构特征，能利用平方差公式进行计算； 故答案为：①②③⑥． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征，即是正确解答的关键． 51．（2024秋•普陀区校级期中）用乘法公式计算：． 【分析】先把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式去括号即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了乘法公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 52．（2024秋•普陀区校级期中）计算：． 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 53．（2024秋•普陀区校级期中）用简便方法计算：． 【分析】先把原式变形为，再利用平方差公式去括号，并计算求解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 54．（2024秋•崇明区期中）计算：． 【分析】将和分别看成一个整体，利用平方差公式来计算． 【解答】解：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平方差公式的运用，关键是将和分别看成一个整体，需要同学们具有一定的整体思想． 【考点题型七】整式的除法（共6题） 55．（2024秋•奉贤区期中）已知，那么、的取值依次为　　 A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1 【分析】先根据单项式除以单项式的法则进行计算后，再根据相同字母的次数相同列出关于、的方程，解方程即可求出，的值． 【解答】解：， ，， 解得：，． 故选：． 【点评】本题主要考查整式的除法，单项式除以单项式的法则：单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．其中根据相同字母的次数相同列出方程是解题的关键． 56．（2024秋•普陀区校级期中）已知，其中是正整数，那么的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．9 【分析】根据题意，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．求出，，解出、，再求和即可． 【解答】解： ， 即， 所以，， 所以，， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是按照整式除法的计算法则计算． 57．（2024秋•闵行区校级期中）计算： 　 　． 【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．据此解答即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法运算法则是关键． 58．（2024秋•松江区期中）先化简后求值：，其中是正整数）． 【分析】先根据整式的除法法则计算，再代入求值即可． 【解答】解： ， 当时， 原式 ． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 59．（2024秋•闵行区期中）计算：． 【分析】先根据积乘方将原式化简，再根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查多项式除以单项式，解题的关键是掌握：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加． 60．（2024秋•徐汇区校级期中）先化简，再求值：，其中为正整数）． 【分析】先利用多项式除以单项式法则进行化简，再将的值代入求出答案即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 【点评】本题考查了整式的除法，牢记法则是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$