专题05 有理数的运算技巧（竞赛教程讲义）-【竞赛】2024-2025学年初中数学竞赛能力培优教程（全国通用）

全国初中数学竞赛培优教程 专题05 有理数的运算技巧 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）计算： 考点突破 一、运算律简便计算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）计算（   ） A． B．2 C．12 D．102 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟练的利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键；把原式化为，再进行简便运算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 二、整体换元法 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】设，将原式转化为，再结合乘法分配律简便计算即可． 【详解】解：设，则 【巩固】计算：． 三、倒序相加法 【典例】 阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设s＝1+2+3+…+100，① 则s＝100+99+98+…+1，② ①+②，得2s＝101+101+101+…+101． （两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和） 所以2s＝100×101，s100×101＝5050③ 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　． （3）计算：101+102+103+…+2018． 【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①， 则s＝200+199+198+…+1②， ①+②，得2s＝201+201+201+…+201， 所以2s＝200×201，s200×201＝20100， 所以1+2+3+…+200＝20100； （2）猜想：1+2+3+…+nn（n+1）； 故答案为：n（n+1）； （3）s＝101+102+103+…+2018①， 则s＝2018+2017+2016+…+101②， ①+②，得2s＝2119+2119+2119+…+2119， 所以2s＝（2018﹣100）×2119，s1918×2119＝2032121， 所以101+102+103+…+2018＝2032121． 【巩固】 计算： 四、裂项相消 【学霸笔记】 形如可写成的形式，在分式的简便计算中常常有以下变形： ①； ②. 【典例】观察下面的变形规律： ，，，… 解答下面问题： （1）若n为正整数请你猜想　 　； （2）证明你猜想的结论； （3）利用这一规律化简：． （4）尝试完成．（直接写答案） 　． 【解答】解：（1）猜想：； 故答案为：； （2）等式右边左边，得证； （3）原式； （4）原式（）（）． 故答案为： 【巩固】计算下面各题 （1）计算： （2）计算：1． 五、错位相减法 【典例】 计算：2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣…﹣218﹣219+220的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．﹣4 【分析】设S＝22+23+24+…+219，知2S＝23+24+…+220，两式相减得出S＝220﹣22，代入原式＝2﹣（22+23+24+…+219）+220求解可得． 【解答】解：设S＝22+23+24+…+219， 则2S＝23+24+…+220， ∴2S﹣S＝S＝220﹣22， 则原式＝2﹣（22+23+24+…+219）+220 ＝2﹣（220﹣22）+220， ＝2﹣220+22+220 ＝4+2 ＝6， 故选：C． 【巩固】 求1+2+22+23…220的值，可设S＝1+2+22+23…220，则2S＝2+22+23+⋯+221，因此2S﹣S＝221﹣1，S＝221＝1．参照以上推理，计算1+3+32+33+…32022+32023的值为（　　） A．32024﹣1 B． C．32024﹣3 D． 六、利用图形进行简便计算 【典例】数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：1． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式1． 两边同除以2，得． 探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果） 第n次分割 所有阴影部分的面积之和为　 　； 最后的空白部分的面积是　 　； 根据第n次分割图可得等式　 　； 两边同除以　 　，得　 　； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式　 　， 所以　 　． 拓广应用：直接写出运算结果：． 【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示： 所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第n次分割图可得等式1； 两边同除以3，得； 故答案为：1，，式1，3，； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式，1， 所以． 故答案为：1，． 拓广应用：直接写出运算结果： ＝1111 ＝n﹣（） ＝n． 模拟演练 1．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 3．（23-24七年级上·北京）11011 ． 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 6．观察下列等式： ，      ，      ，．   将以上三个等式两边分别相加得：    ． (1)猜想并写出： 　 　． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①          　 　； ②          　 　． (3)探究并计算： ． 7．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题． (1)试猜想 ； (2)试猜想 ； (3)请用上述规律计算：．（请算出最后数值哦！） 8．观察按下列规律排列成的一列数： 1，，，，，，，，，，，，，，，，… 这列数也可分组排列：，，，，… (1)如果按分组排列，请问从左到右依次在第几组？ (2)如果是原数列中的第个数，请先求出的值，再求该数列中前个数的乘积； (3)在原数列中，未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为，是否存在这样的两个数和，使得？如果存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由． 9．（九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 10．探索研究 （1）观察一列数2，4，8，16，32，……，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么= ；= ． （2）如果欲求的值，可令S=  ① 将①式两边同乘以3，得   ② 由②减去①式，得S= ． （3）用由特殊到一般的方法知：若数列，，，…，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则= （用含，q，n的代数式表示）； 如果这个常数q≠1，那么= （用含，q，n的代数式表示）． 11．已知整数，，，…满足，，，，…以此类推． (1)①根据已知条件，计算出__________，__________； ②计算的值； (2)当n为偶数时，求的值（用含n的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国初中数学竞赛培优教程 专题05 有理数的运算技巧 真题重现 （2024七年级·全国·竞赛）计算： 【分析】本题考查了有理数混合计算，根据式子进行恰当的变形是解题的关键．设，然后代入原式化简即可． 【详解】解：设， 则原式． 故答案为：． 考点突破 一、运算律简便计算 【典例】（2024七年级·全国·竞赛）计算（   ） A． B．2 C．12 D．102 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的四则混合运算，熟练的利用乘法的分配律进行简便运算是解本题的关键；把原式化为，再进行简便运算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【巩固】（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解答本题的关键．先利用乘法的分配律计算，再算加减即可． 【详解】解：原式 二、整体换元法 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】设，将原式转化为，再结合乘法分配律简便计算即可． 【详解】解：设，则 【巩固】计算：． 【分析】设，，整体代入算式计算即可得解． 【解答】解：设，， 则 ＝a×（1+b）﹣（1+a）×b ＝a+ab﹣b﹣ab ＝a﹣b ． 三、倒序相加法 【典例】 阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程． 解：设s＝1+2+3+…+100，① 则s＝100+99+98+…+1，② ①+②，得2s＝101+101+101+…+101． （两式左右两端分别相加，左端等于2S，右端等于100个101的和） 所以2s＝100×101，s100×101＝5050③ 所以1+2+3+…+100＝5050． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”． 请解答下面的问题： （1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200． （2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：1+2+3+…+n＝　 　． （3）计算：101+102+103+…+2018． 【解答】解：（1）s＝1+2+3+…+200①， 则s＝200+199+198+…+1②， ①+②，得2s＝201+201+201+…+201， 所以2s＝200×201，s200×201＝20100， 所以1+2+3+…+200＝20100； （2）猜想：1+2+3+…+nn（n+1）； 故答案为：n（n+1）； （3）s＝101+102+103+…+2018①， 则s＝2018+2017+2016+…+101②， ①+②，得2s＝2119+2119+2119+…+2119， 所以2s＝（2018﹣100）×2119，s1918×2119＝2032121， 所以101+102+103+…+2018＝2032121． 【巩固】 计算： 【解析】设原式之和为s，对每个括号内的各项倒序相加，得 ， 原式与倒序相加得. 四、裂项相消 【学霸笔记】 形如可写成的形式，在分式的简便计算中常常有以下变形： ①； ②. 【典例】观察下面的变形规律： ，，，… 解答下面问题： （1）若n为正整数请你猜想　 　； （2）证明你猜想的结论； （3）利用这一规律化简：． （4）尝试完成．（直接写答案） 　． 【解答】解：（1）猜想：； 故答案为：； （2）等式右边左边，得证； （3）原式； （4）原式（）（）． 故答案为： 【巩固】计算下面各题 （1）计算： （2）计算：1． 【解答】解（1）原式＝1， ＝1 ； （2）1 ＝2（） ＝2（1） ＝2（1） ． 五、错位相减法 【典例】 计算：2﹣22﹣23﹣24﹣25﹣…﹣218﹣219+220的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．﹣4 【分析】设S＝22+23+24+…+219，知2S＝23+24+…+220，两式相减得出S＝220﹣22，代入原式＝2﹣（22+23+24+…+219）+220求解可得． 【解答】解：设S＝22+23+24+…+219， 则2S＝23+24+…+220， ∴2S﹣S＝S＝220﹣22， 则原式＝2﹣（22+23+24+…+219）+220 ＝2﹣（220﹣22）+220， ＝2﹣220+22+220 ＝4+2 ＝6， 故选：C． 【巩固】 求1+2+22+23…220的值，可设S＝1+2+22+23…220，则2S＝2+22+23+⋯+221，因此2S﹣S＝221﹣1，S＝221＝1．参照以上推理，计算1+3+32+33+…32022+32023的值为（　　） A．32024﹣1 B． C．32024﹣3 D． 【分析】设S＝1+3+32+33+…32022+32023，则3S＝3+32+33+34+…32023+32024，可得2S＝32024﹣1，故S． 【解答】解：设S＝1+3+32+33+…32022+32023， 则3S＝3+32+33+34+…32023+32024， ∴2S＝32024﹣1， ∴S， ∴1+3+32+33+…32022+32023． 故选：D． 六、利用图形进行简便计算 【典例】数学问题：计算（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）． 探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究． 探究一：计算． 第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式：1． 探究二：计算． 第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…； … 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是． 根据第n次分割图可得等式1． 两边同除以2，得． 探究三：计算． （仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并填写探究过程和结果） 第n次分割 所有阴影部分的面积之和为　 　； 最后的空白部分的面积是　 　； 根据第n次分割图可得等式　 　； 两边同除以　 　，得　 　； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式　 　， 所以　 　． 拓广应用：直接写出运算结果：． 【解答】解：探究三：第n次分割图如图所示： 所有阴影部分的面积之和为1； 最后的空白部分的面积是； 根据第n次分割图可得等式1； 两边同除以3，得； 故答案为：1，，式1，3，； 解决问题：计算． 根据第n次分割图可得等式，1， 所以． 故答案为：1，． 拓广应用：直接写出运算结果： ＝1111 ＝n﹣（） ＝n． 模拟演练 1．求的值，可令，则，因此．仿照以上推理，计算出的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解范例给出的方法，再使用相同的方法进行计算． 【详解】解：设，则， 所以，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解数列的求和方法是解题的关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】根据原式的特点进行拆项，再进行加减运算即可得到答案，找到运算规律是解题的关键． 【详解】解；原式 ． 故答案为： 3．（23-24七年级上·北京）11011 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式变形后，利用拆项法计算即可得到结果 【详解】原式 +( ) ． 故答案为： 4．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是有理数的混合运算，解题关键是掌握整体代换的思想． 设，，代入把原式变形，进一步计算即可求解． 【详解】解：设：，， 则原式， ， ， 原式． 5．（2024七年级·全国·竞赛）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则．先两边乘以得：，然后两式相减得，求出S的值即可． 【详解】解：， 两边乘以得：， 两式相减得， 所以． 6．观察下列等式： ，      ，      ，．   将以上三个等式两边分别相加得：    ． (1)猜想并写出： 　 　． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①          　 　； ②          　 　． (3)探究并计算： ． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）观察已知等式即可解答； （2）①结合(1）和已知等式即可计算结果； ②结合①的过程即可得结果； （3）根据以上规律将原式变形即可计算． 【详解】（1） 故答案为：． （2）①原式 ②原式 故答案为：①；② （3）原式 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 7．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题． (1)试猜想 ； (2)试猜想 ； (3)请用上述规律计算：．（请算出最后数值哦！） 【答案】(1)100 (2) (3)750000 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点． （1）根据已知等式，找出运算规律即可得出结论； （2）根据（1）所找规律即可得出结论； （3）根据（1）所找规律求出的值，再求出，然后两式相减即可求出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 故答案为：100； （2）解： = =， 故答案为：； （3）解：=， ， ∴ ． 8．观察按下列规律排列成的一列数： 1，，，，，，，，，，，，，，，，… 这列数也可分组排列：，，，，… (1)如果按分组排列，请问从左到右依次在第几组？ (2)如果是原数列中的第个数，请先求出的值，再求该数列中前个数的乘积； (3)在原数列中，未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为，是否存在这样的两个数和，使得？如果存在，请写出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在第203组 (2)m=20505，该数列中前个数的乘积为 (3)存在，， 【分析】（1）根据数字分子与分母的变化得出从左往右在第203组； （2）根据分数的分子和分母的和为n的一组分数有n-1个，依此求出前面202组的分数个数，加上2，即可求出m的值，再根据每组的积为1，求出这m个数的积； （3）先设第n组中，，，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）∵ ∴从左到右依次在第203组； （2）∵的原数列的第个数，从左到右依次在第203组； ∴： 因为每组的积为1，所以该数列中前个数的乘积为； （3）解：存在， ∵未经约分且分母为3的数记为，与它相邻的后一个数记为， 则为某组的倒数第3个数，为倒数第2个数， 设它们在第组，则， ∵ ∴ 即 ， ∴或（舍去） ∴，； 【点睛】本题考查了数字类规律题，根据题意找到规律是解题的关键． 9．（九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 【答案】． 【详解】解：记，则 ， ． 故所求原式的值为． 10．探索研究 （1）观察一列数2，4，8，16，32，……，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么= ；= ． （2）如果欲求的值，可令S=  ① 将①式两边同乘以3，得   ② 由②减去①式，得S= ． （3）用由特殊到一般的方法知：若数列，，，…，，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则= （用含，q，n的代数式表示）； 如果这个常数q≠1，那么= （用含，q，n的代数式表示）． 【答案】（1），；（2），；（3），． 【分析】（1）先根据规律，归纳类推出，再令即可得出； （2）根据有理数的乘方运算即可得；根据有理数的减法运算即可得； （3）参照（1）的方法，将其中的第一项2换成，常数2换成q即可得；参照（2）的方法，令，先两边同乘以q，再将两式相减即可得． 【详解】（1）由题意得：该数列的第一项为2 该数列的第二项为 该数列的第三项为 该数列的第四项为 归纳类推得：该数列的第n项为 则 故答案为：，； （2）① 将①式两边同乘以3，得② 由②减去①式，得 则 故答案为：，； （3）参照（1）的方法：该数列的第一项为 该数列的第二项为 该数列的第三项为 该数列的第四项为 归纳类推得：该数列的第n项为 参照（2）的方法：令 两边同乘以q，得 两式相减，得 则 故答案为：，． 【点睛】本题考查了整式的规律型问题，较难的是（3），正确归纳出（1）、（2）的一般规律，并运用到（3）是解题关键． 11．已知整数，，，…满足，，，，…以此类推． (1)①根据已知条件，计算出__________，__________； ②计算的值； (2)当n为偶数时，求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)①5，-5；②0 (2) 【分析】（1）①分别求出a2=1，a3=-1，a4=2，a5=-2，a6=3，a7=-3，…，由此发现规律：a2+a3=0，a4+a5=0…，即可求解； ②由①的规律可求解； （2）当n为偶数时，a1+a2+a3+a4+…+an-1=0，再由an= ，即可求解． 【详解】（1）解：①∵a1=0， ∴a2=-|a1|+1=1， a3=a2-2=1-2=-1， a4=-|a3|+3=-1+3=2， a5=a4-4=2-4=-2， a6=-|a5|+5=-2+5=3， a7=a6-6=3-6=-3， … a10=5，a11=-5， 故答案为：5，-5； ②∵a2+a3=0，a4+a5=0，… ∴a1+a2+a3+a4+…+a2021=0． （2）当n为偶数时，a1+a2+a3+a4+…+an-1=0， ∴a1+a2+a3+a4+…+an= ． 【点睛】本题考查与实数运算相关的规律，通过所给式子，推断出数的规律，并由规律进行运算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$