精品解析：上海市嘉定区2024-2025学年高三第一次质量调研数学试卷

2024学年高三年级第一次质量调研 数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得. 【详解】函数有意义，则，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2. 直线的倾斜角为______.（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】由直线的一般式方程求得斜率，根据倾斜角与斜率的关系，建立方程，可得答案. 【详解】由直线，则该直线的斜率为，设其倾斜角为，则， 解得. 故答案为：. 3. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 4. 在 中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在 中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 5. 已知双曲线 ：，则双曲线 的离心率是______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出实半轴长、半焦距，进而求出离心率. 【详解】双曲线 ：的实半轴长，虚半轴长， 则半焦距，所以双曲线 的离心率. 故答案为： 6. 已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面积公式即可得解. 【详解】因为圆锥的母线长为，底面半径为， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为：. 7. 在的二项展开式中，的系数为_____ 【答案】 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式为，再令的幂指数等于3求出 的值，即可求得的系数． 【详解】二项式的展开式的通项公式为． 令，解得， 展开式中的系数为， 故答案为-84 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于 中档题． 8. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前 项和为，若且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得且，由此建立不等式组并求解即得. 【详解】数列的前 项和为，由且，得且， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 9. 已知，则的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，分情况整理不等式，当时，整理不等式，构造函数，利用导数研究新函数的单调性，当时，利用中间值法，可得答案. 【详解】当时，可得，整理可得， 令，令，求导可得， 所以函数在单调递减，令，解得，则， 此时不等式的解集为； 当时，可得，由，则， 易知，此时不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 10. 已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量模的意义及数量积的运算律求得，进而求出范围. 【详解】由空间向量两两垂直，得 又，， 则 ，而， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心 在 上，且和所在直线与圆 分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合弧长公式求出桥面修建总费用的函数关系，再利用导数探讨函数最小值问题. 【详解】连接，依题意，，则， ，的长度为， 则桥面修建总费用，， 而，求导得， 由，得，则，由，得， 当，即时，； 当，即时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当且仅当时，取得最小值，即桥面修建总费用最低. 故答案为： 12. 已知实数满足：，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据给定条件可得为单位圆 上两点，且，再利用的几何意义转化为直线与圆上点的距离最小值求解. 【详解】设，则，由，， 得点在单位圆上，且， 即，则为等边三角形，， 可视为点到直线：的距离与之和， 当点在直线同侧时， 设，或， 当时，，则， ，， ， ， 于是 ， 由，得，，； 当时，，则， ，， ， ，，； 当点在直线异侧时（包括点之一在直线上）， 过分别作，垂足为，令直线 与直线的夹角为， ， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将的转化为点两点到直线的距离与之和. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知 为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则，当时，则，此时； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14. 已知 ，是两个不同的平面， ，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【详解】A：直线可能平行于平面 、在平面 内或垂直平面 ，无法确定. B： 平行平面 ，与 垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面 或在平面 内，不能推出. 15. 假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【解析】 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 16. 已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数 ，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数 ，且，都有 其中正确结论是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①②，利用作差法可得一元二次不等式，求得数列中的项的取值范围，可得其正误； 对于③④，根据递推公式，利用赋值法求得当数列为常数列时所取的数值，进而求得首项，结合举例，可得答案. 【详解】对于①，当时，，，解得， 当时，恒成立，故①错误； 对于②，当时，，，解得或， 易知，由①可知，当时，数列单调递增，， 所以一定存在，当时，，故②正确； 对于③，当时，，令，可得，解得或， 令，解得或， 当时，可得当时，，故③正确； 对于④，当时，，令，则，解得或， 令，可得，解得或， 令，可得，解得， 当时，当时，，故④错误. 故选：B. 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图所示，在三棱柱中， ，侧面底面 ，点分别为梭 和的中点. （1）若底面 为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面 所成的角为，求三棱柱的体积； （2）求证： 平面. 【答案】（1）3； （2）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在中，由 是的中点，得，且， 而且，又 为棱 的中点，则，且， 则四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得点在平面 上的射影在直线 上，进而求出三棱柱的高及体积. （2）利用线面平行的判定推理即得. 【小问1详解】 在三棱柱中，平面平面， 由平面平面 ，得点在平面 上的射影在直线 上， 点与其在平面 上的射影的距离为点到平面 的距离， 直线与直线的夹角即为侧棱与底面 所成的角为， 因此，而正 的面积， 所以三棱柱的体积. 【小问2详解】 略 18. 已知，其中. （1）若，求函数的值域； （2）若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】（1）； （2）7或15. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【小问1详解】 当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. 【小问2详解】 由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 【答案】（1）； （2）茎叶图： （3）甲乙获胜的概率分别为，奖金分别为万元和万元. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，写出比赛结果的样本空间. （2）绘制击杀数分布的茎叶图. （3）利用相互独立事件的概率及对立事件的概率估计概率，再按概率分配奖金. 【小问1详解】 用表示甲队在第局获胜，则表示乙队第局获胜， 所以所求样本空间. 【小问2详解】 甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图，如图， 【小问3详解】 乙队获胜的事件为，则，， 因此甲队获胜的概率为， 由此分配10万元奖金，甲队分得（万元），乙队分得万元. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. （1）若，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设直线与椭圆交于两点，为线段 的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】（1）或； （2）或； （3）的面积为定值，该定值为. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示计算可得或； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程根据韦达定理计算可得，可得直线的方程； （3）利用点差法计算可得，设直线 的方程为，联立椭圆方程并根据韦达定理可得，再根据弦长公式以及点到直线距离可得. 【小问1详解】 易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意可知直线 的斜率存在， 设直线 的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线 的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据弦中点问题利用点差法表示出斜率关系，再根据弦长公式和韦达定理表示出面积公式，化简即可得出结论. 21. 设为非空集合，函数的定义域为 .若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. （1）若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； （2）若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； （3）若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 【答案】（1） 函数的定义域为.对，以及任意， 由及知， 即， 所以是函数的一个值点，为相应的值. （2） 函数的定义域为. 对任意，取，仍有，但， 所以函数不存在值. 函数的定义域为. 由易知， 当时，对任意，均有，即； 又对任意，取， 则， 即，所以是函数仅有的一个值， 是相应的值点. （3）值为，值点为. 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的值域和值的定义即可证明； （2）计算即可判断，对取，再利用值的定义即可判断； （3）分析得函数的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出其最大值和最大值点即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数的定义域为， 由题设，该函数存在值，设相应值点为， 则即对任意成立， 故函数的值即为最大值，值点即最大值点. ，令得， 显然当时，恒成立，则函数在上单调递增，此时无最大值，舍去， 所以，解得，列表如下： 0 ↗ 极大值 ↘ 所以若函数存在值， 则值为，值点为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用值的定义分析得的值即为最大值，值点即最大值点，再利用导数求出山最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年高三年级第一次质量调研 数学试卷 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果. 1. 函数的定义域为______. 2. 直线的倾斜角为______.（用反三角函数表示） 3. 如果复数满足（为虚数单位），则______. 4. 在 中，若，则______. 5. 已知双曲线 ：，则双曲线 的离心率是______. 6. 已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为_______. 7. 在的二项展开式中，的系数为_____ 8. 已知数列的通项公式为，其中为常数，设数列的前 项和为，若且，则的取值范围为______. 9. 已知，则的解集为______. 10. 已知空间向量两两垂直，若空间点满足，记，且，则的取值范围为______. 11. 某公园为了美化环境，计划建造一座拱桥DACBE，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面和两段长度相等的直线型桥面，圆弧形桥面所在圆的半径为4米，圆心 在上，且和所在直线与圆 分别在连结点和处相切.已知直线型桥面的修建费用是每米0.4万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设，根据空间限制及桥面坡度的限制，的范围为，则当桥面修建总费用最低时的值为______. 12. 已知实数满足：，则的最小值为______. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 15. 假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（ ）. A. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C. ①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D. ①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 16. 已知数列满足，给出以下四个结论： ①当时，存在有限个，使得对任意正整数 ，都有 ②当时，存在和正整数，当时， ③当时，存在和正整数，当时， ④当时，不存在，使得对任意正整数 ，且，都有 其中正确结论是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 如图所示，在三棱柱中， ，侧面底面 ，点分别为梭 和的中点. （1）若底面 为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面 所成的角为，求三棱柱的体积； （2）求证： 平面. 18. 已知，其中. （1）若，求函数的值域； （2）若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 19. 在一场盛大的电竞比赛中，有两支实力强劲的队伍甲和乙进行对决.比赛采用5局3胜制，最终的胜者将赢得10万元奖金，比赛过程中，每局比赛双方获胜的概率相互独立且甲队每局获胜概率为0.4，乙队每局获胜概率为0.6.比赛开始后，甲队先连胜两局，此时，主办方记录了两队队员在这两局比赛中的一些数据.甲队队员的击杀数（单位：个）数据如下：；乙队队员的击杀数（单位：个）数据如下：然而此时比赛场地突发技术故障，比赛不得不中止.请回答以下问题： （1）根据目前情况（甲队已连胜两局），写出甲､乙两队“采用5局3胜制”的比赛结果的样本空间； （2）根据所给数据，绘制甲､乙两队队员的击杀数分布的茎叶图； （3）在目前情况下（甲队已连胜两局），估算甲乙两队获胜概率，并据此分配10万元奖金. 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. （1）若，求点的坐标； （2）若的面积为，求直线的方程； （3）设直线与椭圆交于两点，为线段 的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 21. 设为非空集合，函数的定义域为.若存在使得对任意的均有，则称为函数的一个值，为相应的值点. （1）若.证明：是函数的一个值点，并写出相应的值； （2）若.分别判断函数是否存在值？若存在，求出相应的值点；若不存在，说明理由； （3）若，且函数存在值，求函数的值，并指出相应的值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $