专题03 三角函数图象与性质（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一三角函数图象与性质易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校三角函数图象与性质易错题精选 题组二：名校三角函数图象与性质培优压轴试题精选 题组三：名校三角函数图象与性质新定义试题精选 题组四：三角函数图象与性质全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校三角函数图象与性质易错题精选 1．已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由函数在区间上存在最值，得在取到最值，求得；再由函数在区间上具有单调性可分单调递增和单调递减两种情况得到不等式组，解不等式，综合考虑即得的取值范围. 【详解】由，可得， 由题意要使在取到最值，则需使，即； 又当时，， 要使在上具有单调性， 需使，或； 由① 可得或，又，故不存在； 由② 可得或，又，故得的取值范围是. 故选：D. 2．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，其中，在上单调递增，然后结合函数的单调性及可得答案. 【详解】， 因在（其中）上单调递增， 则，. 又因，则取，则. 故选：A 3．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的奇偶性和对称性，再由图象的平移和正弦函数、余弦函数的对称性，可得结论． 【详解】因为函数的定义域为，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称， 函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称， 而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项； 又函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称. 而又函数的图象关于点对称，故排除A选项. 故选：C. 4．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求出，结合周期可得答案. 【详解】函数的最小正周期，由题可得， 分别在同一周期内取得最小值的自变量的两侧，且， ， 由得，解得， 由得，或 解得，或， 因为，若，则，所以； 若，则，所以，即的取值范围是． 故选：C. 5．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 6．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由可得在和处取得最值，再由图象性质可得的最小值为半个周期即可. 【详解】由题得函数在处取得最小值，在处取得最大值， 则的最小值为相邻两条对称轴间的距离， 又最小正周期， 故的最小值为． 故选：B 7．下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】①由函数在区间内单调递减判断；②由函数在区间内单调递减判断；③由函数在区间内单调递减判断；④由函数在区间内单调递增判断. 【详解】由于，且函数在区间内单调递减，则，①正确； 由于，且函数在区间内单调递减， 则，②错误； 由于，则，③正确； 由于，且函数在区间内单调递增，则，④错误． 故选：B 8．已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】把方程解的个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，从而利用数形结合可找到答案. 【详解】由已知相邻两条对称轴的距离为，可得，又，可得， 由函数经过点，则，即， 又，可得，所以， 因为函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为， 所以在函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点， 故选：A. 9．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 10．已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性求出的取值范围，分析可知，当取最大值时，函数在内的零点个数最多，然后结合正弦型函数的基本性质可求得结果. 【详解】当时，， 由于正弦函数的增区间是， 所以，， 即，解得，即． 又因为，由于，，可得， 显然，越大，周期越小，零点也越多，故当时零点最多， 当时，，， 令，可得， 所以，函数在区间内的零点个数最多为. 故选：B. 11．设函数的定义域为D，若对任意的，，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心.研究函数的对称中心，则（   ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 【答案】C 【分析】构造函数得出函数为奇函数进而得出原函数的对称中心，再应用倒序相加法求和即可. 【详解】令函数，则其定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当时，可得. 设， ， 所以 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数由函数是奇函数得出原函数的对称中心. 12．已知函数，（   ） A．10130 B．10132 C．12136 D．12138 【答案】D 【分析】由函数式得对称性，然后配对求和． 【详解】， 所以的图象关于点对称，所以当时，， 所以 . 故选：D 13．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先求解在区间上的根，将区间进行分区，在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负，从而得出结果. 【详解】函数的定义域需要满足， 可以先考虑， 因为， 当时，； 当时，； 当时，或； 这时区间自然就被分为五个区间，分别为，，，，，然后对每一个区域分析函数的符号， 根据图象可得，当时， ，，，， 所以，故满足题意； 同理可得时，，故不满足题意； 时，，故满足题意； 时，，故不满足题意； 时，，故满足题意. 故选：B. 14．（多选题）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】把的范围求出来，看成一个整体，再利用正弦曲线的性质，即可得到范围的判断. 【详解】对于A，当时，， 又在上单调递增，所以，可得，故A正确； 对于B，当时，，若在上恰有3个零点， 则，所以，故B错误； 对于C，由题意得，即，故C正确； 对于D，由题意得，解得，故D正确. 故选：ACD. 15．（多选题）对于，下列正确的有（   ） A．若，则关于直线对称 B．若，则关于点中心对称 C．若在上有且仅有4个根，则 D．若在上单调，则 【答案】ACD 【分析】对于A，令，求解即可；对于B，令，即可求得对称中心为，；对于C，由条件得，求解即可；对于D，由条件得，求解即可. 【详解】对于AB，若，则， 令，得，，所以关于直线对称，故A正确； 令，得，，所以关于，中心对称，故B错误； 对于CD，当时，， 若在上有且仅有4个根，所以，解得，故C正确； 若在上单调，则，解得，故D正确； 故选：ACD. 16．已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 【答案】 2 【分析】根据和，可构造方程求得，并确定为半个周期，根据正弦函数单调性可构造方程组求得. 【详解】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 又，， 综上所述：，. 故答案为：2，. 17．已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则 ． 【答案】 【分析】跟可得，易得，进而可求出，再利用待定系数法求出即可. 【详解】由，可知， 解得， 又的相邻两条对称轴间的距离大于，所以， 所以，故，满足题意， 由，即， 解得，又，所以， 故． 故答案为：. 18．已知函数的最小正周期为，且函数图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据周期可得，根据对称中心可得，进而可求. 【详解】因为，则，解得， 又因为函数的函数图象关于点对称， 则，解得， 且，则，可得， 所以． 故答案为：. 19．已知函数，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的对称轴及零点，结合函数在给定区间上一个极大值求解. 【详解】由， 所以函数关于直线对称，于是有， 由， 于是解得. 令，所以， 令时，；令时，. 因为在区间上有且只有一个极大值点， 所以（为函数的最小正周期）. 因为，所以有， 即， 当时，，所以， 此时有两个极大值点，不符合题意； 当时，，此时， 此时有一个极大值点，符合题意. 故答案为： 20．已知函数，，则 . 【答案】9 【分析】构造函数，然后根据函数的奇偶性判断求解. 【详解】令，定义域为， 且， 所以为奇函数， 所以，即， 故. 故答案为：9. 题组二：名校三角函数图象与性质培优压轴试题精选 1．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看成整体角，求出其范围，利用函数在上单调递增得不等式，求出，再根据缩小范围为；接着根据对任意，都有，结合正弦函数的图象得不等式，求得，由，缩小范围为，最后求交即得. 【详解】由，得，依题意， ，解得（*）. 又又，则，故由（*）得，时，即①. 由，得，因对任意，都有， 则，解得， 因为，故时，即②. 综合①，②，可得的取值范围为. 故选：A. 2．已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别作出函数与函数的图象，分，讨论即可． 【详解】分别作出函数与函数的大致图象． 分两种情形：当时，，如图1，    当时，与的图象有一个交点，符合题意； 当时，，如图2， 当时，要使得与的图象只有一个交点， 只需，即，解得（舍去）． 综上，正实数m的取值范围为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握二次函数与三角函数的图象，从而数形结合即可得解. 3．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数的对称性，及在区间上的单调性，可知，又函数与直线交点的横坐标为，从而得，进而可求出的取值范围. 【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以， 又，得， 令，得， 所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为， 所以，解得， 综上所述，. 故选：. 【点睛】关键点点睛：关于三角函数中的取值范围问题，结合三角函数的单调性与最大（小）值列关于的不等式，从而求解即可. 4．定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．4是的一个周期 D． 【答案】D 【分析】由偶函数可得，由可得，再由这两个关于的恒等式可得到周期性，最后利用函数的性质进行判断即可. 【详解】由，把换成可得：， 两式相加得：，故关于点对称，故A正确； 再由为偶函数可得，， 可知：关于直线对称，故B正确； 再由上面关于两式可得：， 即有，可知：4是的一个周期，故C正确； 令，有，， 又因为，所以， 则，故D不正确； 故选：D. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 5．对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数图象可判断①；取可判断②；由函数与函数的图象可判断③；由函数和的图象交点个数可判断④. 【详解】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，， 任取，，都有， 故①正确； 对于②，当时，，而由解析式可知， 故②不正确； 对于③，函数与函数的图象如图所示， 若关于的方程有且只有两个不同的实根，， 则，由对称性可知，故③正确； 对于④，函数和的图象如图所示， 由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点， 故④不正确； 所以四个命题中正确的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是作出函数的图象，结合函数的图象和性质求解. 6．已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用方程组法求出的解析式，结合的奇偶性将上的零点和转化为上的零点和问题，令，转化为，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果. 【详解】由，可得， 解得，易知为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，和为0， 在上的零点和即为上的零点和， 令，得， ，，作出和在同一坐标系中的图象， 可知在内的零点有和两个， 故. 故选：B. 7．已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由，解得或，再对函数解析式分段讨论解方程即可．特别注意依据时函数的范围确定的范围. 【详解】由，解得：或， 又， 若， 当时，，即，所以，所以； 当时，，而当时，此种情况无解； 若， 当时，或，即或； 当时， 当，则，满足题设； 当，根据对称性及时知，，故此种情况无解； 综上所述：的实数根个数为4个，分别是. 故选：B． 8．如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段的长，且，则下列结论不正确的是（    ） A．函数在内有1个零点 B．函数在内有2个零点 C．函数有3个零点 D．函数在内有1个零点 【答案】C 【分析】利用当时，，可得各个函数在上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在上零点的个数，且各个函数都有零点，由此可判断A CD；再结合函数和的图象，可判断B. 【详解】由已知条件，当时，， 所以当时，， 对于A，当时，，， 又为奇函数，所以时，， 当时，， 所以函数在内有且仅有1个零点，故A正确； 对于B，当时， 因为，即， 由为奇函数，所以时，， 当时，， 所以函数在内有且仅有1个零点， 作出函数的图象，如图所示， 由图可知，当时，函数和的图象只有一个交点， 所以函数在内有且仅有1个零点， 所以函数在内有2个零点，故B正确； 对于C，当时，，所以，此时函数没有零点， 当时，由，即，此时函数没有零点， 当时，，此时函数的零点为， 又为奇函数，其图象关于原点对称，所以时函数无零点， 综上所述，函数有且仅有1个零点，故C错误； 对于D，当时，因为， 所以， 又为奇函数，所以时，， 所以， 当时，， 所以函数在内有1个零点，故D正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由得，并结合三角函数图象求解. 9．（多选题）已知函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．在上有两个不同的零点 【答案】BC 【分析】计算可得，可判断A；计算可得，可判断B；分，，，四种情况讨论可判断C；结合C选项可知时，在上有一个不同的零点，可判断D. 【详解】对于A，， ， 所以的最小正周期不为，故A错误； 对于B，， ， 所以，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，当时，若，，所以， 若，，所以， ，所以， 同理可得时，， 当时，若，， 所以， 若，，则， 若，，则 所以， 同理可得时，，故C正确； 对于D，当时，又，所以， 此时，，只有一个解， 所以在上有一个不同的零点，故D错误； 故选：BC. 10．（多选题）已知函数，为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对A，将代入结合题目条件可得的值；对B，由函数的图象是中心对称图形，且即可得；对C，由无法判断奇偶性可得；对D，结合函数单调性即可得. 【详解】对于A选项，由是的零点，得， 所以，即， 因为，则， 因为，则，故A正确； 对于B选项，函数的图象是中心对称图形， 函数在上单调递减，由， 因为，则是函数的对称中心，所以，故B正确； 对于C选项，，奇偶性无法判断，故C错误； 对于D选项，由A选项得， 因为函数在上单调递减，所以， 解得，其中， 所以，，可得， 所以，当时，，当，不合乎题意， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路： （1）将函数解析式变形为或的形式； （2）将看成一个整体； （3）借助正弦函数或余弦函数的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关问题. 11．（多选题）已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由题意可知，,对任意的，都存在，使得成立，，,进而有再将选项中的值，依次代入验证，即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∵对任意的，都存在，使得成立， ∴，， ∵， ∴，， 在上单调递减．在上单调递增． 当时，，，，故A正确， 当时，，，故B错误， 当时，，，，故C正确， 当时，，．故D错误． 故选：AC． 12．（多选题）已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用三角函数的性质及周期的定义一一判定选项即可. 【详解】不妨令表示四个选项中的对应函数， 对于A，易知， 注意到， 因此为周期函数，故A正确； 对于B， 注意到， 因此为周期函数，故B正确； 对于D， 注意到， 因此为周期函数，故D正确； 对于C，易知， 假设存在正常数T，使得恒成立，分别取，得： ， ， ． 不妨设，其中， ， ， 由于，而为无理数，则上式不恒成立， ∴T不存在，不是周期函数，故C错误． 故选：ABD 【点睛】思路点睛：对于A、B、D三个选项可以借助特殊值结合周期性验证，而C选项，可以利用反证法及特殊值排除. 13．已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】借助基本不等式可得消去、，对求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得解． 【详解】由题意得：，，， 则， 当且仅当时等号成立， 即， 即， 则有， 则，， 又在，单调递增， 在，上单调递减， 故在，上单调递增， 则当，时，即、时， 有最大值， 即的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将、消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解. 14．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，不妨设，再分和两种情况讨论，分别求出，进而可得出答案. 【详解】存在（互不相等），满足， 则， 不妨设，且是相邻最值点. 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 当时， 则，解得， 由，解得， 当时，， 当时，， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由题意可得，不妨设，再分和求出是解决本题的关键. 15．已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是 . 【答案】3 【分析】设，，根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即可. 【详解】设， 显然，集合A非空. 当时，显然， 以下设， 此时，. 易知，当且仅当对任意的，有， 即，故整数的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可. 16．已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】先对满足的任意都有图象的对称轴都是图象的对称轴,再结合函数值域得出参数范围即可解. 【详解】因为对满足的任意都有， 所以图象的对称轴都是图象的对称轴，又， 所以其图象关于直线对称，所以， 所以，易知的值域为，的值域为． 若存在，，使得，则， 所以，所以， 因为，，所以的值可能为4，5，6，7，8，即的取值集合为． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：先求出图象的对称轴再结合函数有相同的对称轴得出，再由函数的值域计算求参． 17．已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数        ②是函数的一个周期 ③函数在内是减函数    ④函数最小值为 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【分析】利用函数奇偶性的定义可判定①，利用函数的周期性可判定②，利用复合函数的单调性可判定③④. 【详解】易知， 显然， 即①是偶函数，故①正确； 而 ，则是函数的一个周期，故②正确； 令，则，即， 显然在上,单调递减， 则, 又上单调递增， 所以在上单调递减，所以③错误； 结合周期性可知上单调递增， 即，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：利用换元法及同角三角函数的平方关系化简函数式，根据复合函数的单调性判定结论即可. 18．函数的最大值为 . 【答案】 【分析】经分析知是以为周期的周期函数，所以只需求在上的值域，分，对进行化简、换元，并分析函数的单调性，进而确定其值域. 【详解】∵ ∴是以为周期的周期函数. 若，则 ，， 令，则，. ∵ 在上均是单调增函数， ∴ 若， 则，， 令，则， ∵ 在上均是单调减函数， ∴ 综上，的最大值为. 故答案为：. 19．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 【答案】/1.8 【分析】根据单调性分析可得，根据题意可得为的对称中心，若求的最大值，即的最小值，根据图像结合三角函数性质分析求解即可. 【详解】设的最小正周期为，且， 因为在上单调，则，可得， 又因为，且，可知为的对称中心， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点，A，，种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间包含的周期最多， 若对应为点，则为的对称轴， 且，则，，满足， 且此时为最小值，所以取值的最大值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于三角函数问题的处理，常常与周期性相结合，本题根据对称性可得，并分析与之间包含的周期最多，即可得解. 20．已知函数，则函数的零点个数是 . 【答案】112 【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数. 【详解】作出的图象，如图， 令，考虑方程的根，由图象可知有16个根， 分别设为，由图象知， ， 再考虑，分别作出直线， 可知原函数共有零点个. 故答案为：112 【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数. 21．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【详解】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 22．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 【答案】(1)下凸函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作差，化简即可证明； （2）任意取，作差，再分析其符号即可； （3）根据（2）中结论得，代入计算即可得到答案. 【详解】（1）下凸函数，理由如下：任意取， 因为 即，当且仅当时等号成立， 故是下凸函数. （2）任意取，不妨设， ， 由于，根据在上单调递增，在上单调递减， 则， 所以，即函数是上凸函数. （3）当，且， 由（2）知是上凸函数， 所以， 故 所以当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是作差因式分解得，再分析其正负即可. 题组三：名校三角函数图象与性质新定义试题精选 1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助泰勒公式，进行适当放缩再比较即可. 【详解】， ， ，则， 因此. 故选：C. 2．雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，借助图象证得当时，，从而判断得；构造单位圆A，利用三角函数线证得，从而判断得，由此得解. 【详解】，， 令，两函数图象如图所示， 因为均单调递增，且， 结合图象可知当时，，即， 故，故； 如图，单位圆A中，于，设，， 则的长度，，， 则由图易得，，即， 所以，故； 综上，. 故选：B. 【点睛】方法点睛： （1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小； （2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度. 3．音程由两个音组成，是和声的最小单位．有的音听起来和谐而有的则不和谐，这和音与音之间的波形（正弦型）有关．比如，1（do）到i（高音do）可以构成纯八度音程，听感上十分和谐，这是因为两者波形的周期比为，两个声波在1个（2个）周期后就立即重合，并有规律的进行下去．再比如1（do）到5（sol）可以构成纯五度音程，两者周期比为3：2，两个声波在2个（3个）周期后就立即重合，听感上也很和谐．也就是说，两个音波形的周期比例越简单，听感越和谐．已知在一个调性中，1（do）的波形符合函数（为振幅，为时间），在音与音之间振幅相同的情况下，与1（do）构成纯八度音程的i（高音do）、纯五度音程的5（sol）的波形函数分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】根据三角函数周期求解即可； 【详解】由题意知，1（do）到i（高音do）两者波形的周期比为，又因为1（do）的波形符合函数， 故则由 解得： 所以i（高音do）的波形函数为； 1（do）到5（sol）两者周期比为3：2，故解得： 所以纯五度音程的5（sol）的波形函数为； 故选；A. 4．（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 【答案】ABD 【分析】利用偶函数性质，只需要研究部分，再利用数形结合，就可以对各选项判断. 【详解】函数 的定义域为 ， 因为 ，所以 为偶函数， 当 时，， 则 当时，， 当时，， 所以函数 的图象如图所示 由 可知，在 内，， 当 时，， 当 ，且 时，， 当或，时，， 因为 ，所以 为偶函数， 则函数 的图象如图所示： 由函数 的图象得到 不是周期函数，故选项 正确； 所以函数 的值域是 ，故选项 正确； 由 ， 所以函数 的图象不关于 对称，故选项 不正确； 对于方程 ，当 时，方程有一个实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 当 时，，此时 ，方程没有实数根， 所以方程 只有一个实数根，故 正确. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：就是利用对函数的的图象研究，可得到的图象，然后通过数形结合来对各选项判断. 5．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数有3个零点 C．的最小正周期为 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】由“高斯函数”的定义结合的值，即可判断A；举反例可判断B；在区间上，化简，结合余弦函数的周期性，可判断C，D； 【详解】对于A，，A正确； 对于B，当时，，则， 此时为的零点，有无数个，B错误； 对于C，在区间上，， 结合的最小正周期为，由此可得的最小正周期为，C正确， 对于D，结合C的分析可知的值域为，D正确， 故选：ACD 6．（多选题）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数为周期函数，且最小正周期为 D．函数的导函数的最大值为3 【答案】ABD 【分析】判断与的关系可判断AC；讨论奇偶性可判断B；求出导函数，结合余弦函数的性质可判断D. 【详解】因为函数，定义域为， 对于A， ， 所以函数的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，，所以函数为奇函数，图象关于点对称，故B正确； 对于C，由题知，故C错误； 对于D，由题可知，且，故D正确. 故选：ABD. 7．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)当时， 函数和是否具有性质? (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 【答案】(1)，具有性质，不具有性质. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由函数具有性质判断即可； （2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可； （3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明. 【详解】（1），具有性质.因为 ，所以； 不具有性质. （2）若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得， 又当时， 故当时，有，即，所以， 所以当时，，， 即时， 故当时，不等式为，无解， 当时，不等式为， 又，故不等式解为，即解集为. （3）已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有， 所以， 所以函数的图像端点为和， 由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线， ①若，因为时，， 所以对任意，有， 由基本不等式得，有， 所以对任意，有， 根据图像的对称性，得对任意，有， 这样与存在矛盾. ②若，由，得， 又，由图像的对称性知，， 且，所以， 这与在上有最大值矛盾. 综上：. 【点睛】思路点睛：本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论. 8．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】(1)函数不具有性质；函数具有性质 (2)存在，， (3) 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【详解】（1），， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； （2）若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； （3）由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数的图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 9．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 【答案】(1)不是“M函数”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）由“函数”的定义，即可判断； （2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解； （3）首先结合“函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论得到取值，利用对称性求和. 【详解】（1）的周期为，满足， ，， ，所以函数不是“函数”； （2）若为“M函数”， 满足且， 所以函数的周期为，且函数关于对称， 根据，函数的图象落在直线上，利用对称性和周期性画出函数的图象， 设，， 所以， 根据周期可知，的图象，如上图所示， 线段的最小值就是如图点到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离， 即， 所以的最小值为. （3）设，则 所以， 设，则， ， 设，则， ， 所以； 所以 作出函数的图象，如图所示， 关于的方程（为常数）有解等价于函数与的图象有交点， 由图可知，当时，方程（为常数）有3个解， 则方程所有的解的和为, 当或时，方程（为常数）有4个解，其方程所有解的和, 当时，方程（为常数）有6个解，其方程所有解的和， 当时，方程（为常数）有8个解，其方程所有解的和 综上所述，当，关于的方程（为常数）所有解的和为， 则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“函数”的定义，确定函数的周期和对称性，利用周期性和对称性求函数的解析式，以及画出函数的图象. 10．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. (1)若函数，求函数的“相伴向量”； (2)若函数为向量的“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）化简函数，根据相伴向量的概念即可求解； （2）①由函数变换得，令，得，根据题意在内有两个不同的实根，分类讨论即可得实数a的范围； ②根据二次函数及三角函数的图象和性质，结合一元二次方程根的分布，经过分析运算即可求解． 【详解】（1）由题意，函数 所以的“相伴向量”； （2）因为函数为向量的“相伴函数”， 所以， 由题意，函数， ， 由，可得， 令，则， 根据题意在内有两个不同的实根， 关于的方程的一个根在区间，另一个根在， 当一个根为0时，即，所以， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根是，即，解得， 此时方程为，所以，不合题意； 当一个根在，另一个根在， 则有，解得； 当一个根是1，另一个根在内， 由得， 此时方程为，解得或，不合题意； 综上，a的取值范围是； ② 设为方程的两个不相等的实数根，且， 由①知，，所以，即， ，所以关于对称，则， 所以，即， 由且，可得， 因为，所以， 所以， 所以，又，且 所以，所以， 整理得， 因为，所以，解得或，又， 所以， 所以，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题中，第①题的关键是先图象变换得到，然后得到，换元后构造二次函数，转化为方程在内有两个不同的实根，再进行分类讨论即可得解；第②题的关键是，巧妙的将二次函数及三角函数结合起来，在三角恒等变换后，通过换元，再一次转化为一元二次方程根的分布问题，从而得解. 11．若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的新的定义，求出的“可消数对”即可. （2）利用题目给的定义，根据为函数的“可消数对”，得到,都有，从而求出 （3）结合题意得到关系：,利用进一步转化得到,求出结果. 【详解】（1）因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. （2）因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. （3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. 12．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 【答案】(1)具有性质 (2)存在，， (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义直接判断即可； （2）假设函数具有性质，可求出，进而得到，再根据定义验证即可； （3）分析可知函数在的值域为，由在区间上有且仅有一个零点可知时不合题意，再求解当时，与函数是以为周期的周期函数矛盾，由此可得，进而得证． 【详解】（1）因为，则，又， 所以，故函数具有性质； 因为，则，又， ，故具有性质． （2）若函数具有性质，则，即， 因为，所以，所以； 若，不妨设，由， 得（*）， 只要充分大时，将大于1，而的值域为， 故等式（*）不可能成立，所以必有成立， 即，因为，所以， 所以，则，此时， 则， 而，即有成立， 所以存在，使函数具有性质． （3）证明：由函数具有性质及（2）可知，， 由可知函数是以为周期的周期函数，则， 即，所以，； 由，以及题设可知， 函数在的值域为，所以且； 当，及时，均有， 这与在区间上有且只有一个零点矛盾，因此或； 当时，，函数在的值域为， 此时函数的值域为， 而，于是函数在的值域为， 此时函数的值域为， 函数在当时和时的取值范围不同， 与函数是以为周期的周期函数矛盾， 故，即，命题得证． 【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素. 13．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与具有关系，理由见解析 (2) (3)不具有关系，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，结合函数的新定义，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的性质，分给求得的值域，即可求解； （3）根据题意，利用三角函数的对称性和三角函数的值域，得到不存在使得，即可得到答案. 【详解】（1）解：函数与具有关系. 理由如下： 当时；当时，； 当时，；当时，， 此时，所以函数与具有关系. （2）解：由函数， 且， 因为，当时，，所以， 所以，所以，即实数的取值范围为. （3）解：不具有关系. 理由如下： 因为在上，当且仅当时，取得最大值1， 且为定义在上的奇函数， 所以在上，当且仅当时，取得最小值－1， 由对任意有，可得关于点对称， 又，故的周期为， 故的值域为，， 当时，，时，， 若，即，此时有； 当时，时，； 若，则时，有， 因为，所以， 所以不存在使得， 故与不具有关系 【点睛】方法点拨：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 3、若数列中涉及到三角函数有关问题时，常利用三角函数的周期性等特征，寻找计算规律求解. 14．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，． (1)若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若函数，，且与具有关系，求a的最大值； (3)若函数，，且与具有关系，求m的取值范围． 【答案】(1)与是否具有关系，理由见解析 (2)5 (3)或 【分析】（1）先求出，在的值域为，从而得到对任意的，存在，使得，得到结论； （2）求出，结合，得到，得到不等式，求出的取值范围，求出最大值； （3）由题意得到的值域，其中，换元后得到，由对称轴进行分类讨论，得到的值域，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）与是否具有关系，理由如下： 时，，故， ， 又在的值域为， 由于，即是的真子集， 故对任意的，存在，使得， 与是否具有关系. （2）时，， 由题意得，任意的，存在，使得， 又，， 故，即，解得， 故的最大值为5； （3）由题意得对任意的，存在，使得， 又， 故的值域， 令，， 令，则， 设， 若对称轴，即时，， 则，解得，与求交集，结果为， 若，即时，， 则，解得，与取交集，结果为， 若，即时，， 则，解得或，与取交集，结果为， 若，即时，， 则，解得或，与取交集，结果为， 综上，或 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 15．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． (1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由； (2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； (3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是，与是“自均值函数” (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）假设满足条件得到，分别计算函数，的值域，不满足条件，得到答案. （3）变换得到，的值域是，根据值域关系排除的情况，得到，计算函数最值得到，解得答案. 【详解】（1）对于函数定义域，若是“自均值函数”， 则存在实数，使得对于任意都存在满足， 则，即， 因为，，不符合题意，所以，不是“自均值函数”； 对于函数定义域， 令，则对任意都存在满足， 所以是“自均值函数”； 对于函数定义域， 令，则对任意都存在满足， 所以是“自均值函数”； （2）函数，定义域，若是“自均值函数”， 则存在实数，使得对于任意都存在满足， 即，即， 又函数的值域为，的值域为，不满足条件， 故函数不是为“自均值函数”. （3）存在，对于，存在，有， 即， 当时，的值域是， 则在值域包含， 当时又，则， 若，则，， 此时值域的区间长度不超过，而区间长度为，不符合题意， 于是得，， 要使在的值域包含， 则在的最小值小于等于， 又时，单调递减且，而有，解得， 此时取，的值域是， 而，，故在的值域包含， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目的新定义问题，转化为函数的值域的包含问题，再求解是解题的关键，这种转化思想是常用的思想，需要熟练掌握. 16．若函数满足：对任意，则称为“函数”． (1)判断是不是函数（直接写出结论）； (2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； (3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 【答案】(1)是函数，是函数 (2) (3) 【分析】（1）根据题设，直接检验是否成立，即可判断出结果； （2）根据条件得出函数的周期为，关于直线对称，再根据条件，利用周期性和对称性即可求出结果； （3）由（2）可得出，再利用周期性作出的图像，再结合图像即可求出结果. 【详解】（1）是函数，证明如下： 因为，又，，所以，故是函数， 是函数，证明如下： 因为， ，所以，故是函数. （2）因为，所以函数的周期为，又，所以函数关于直线对称， 因为时，所以， 当，即时，， 当，即时，， 又时，，所以， 综上，在上的解析式为； （3）由（2）知，当时，，所以，得到， 又函数的周期为，所时，的图像如图， 由图知，当时，有5个解，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 当时，有12个解，由对称知，其和为， 当时，有16个解，由对称知，其和为， 当时，有8个解，由对称知，其和为， 综上，方程所有解的和. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 17．若函数满足，且，，则称为“型函数”. (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； (2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围. 【答案】(1)函数是“型函数”，理由见解析 (2) 【分析】（1）判断出关于直线对称，且最小正周期为，由定义可判断出答案； （2）由题意得到的零点为，0，1，即或或，由对称性和周期性画出在上的图象，数形结合求出. 【详解】（1）由，得，所以的周期为， 由，，得的图象关于直线对称， 因为，所以的图象关于直线对称， 又的最小正周期为，所以函数是“型函数”. （2）令，得，因为是定义域为的奇函数，所以的零点为，0，1. 令，所以或0或1，即或或. 画出在上的图象，由的图象关于直线对称， 可画出在上的图象.由的最小正周期为， 可画出在上的图象. 故在上的图象如图所示， 所以函数在上的零点个数等于在上的图象与直线，，的交点个数之和. 当，即时，在上的图象与直线，，的交点个数之和为9. 故的取值范围为 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 题组四：三角函数图象与性质全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2013高一·全国·竞赛）对于函数下列说法正确的是（    ）． A．的值域是 B．当且仅当时，取得最小值 C．的最小正周期是 D．当且仅当时， 【答案】D 【分析】作出函数的图像，再观察图像的性质即可得解. 【详解】解：，作出函数的图像（实线部分）， 对于A，观察图像的性质有：函数的值域为，即选项A错误； 对于B，当或时，取得最小值，故B错误； 对于C，函数是以为最小正周期的周期函数，即选项C错误； 对于D，当且仅当（）时，＞0，即选项D正确， 故选：D. 2．（2015高一·全国·竞赛）已知函数是上的奇函数，且在区间上单调递增，若， ，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，根据函数的奇偶性和单调性，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为是上的奇函数，且在区间上单调递增， 所以函数是上为单调递增函数， 由，可得，， 因为，所以， 所以，即， 则，即. 故选：B. 3．（2013高一·全国·竞赛）为使在区间上至少出现100次最大值，则的最小值为（    ）． A．198 B．199 C．200 D．201 【答案】B 【分析】先求出，再结合的最大值点求出的范围即可. 【详解】因为，所以， 在区间上至少出现100次最大值，需要最少有个周期， 所以，所以所以， 又，所以． 则的最小值为199. 故选：B. 4．（2017高二·全国·竞赛）若条件p：，条件q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用弧度制公式，画出图象，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：如图所示：    在单位圆中，当时，， ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 当，且，，，满足， 但不成立， 所以p是q的充分不必要条件， 故选：A 5．（2007高一·全国·竞赛）已知，则对任意，必有（　　）. A． B． C． D．的值不确定 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的关系结合正余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当或时，等号成立， 所以对任意. 故选：A. 6．（2007高一·全国·竞赛）函数的单调增区间为（　　）. A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据平方公式化简函数，结合复合函数单调性与余弦函数的性质列不等式组即可得函数的增区间. 【详解】即， 由此可知与同增同减即可得函数的单调增区间， 则增区间满足或，， 即或，， 解得或， 所以函数的单调增区间为：. 故选：C. 7．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据的单调区间，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为，， 所以， 又因为在上单调递减， 所以，,解得：， 因为，故，而，故，故. 故选：A 8．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知，，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意根据正弦函数的有界性可得，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】解：因为，. 又 所以，且当，时，， 故选：C. 9．（2010高一·浙江温州·竞赛）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题设可知该函数的最小正周期，结合函数的图象可知单调递减区间是，即，等价于，应选答案D． 点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数 的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解． 10．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】依题意，， 而，显然且，因此， 由，得，解得或， 所以在上的零点个数是2. 故选：B 11．（20-21高三·北京·强基计划）已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的性质结合换元法可求正实数的取值范围. 【详解】根据题意，当时，有， 而函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点， 因此． 故选：D. 12．（2022高一·浙江温州·竞赛多选题）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 【答案】ABD 【分析】对于A：根据奇函数定义整理判断；对于B：根据周期函数的定义整理判断；对于C：利用正弦函数的有界性分析判断，注意等号成立的条件；对于D：结合对称性分析判断. 【详解】，，即， 故是奇函数，A正确； ，， 即，故是以为周期的周期函数，B正确； 当时，，注意到等号不能同时成立， ∴，即， 再由的对称性、周期性，可知不是的最大值，C错误； 当时，，则， 再由的图象关于直线对称，知在内恒正， 又， 故在区间内无零点，D正确. 故选：ABD. 13．（16-17高三·北京·强基计划多选题）设函数是上的奇函数．若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（    ） A．的值不唯一 B．的值唯一 C．的值不唯一 D．的值唯一 【答案】BC 【分析】根据奇偶性和对称性可得，再根据单调性可得其范围，故可得正确的选项. 【详解】根据题意，有，其中，于是． 由于在区间是单调函数， 于是该区间长度不大于的个最小正周期，即， 因此，从而的可能取值有2，6． 故选：BC. 14．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 【答案】2 【分析】由条件确定当时，函数取得最大值，代入即可求的集合，从而得到的最小值. 【详解】由条件对任意的实数x都成立，可知是函数的最大值， 当时， 解得，又因，所以最小值为2. 故答案为：2 15．（2024高二下·浙江·竞赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 【答案】/0.75 【分析】利用换元法可得，求得，即可求解. 【详解】解 ： 令，， 当时，原函数变形为， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号， 故或， 所以或， 当时，． 综上可得，， 所以函数的最大、最小值分别为，其积为． 故答案为： 16．（2015高一·全国·竞赛）设函数，则的值为 ． 【答案】4027 【分析】由题得出，然后结合所求代数式的形式即可得出答案. 【详解】因为， 所以，，…，， 所以， 故答案为：4027. 17．（2013高二·全国·竞赛）已知函数，若、、互不相等，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式结合三角函数以及对数函数的性质，可作图象，利用不等式性质，可得答案. 【详解】不妨设，由函数，且， 可作图如下： 根据正弦函数的对称性，可知当时，关于直线对称，则； 由图可知，，则. ∴． 故答案为：. 18．（2010高一·全国·竞赛）已知函数是函数的一个零点，则的值为 . 【答案】 【分析】 先判断出为奇函数，再由结合函数奇偶性可求得的值. 【详解】令，则， 且定义域为，关于原点对称，则为奇函数， 而， ，. 故答案为：. 19．（2023高一下·海南·竞赛），且则 . 【答案】18 【分析】 构造函数，利用奇函数性质求值即可. 【详解】 令，则为奇函数， 又，故， 由，得， 故. 故答案为：18 20．（2016高一·全国·竞赛）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中.若，则函数的对称中心为 . 【答案】 【分析】根据函数的周期性得且，求得，即可得，代入正弦函数对称轴结论求解即可. 【详解】由是定义在上且周期为2的函数，所以，即①， 又，且，所以②， 联立①②，解得，所以， 令，得，， 所以函数的对称中心为. 故答案为： 21．（2007高一·全国·竞赛）若函数，且，则的范围是 . 【答案】 【分析】分情况讨论，若时即为其对称轴，若时即满足即可得结果. 【详解】若，则，所以； 若，则， 所以的范围为. 故答案为：. 22．（2021高一·黑龙江鸡西·竞赛）当时，不等式恒成立，其中常数，则实数的取值范围 .(答案用表示) 【答案】(,) 【分析】由，可得，求解的最小值，即可求解实数的取值范围. 【详解】由， 可得， ； 由sinx∈[－1，1]可得； ∴不等式恒成立等价于， 即，即， 即， ，∴， 故答案为：(,)． 23．（2015高三·全国·竞赛）设，若存在（），使得，则取值范围 . 【答案】 【分析】存在，，使得等价于存在整数，使得，然后分和两种情况求出的范围． 【详解】解：由知，，而，，， 存在，，使得等价于 存在整数，使得①， 当时，区间，的长度不小于，故必存在，满足①式； 当时，注意到，，故仅需考虑如下几种情况： ，此时且，无解； ，此时； ，此时， 又，所以， 综上，的取值范围为． 故答案为：． 24．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若不等式，对恒成立，则和分别等于 ． 【答案】， 【分析】设，得出的符号变化情况，根据的单调性和对称性即可得出的值. 【详解】当时， 当或时，， 当或时，，当时， 设， 则在上单调递增,在上单调递减，且的图象关于直线x=b对称, 即， 又，故， 故答案为：， 25．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知函数，则的值为 ． 【答案】18 【分析】根据题目信息，探求的值求解. 【详解】因为函数， 所以 ， 所以， 所以 ， ， ， ， 故答案为：18 26．（2019高三·江苏·竞赛）已知函数的最小值为－6，则实数a的值为 . 【答案】 【详解】令，则， ∴， ∴， 当，时， 函数的最小值为：， 解得：，不合题意，舍去； 当，时， 函数的最小值为：， 解得：，不合题意，舍去； 当，时， 函数的最小值为：， 解得：，满足题意. 故答案为：． 27．（2020高三·全国·竞赛）用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理在上的单调性求解． 【详解】因为在上单调递增，所以，若，则存在，使得，且，不合题意，所以， 所以由得，所以，解得． 故答案为：， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键． 28．（20-21高三·北京·强基计划）方程有 个解． 【答案】2021 【分析】利用的最高点与直线的关系可求方程的解的个数. 【详解】当时，方程无解．接下来考虑的情形． 考虑到函数在区间上函数值从0递增到1然后再递减0，且函数图象上凸． 因此在每个形如的区间上，如果点在直线上方（包括在直线l上），则在该区间上函数的图象与直线l有2个公共点． 而当时，点在直线l上方；当时，点在直线l上； 当时，点在直线l下方． 因此在区间上，题中方程有2022个实数解． 考虑当时，有， 于是在区间上，题中方程没有实数解． 综上所述，题中方程共有2022个实数解． 故答案为：2022. 29．（2010高一·全国·竞赛）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，. (1)求的值； (2)求的函数表达式； (3)如果关于的方程有解，记为方程所有解的和，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对称性可将转化为，转化为，由已知可得解； （2）利用对称性可得当时的解析式，从而得到函数的解析式； （3）画出函数的图像，通过图像可得解． 【详解】（1）因为定义在上的函数的图象关于直线对称， 所以，则, . （2）因为，所以，所以， 又当时，函数，所以. （3）作函数的图象如图所示， 显然，若有解，则． ①若有两解，； ②若有三解，； ③若有四解，； ④若有两解，. 综上所述，当或时，有两解，； 当时，有三解，； 当时，有四解，. 所以 30．（2015高一·全国·竞赛）已知奇函数的定义域为，且为上的增函数，． (1)求不等式的解集； (2)设函数，为锐角，求满足条件的的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据函数的单调性及零点得出上的解，再由奇偶性得出上的解即可； （2）由题意可化为，再分离参数，利用对号函数单调性求最大值即可得解. 【详解】（1）函数为上的增函数，且， 当时，；当时，， 设，则，， 又是奇函数，， 的解集为或 （2）由条件以及（1）的结论，可知必有. 即对任意锐角恒成立， 所以对任意锐角恒成立， 设，设， ， 时，单调递增；时，单调递减； 当时，， 所以的范围为. 31．（2007高一·全国·竞赛）已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，，又有函数，若集合，集合. (1)求的解集； (2)求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据奇函数的单调性性质以及可得答案； （2）由以及得，设，分，，讨论求解. 【详解】（1）在上为奇函数，且在上递增. 在上也递增. ，则在上. 由奇函数对称性得在上. 的解集为或； （2）由题意可知： 或，则， . 设，则. ①时，，，故； ②时，，无解； ③时，，. 综上得，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一三角函数图象与性质易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校三角函数图象与性质易错题精选 题组二：名校三角函数图象与性质培优压轴试题精选 题组三：名校三角函数图象与性质新定义试题精选 题组四：三角函数图象与性质全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校三角函数图象与性质易错题精选 1．已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（    ） A．4 B．2 C．1 D． 7．下列不等式中，正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 8．已知，其中相邻的两条对称轴的距离为，且经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．函数的定义域为（   ） A．， B．， C．， D．， 10．已知函数在内单调递增，则在内的零点个数最多为（    ） A． B． C． D． 11．设函数的定义域为D，若对任意的，，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心.研究函数的对称中心，则（   ） A．2022 B．4043 C．4044 D．8086 12．已知函数，（   ） A．10130 B．10132 C．12136 D．12138 13．若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成，则n的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（多选题）已知函数，则下列命题正确的是（    ） A．若在上单调递增，则的取值范围是 B．若在上恰有3个零点，则的取值范围是 C．若在上的值域为，则的取值范围是 D．若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是 15．（多选题）对于，下列正确的有（   ） A．若，则关于直线对称 B．若，则关于点中心对称 C．若在上有且仅有4个根，则 D．若在上单调，则 16．已知函数，直线与曲线的两个交点如图所示.若，且在区间上单调递减，则 ； . 17．已知函数，其中，若，且的相邻两条对称轴间的距离大于，则 ． 18．已知函数的最小正周期为，且函数图象关于点对称，则 ． 19．已知函数，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为 . 20．已知函数，，则 . 题组二：名校三角函数图象与性质培优压轴试题精选 1．已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上只有一个零点，则正实数m的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 3．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4．定义在上的函数满足且，函数为偶函数，则下列说法不正确的是（    ） A．的图象关于对称 B．的图象关于对称 C．4是的一个周期 D． 5．对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知函数满足，若函数在上的零点为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段的长，且，则下列结论不正确的是（    ） A．函数在内有1个零点 B．函数在内有2个零点 C．函数有3个零点 D．函数在内有1个零点 9．（多选题）已知函数，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C． D．在上有两个不同的零点 10．（多选题）已知函数，为的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是偶函数 D．的取值范围是 11．（多选题）已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）已知函数，则下列函数为周期函数的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，则的最大值为 . 14．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为 . 15．已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是 . 16．已知函数，，若对满足的任意都有，且存在，，使得，则的取值集合为 ．（参考数据：） 17．已知函数，给出下列四个结论： ①是偶函数        ②是函数的一个周期 ③函数在内是减函数    ④函数最小值为 其中所有正确结论的序号是 . 18．函数的最大值为 . 19．已知函数在上单调，且，则的最大值为 ． 20．已知函数，则函数的零点个数是 . 21．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 22．若函数在定义域区间上连续，对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数，若恒有，则称函数是区间上的下凸函数，当且仅当时等号成立，这个性质称为函数的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若是上凸函数，则对任意，，…，恒有，若是下凸函数，则对任意，，…，恒有，当且仅当时等号成立．应用以上知识解决下列问题： (1)判断函数在定义域上是上凸函数还是下凸函数（说明理由）； (2)证明，上是上凸函数； (3)若A、B、C、，且，求的最大值． 题组三：名校三角函数图象与性质新定义试题精选 1．英国数学家泰勒给出如下公式：；；，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，也可以借助计算工具进行近似计算．若，，，则有（    ） A． B． C． D． 2．雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705年）是伯努利家族代表人物之一，瑞士数学家，他酷爱数学，常常忘情地沉溺于数学之中．伯努利不等式就是由伯努利提出的在分析不等式中一种常见的不等式．伯努利不等式的一种形式为：，，则．伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．音程由两个音组成，是和声的最小单位．有的音听起来和谐而有的则不和谐，这和音与音之间的波形（正弦型）有关．比如，1（do）到i（高音do）可以构成纯八度音程，听感上十分和谐，这是因为两者波形的周期比为，两个声波在1个（2个）周期后就立即重合，并有规律的进行下去．再比如1（do）到5（sol）可以构成纯五度音程，两者周期比为3：2，两个声波在2个（3个）周期后就立即重合，听感上也很和谐．也就是说，两个音波形的周期比例越简单，听感越和谐．已知在一个调性中，1（do）的波形符合函数（为振幅，为时间），在音与音之间振幅相同的情况下，与1（do）构成纯八度音程的i（高音do）、纯五度音程的5（sol）的波形函数分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 4．（多选题）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过的最大整数，则 称为高斯函数，例如 ，. 已知函数 ，函数 ，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（   ） A．函数 不是周期函数； B．函数 的值域是 C．函数 的图象关于 对称： D．方程 只有一个实数根； 5．（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数有3个零点 C．的最小正周期为 D．的值域为 6．（多选题）随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等各个领域.而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数，的图象就可以近似的模拟某种信号的波形，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称 C．函数为周期函数，且最小正周期为 D．函数的导函数的最大值为3 7．设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质. (1)当时， 函数和是否具有性质? (2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式 的解集. (3)已知函数具有性质，， 且的图象是轴对称图形. 若在上有最大值，且存在，使得，求证：. 8．定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. (1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和； (2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； (3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 9．若函数满足且，则称函数为“M函数”． (1)试判断是否为“M函数”，并说明理由； (2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值； (3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 10．设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为（），称为函数的“相伴向量”. (1)若函数，求函数的“相伴向量”； (2)若函数为向量的“相伴函数”，将函数图象上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有三个不同零点，，，且. ①求实数取值范围； ②若，求实数的取值范围. 11．若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 12．已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． (1)判断函数，是否具有性质；（直接写出结论） (2)已知函数（，），判断是否存在，，使函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由； (3)设函数具有性质，且在区间上的值域为．函数，满足，且在区间上有且只有一个零点．求证：． 13．对于分别定义在上的函数以及实数若存在使得则称函数与具有关系 (1)若判断与是否具有关系并说明理由； (2)若与具有关系求实数的取值范围； (3)已知为定义在上的奇函数，且满足： ①在上，当且仅当时，取得最大值1； ②对任意有 判断是否存在实数使得与具有关系若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．若定义在A上的函数和定义在B上的函数，对任意的，存在，使得（t为常数），则称与具有关系．已知函数，． (1)若函数，，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若函数，，且与具有关系，求a的最大值； (3)若函数，，且与具有关系，求m的取值范围． 15．已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”． (1)判断定义域为的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由； (2)判断函数是否为“自均值函数”，并说明理由； (3)若函数为”自均值函数”，求的取值范围． 16．若函数满足：对任意，则称为“函数”． (1)判断是不是函数（直接写出结论）； (2)已在函数是函数，且当时，．求在的解析式； (3)在（2）的条件下，时，关于的方程（为常数）有解，求该方程所有解的和． 17．若函数满足，且，，则称为“型函数”. (1)判断函数是否为“型函数”，并说明理由； (2)已知为定义域为的奇函数，当时，，函数为“型函数”，当时，，若函数在上的零点个数为9，求的取值范围. 题组四：三角函数图象与性质全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2013高一·全国·竞赛）对于函数下列说法正确的是（    ）． A．的值域是 B．当且仅当时，取得最小值 C．的最小正周期是 D．当且仅当时， 2．（2015高一·全国·竞赛）已知函数是上的奇函数，且在区间上单调递增，若， ，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（2013高一·全国·竞赛）为使在区间上至少出现100次最大值，则的最小值为（    ）． A．198 B．199 C．200 D．201 4．（2017高二·全国·竞赛）若条件p：，条件q：，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2007高一·全国·竞赛）已知，则对任意，必有（　　）. A． B． C． D．的值不确定 6．（2007高一·全国·竞赛）函数的单调增区间为（　　）. A． B． C． D．不存在 7．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知，，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 9．（2010高一·浙江温州·竞赛）已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则的单调递减区间是 A．， B．， C．， D．， 10．（23-24高三下·福建厦门·强基计划）在上的零点个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（20-21高三·北京·强基计划）已知函数在区间上恰有一个极大值点与一个极小值点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2022高一·浙江温州·竞赛多选题）已知定义在R上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的值域为 D．在区间内无零点 13．（16-17高三·北京·强基计划多选题）设函数是上的奇函数．若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（    ） A．的值不唯一 B．的值唯一 C．的值不唯一 D．的值唯一 14．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值为 . 15．（2024高二下·浙江·竞赛）函数的最大值与最小值之积为 ． 16．（2015高一·全国·竞赛）设函数，则的值为 ． 18．（2010高一·全国·竞赛）已知函数是函数的一个零点，则的值为 . 19．（2023高一下·海南·竞赛），且则 . 20．（2016高一·全国·竞赛）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，，其中.若，则函数的对称中心为 . 21．（2007高一·全国·竞赛）若函数，且，则的范围是 . 22．（2021高一·黑龙江鸡西·竞赛）当时，不等式恒成立，其中常数，则实数的取值范围 .(答案用表示) 23．（2015高三·全国·竞赛）设，若存在（），使得，则取值范围 . 24．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）若不等式，对恒成立，则和分别等于 ． 25．（2021高一下·浙江杭州·竞赛）已知函数，则的值为 ． 26．（2019高三·江苏·竞赛）已知函数的最小值为－6，则实数a的值为 . 27．（2020高三·全国·竞赛）用表示函数在区间上的最大值，若正数满足，则的取值范围为 . 28．（20-21高三·北京·强基计划）方程有 个解． 29．（2010高一·全国·竞赛）已知定义在上的函数的图象关于直线对称，当时，. (1)求的值； (2)求的函数表达式； (3)如果关于的方程有解，记为方程所有解的和，求. 30．（2015高一·全国·竞赛）已知奇函数的定义域为，且为上的增函数，． (1)求不等式的解集； (2)设函数，为锐角，求满足条件的的取值范围． 31．（2007高一·全国·竞赛）已知奇函数在上有意义，且在上是增函数，，又有函数，若集合，集合. (1)求的解集； (2)求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$