专题02 三角恒等变换（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高一数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高一三角恒等变换易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校三角恒等变换易错题精选 题组二：名校三角恒等变换培优压轴试题精选 题组三：三角恒等变换全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校三角恒等变换易错题精选 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．锐角满足，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增 D．在区间内单调递减 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知是锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 7．定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 8．已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．方程在上的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（多选题）设函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，在上单调递减 B．若且，则 C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 11．（多选题）已知函数，，恒成立，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．可以取 D．当时，的取值范围是 12．（多选题）已知，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 13．（多选题）已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 14．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 15．已知，且，则 ． 16．若，则 17．若，则 . 18．已知函数的最小正周期为，则在区间上所有零点之和为 ． 19．若函数在上有两个零点，则m的取值范围是 ． 20．1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则 .    题组二：名校三角恒等变换培优压轴试题精选 1．已知函数，若有两个零点.，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．曲线与在内有3个交点，则可能的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知 在(0,π)上存在唯一实数x0使 又任意的， 均有 成立，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象为中心对称图形 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为 9．（多选题）若函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 10．（多选题）已知函数，则 （   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象为中心对称图形 C．函数在上单调递增 D．关于的方程在上至多有3个解 11．（多选题）已知一组函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递增，在 上单调递减 D．在上单调递减，在 上单调递增 12．（多选题）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（    ） A．是函数的一条对称轴 B．函数是周期为的函数 C． D．若，则 13．（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．存在，使得是奇函数 D．在上单调递减 14．已知函数，若存在实数，使得对任意的，始终是某个确定的非零常数，则 ． 15．已知函数，且，则 ． 16．已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 17．设，则的最小值为 . 18．已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 ． 19．已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 20．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 21．已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 题组三：三角恒等变换全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2018高一·全国·竞赛）已知函数的图象关于直线对称，，且，则的值为（    ） A．240 B．260 C． D．320 3．（2009高一·全国·竞赛）设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，，则（   ）． A． B． C． D． 4．（2017高一·全国·竞赛）设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2007高一·全国·竞赛）若为锐角，且，则的值为（　　）. A． B． C． D． 6．（2009高二·全国·竞赛）已知函数的最大值为，最小值为，则与满足（    ）． A． B． C． D． 7．（2014高一·全国·竞赛）若，，且满足关系式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知，满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（15-16高三·北京·强基计划）设，则（    ） A． B． C． D． 10．（16-17高三·北京·强基计划）令，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 11．（16-17高三·北京·强基计划）等于（    ） A．0 B． C．1 D． 12．（17-18高三·北京·强基计划）满足的正整数n的个数为（    ） A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对 13．（16-17高三·北京·强基计划）已知，函数的最小值为，则（    ） A．的最小值为1，此时 B．的最大值为2，此时 C．的最小值为1，此时 D．的最大值为2，此时 14．（17-18高三·北京·强基计划）（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高三下·全国·强基计划多选题）已知，则可以是（    ） A． B． C． D． 16．（15-16高三·北京·强基计划多选题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（17-18高三·北京·强基计划多选题）已知函数，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 18．（18-19高三·北京·强基计划多选题）下列等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 20．（2024高二下·北京·竞赛）已知函数，且为奇函数. 若方程在上有四个不同的实数解 ，则 的平方值为 . 21．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ． 22．（2018高一·全国·竞赛）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 23．（2011高二·全国·竞赛）设为常数，对任意，不等式恒成立的充要条件是 ． 24．（2017高一·全国·竞赛）如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，那么 . 25．（2007高一·全国·竞赛）已知，则的值为 . 26．（2008高二·全国·竞赛）函数在内的最大值与最小值之和为 ． 27．（2008高二·全国·竞赛）为任意角，的最大值为 ． 28．（2018高一·全国·竞赛）若，则的取值范围是 ． 29．（2018高一·全国·竞赛）已知，则 . 30．（2017高一·全国·竞赛）已知为第一象限角，且，，则 ． 31．（2013高一·全国·竞赛）已知，且，则 ． 32．（2021高一下·广东佛山·竞赛） . 33．（2023高一上·山东滨州·竞赛）若，且，则 . 34．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是 . 35．（2023高二·安徽·竞赛） ． 36．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若，，则的值为 . 37．（2021高三·全国·竞赛）已知，且.则的最大值为 . 38．（2020高三·浙江·竞赛）已知，则的最大值为 . 39．（2012高三·河南·竞赛）若锐角满足，则角的度数为 ． 40．（2011高三·广东·竞赛） . 41．（2007高二·河南·竞赛）已知,则 . 42．（2024高三下·全国·竞赛）（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 43．（2012高一·全国·竞赛）已知（其中a，b为常数，且）在上的最大值和最小值分别为和，求的值. 44．（2007高二·全国·竞赛）已知，求的值. 45．（2007高一·全国·竞赛）设不等式，对于恒成立，求实数的取值范围. 46．（2007高一·全国·竞赛）求函数的最大值和最小值. 47．（2009高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，值域为，求． 48．（2024高三上·北京·竞赛）A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 49．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）求的值. 50．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知函数，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)若方程在上有四个不同的实数解，求的值. 51．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知. (1)若，求； (2)若，，都为锐角，求的最大值. 52．（23-24高三下·北京·强基计划）求 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高一三角恒等变换易错培优竞赛试题 【题组目录】 题组一：名校三角恒等变换易错题精选 题组二：名校三角恒等变换培优压轴试题精选 题组三：三角恒等变换全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 题组一：名校三角恒等变换易错题精选 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 2．锐角满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平方关系和商数关系求出，然后根据已知结合两角和的余弦公式求出，再根据已知条件即可得解. 【详解】由，可得，，而，故. 此即，故，所以，故. 故选：B. 3．已知，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可求解. 【详解】因为，所以. 又，所以， 所以 故选：C. 4．已知函数，则（    ） A．在区间内单调递增 B．在区间内单调递减 C．在区间内单调递增 D．在区间内单调递减 【答案】C 【分析】整理可得，判断的单调性，结合选项逐项分析判断即可. 【详解】因为， 令，解得，； 令，解得，； 则函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，， 当时，在区间内单调递减，故A错误； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，故B错误，C正确， 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，故D错误． 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角和、差的正弦可求得和的值，即可得到. 【详解】由题意得， 联立两式得， 故． 故选：A. 6．已知是锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系，二倍角公式化简得，再利用商数关系弦化切得，结合两角和的正切公式得，根据角的范围即可求解. 【详解】由题得， ， 即，，即， 即，因为为锐角， 所以有，故． 故选：C. 7．定义域在上的奇函数.若存在，使得成立，则实数k的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，由指数函数的性质可得在上为减函数，利用函数奇偶性转化不等式，结合函数单调性可解决问题. 【详解】∵是定义域在R上的奇函数， ∴，解得，检验得时，是奇函数， ∴， 由指数函数的性质可得在R上为减函数. 由得， ∴，即存在，使得， 记，，则， ， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即实数k的取值范围为. 故选：D. 8．已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，结合基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以 所以， 所以，所以， 当时，，等式变为，显然不成立， 所以，所以， 所以 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换得到，最值问题常常借助基本不等式求解. 9．方程在上的解的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】令，利用两角和的正弦公式和辅助角工具进行化简，再结合三角函数的图象和周期性，确定在上的零点的个数，即方程在上的解的个数. 【详解】令， 则 ，其中， 则，即， 因此，符合题意， 因为，， 由三角函数的图象和周期性可知，在上的零点的个数为2， 即方程在上的解的个数为2， 故选：B． 10．（多选题）设函数，，则下列结论正确的是（   ） A．，在上单调递减 B．若且，则 C．若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为 D．存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】由，选项A：利用正弦函数的单调性判断；选项B：利用正弦函数的最值、周期判断；选项C：利用正弦函数的图象判断；选项D：利用三角函数的图象变换判断. 【详解】， 对于A，，当时，， 由复合函数、正弦函数单调性可知在上单调递减，故A正确； 对于B，若且，则，故B不正确； 对于C，若，则， 若在上有且仅有2个不同的解，如图所示： 可得，解得，也就是的取值范围为，故C正确； 对于D，，可知当时， 是奇函数，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：此题考查正弦函数的性质，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据三角函数恒等变换公式将函数化简变形为，再利用正弦函数的性质分析即可，考查计算能力，属于较难题. 11．（多选题）已知函数，，恒成立，则（    ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C．可以取 D．当时，的取值范围是 【答案】ABC 【分析】由偶函数的定义可得A正确；由递增函数的定义可得B正确；由函数为递增函数可得，再令，由辅助角公式得到，解出可得C正确；由辅助角公式得到，再画函数图像可得D错误； 【详解】对于A，可知为偶函数，故A正确； 对于B，又对有， ，故， 在上单调递增，故B正确； 对于C，故 ， 令，化为，， 故，解得，故，故C正确； 对于D，时，， 由图可知，，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键能够发现有辅助角公式得到自变量的范围，再结合函数图像求值域. 12．（多选题）已知，则（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AD 【分析】已知变形后可设，，即，由确定出的范围，然后分别计算和，结合三角函数知识得最值． 【详解】，因此可设，， 则， ，， ，，即， 所以， ， 由，知， ，所以， 时，取得最大值，A正确，B错误； ， 由知， 因此，时，，D正确，C错误； 故选：AD． 【点睛】方法点睛：求最值的常用方法：一是由函数的性质求解，二是利用基本不等式求解，三是利用导数求解，在由条件求最值时，当已知等式是平方和形式时，可以利用三角换元法把代数式转化为三角式，利用三角恒等变换变形，利用三角函数性质求最值．本题已知条件可以变形为，因此可用三角换元求解． 13．（多选题）已知函数，，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，. 所以，， 所以，当时，函数的值域为，B对； 对于C选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，C错； 对于D选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，D对. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 14．记.若函数是偶函数，则该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为 . 【答案】 【分析】由偶函数的性质可得出，令，，利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值. 【详解】因为二次函数为偶函数， 则该函数的对称轴为直线，可得， 令，， 则， 因此，该函数图象与轴交点的纵坐标的最大值为. 故答案为：. 15．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】先利用诱导公式和二倍角的正弦公式化简已知，再根据结合两角差的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 所以， 由得， 则， 又， 且， 所以． 故答案为：. 16．若，则 【答案】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简题设求解即可. 【详解】由， 得 ， 则， 即， 则或， 所以或， 当时，，则，不符合题意. 所以. 故答案为：. 17．若，则 . 【答案】/0.5 【分析】利用这个等式来求解与正切函数相关的比值。解题的关键在于将已知条件利用三角恒等变换转化为所求表达式的形式. 【详解】由得： ， 所以 化简得到： ， 所以； 所以. 故答案为：. 18．已知函数的最小正周期为，则在区间上所有零点之和为 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换整理可得，结合周期性可得，根据函数零点结合对称性分析求解即可. 【详解】因为 ， 且，则的最小正周期为，解得， 所以， 令，解得， 令，可得， 可知在内有2个零点， 且这2个零点关于直线对称，即这2个零点和为， 所以所有零点之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据对称性分析可知：在内有2个零点，且这2个零点和为，进而可得结果. 19．若函数在上有两个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦型函数图象性质求出的范围. 【详解】令函数 ，由，得， 当，即时，函数单调递增，函数值从增大到， 当，即时，函数单调递减，函数值从减小到， 由，得，函数有两个零点，即直线与函数在上的图象有两个交点， 则，所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的最值问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质求解即得. 20．1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为，则 .    【答案】/ 【分析】根据题意，利用同角三角函数关系和半角公式得到，由和积化和差得到，得到答案. 【详解】由题可知，则， 则. 由积化和差公式得 ， 得，故原式. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：和差化积公式：， ， ， 积化和差公式：， ， ， . 题组二：名校三角恒等变换培优压轴试题精选 1．已知函数，若有两个零点.，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据结合两角和差的余弦公式化简，进而可求得，再根据二倍角的正弦公式化简可得. 【详解】易知， 令，则，所以或； 可得或， 因此或， 又因为，所以； 所以 . 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据和差角公式得出，是解决本题的关键. 2．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简，结合二倍角公式可求得；根据无零点但有极值点可求得的范围，结合可求得的范围及的值域，由此可得结果. 【详解】，其中，，， ，，， 当时，， 在区间内没有零点，但有极值点，， ， ， 又，， ，， ， 则，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据三角函数零点、极值点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够采用整体对应的方法确定所处的范围，进而将所求函数值化为关于的函数的形式，结合三角函数值域可求得结果. 3．曲线与在内有3个交点，则可能的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用三角函数的恒等变换将问题转化与在内有3个交点，再利用数形结合即可得解. 【详解】令， 则， 则， 易知， ， 所以， 设，则， 令，因为，故， 因为与在内有3个交点， 所以问题转化为与在内有3个交点， 作出与的大致图象， 虽然不好确定的正负情况， 但数形结合可知，当时，不管的值为正还是为负， 与在内都恰有3个交点，故B正确； 其他选项都不正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 4．已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用三角换元，令，且，结合已知、平方关系、和角正弦公式得，进而有，最后利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值. 【详解】，由， 得， 令，且， 所以，有， 即，故， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为1. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据已知等量关系及三角函数的性质，应用三角换元将已知等式化为是关键. 5．已知关于的方程在内有2个不同的解，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】辅助角公式得，取为锐角且，由得，，则，求值即可. 【详解】因为，取为锐角且，， 所以，由题意可得. 因为，不妨设， 由，有，，即， 所以， . 故选：D. 【点睛】思路点睛： 辅助角公式的作用之一是将含有正弦、余弦两种三角函数的表达式合并为只含有一种三角函数的表达式，两个角的正弦值相等，则这两个角终边重合或终边关于轴对称. 6．已知 在(0,π)上存在唯一实数x0使 又任意的， 均有 成立，则实数ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据任意的， 均有 成立求出的最大值，求出，求出，求出的范围，根据在上存在唯一实数使 求出实数的取值范围. 【详解】，其中， 因为任意的， 均有 成立，所以成立， 所以的最大值为，所以，因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为在上存在唯一实数使 ， 所以，所以， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据任意的， 均有 成立求出的最大值，求出. 7．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为对任意的，当时时，恒成立，不妨设，将问题转化为在单调递减，再结合利用正弦函数的性质求出的取值范围． 【详解】， 所以得. 进而， 故， 由于对任意的，当时， 恒成立， ， 不妨设，则问题转化成在单调递减， 所以其中，解得. 故选：B 8．（多选题）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象为中心对称图形 C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】用反证法证明最小正周期为，从而判断A，对周期函数，其图象有对称中心，则在一个周期内必有对称中心，最低点到相邻的最高点（如果有）连线段中点就是对称中心，由此结合反证法判断B，由判断C，利用周期性，只要在一个周期内考虑去绝对值符号后求得最值可得值域，从而判断D． 【详解】选项A，若最小正周期，首先， 时，， ，时，，， 所以，设， ，在上是增函数， 又时，，时，，因此， 所以不可能有，即不可能是的周期， 又， 所以是函数的一个周期，综上最小正周期是，A正确； 选项B， 由此讨论知是函数的最小值， 时，， 在时是递增函数，在上递增，在上递减，又是以为周期的周期函数， 在上递增，在上递减， 所以在上递增，在上递减，其中， 假设的图象有对称中心，则上也有一个对称中心，而在上函数图象的最高点是，最低点是，因此对称中心应为， 而， ，因此点不可能是图象的对称中心， 所以的图象没有对称中心，B错； 选项C，， 所以函数的图象关于直线对称，C正确； 选项D，由选项A知，的周期是，而在上的值域是， 所以函数的值域为，D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：含有绝对值的函数问题有一定的难度，解决方法是根据绝对值的定义或者用换元法去掉绝对值符号，本题中函数为周期函数，因此可有一个周期内进行讨论，从而容易去掉绝对值符号，把函数化简．在与同时出现时，设，用换元法变换函数式进行研究是常用方法． 9．（多选题）若函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A：整理可得，结合二次函数求最值；对于B：举反例说明即可；对于C：取，代入检验即可；对于D：根据题意结合诱导公式可得，进而可得，运算求解即可. 【详解】因为，可知的定义域为， 对于选项A：当时，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最大值为2，故A正确； 对于选项B：当时，则， 令，则，可得， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：当时，，则， 且对任意，则， 所以，故C正确． 对于选项D：因为， 若， 可得， 则，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BC：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可. 10．（多选题）已知函数，则 （   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象为中心对称图形 C．函数在上单调递增 D．关于的方程在上至多有3个解 【答案】AC 【分析】分析函数在上的性质并作出函数图象，再逐项分析判断得解. 【详解】当时，， 函数在上递增，函数值从增大到1；在上递减，函数值从1减小到； 当时，， 函数在上递增，函数值从增大到；在上递减，函数值从减小到， 函数在的图象，如图：      对于A，， 结合函数在的图象，得是的最小正周期，A正确； 对于B，观察函数在的图象，函数在没有对称中心， 又的最小正周期是，则函数的图象不是中心对称图形，B错误； 对于C，由函数在上递增，的最小正周期是，得函数在上递增，C正确； 对于D，观察函数在的图象，得当时，有4个解，D错误. 故选：AC 11．（多选题）已知一组函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒成立 C．在上单调递增，在 上单调递减 D．在上单调递减，在 上单调递增 【答案】ABD 【分析】对于项，利用不同的的取值，利用三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，，可确定与，三角函数关系式的恒等变换即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断；对于项，利用三角函数关系式的恒等变换，二倍角公式，周期性即可判断. 【详解】对于项，，故项正确； 对于项，因为， 故项正确； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故错误； 对于项， 当，因此在上单调递减， 当，因此在上单调递增， 故正确． 故选： 12．（多选题）在平面直角坐标系中，角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，定义函数，则（    ） A．是函数的一条对称轴 B．函数是周期为的函数 C． D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据题意分别求出，，则，代入法判断A；由可判断B；利用换元法令可对C判断；化简，可判断D. 【详解】由题意得在角的终边上，且， 所以，， 则， ，所以不是函数的一条对称轴，A错误； ， 因为为周期为的函数，故B正确； ， 令， 所以， 当时，取到最大值为，所以，故C正确； 因为，则， 则 ，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：根据题意求出，，则. 13．（多选题）已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的值域是 C．存在，使得是奇函数 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】分析可知是的周期，取一个周期，结合三角函数性质和三角恒等变换整理的解析式，进而结合周期性可得的图象，结合图象逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 因为， 可知是的周期， 令，即， 则，解得； 令，即， 则，解得； 结合周期性可取和， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得的图象，如图所示：    结合周期性可得：的图象，如图所示：      对于选项A：由的图象可知，的最小正周期是，故A正确； 对于选项B：由的图象可知，的值域是，故B正确； 对于选项C：由的图象可知，没有对称中心， 所以不存在，使得是奇函数，故C错误； 对于选项D：因为，由周期性可知：等价于， 由图象可知：在上单调递减， 所以在上单调递减，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：根据周期性取，可得的图象和解析式，进而数形结合分析求解. 14．已知函数，若存在实数，使得对任意的，始终是某个确定的非零常数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变形，化归到正弦型函数，再进行代入变形，最后利用恒等于0的思想得到各系数为0，从而来求系数满足的关系即可. 【详解】由题意知． 不妨设，其中，则， 展开化简得：． 因为上式对任意的，始终成立，则． 若，则，，与矛盾， 因此，则，因此， 又，所以， 因此，即，因此． 【点睛】方法点睛：恒等式转化为恒为0的式子，再利用各系数为0来求解系数关系. 15．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合两角和的正弦公式可化简，利用即可得到的值. 【详解】由题意得， ， 因为，所以，即， 因为，所以当时，． 故答案为：. 16．已知函数，（i）若，将函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像关于y轴对称，则 ；（ii）若在上单调，则ω的最大值为 ． 【答案】 【分析】（i）根据辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦型函数图像平移的性质，结合正弦型奇偶性进行求解即可； （ii）根据正弦型函数单调性与周期性的关系，结合正弦型函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】. （i）若，则， 函数沿x轴向右平移单位后得到函数图像的解析式为： ， 由题意可知：函数的图像关于y轴对称， 所以函数是偶函数， 于是有， 因为，所以令，得； （ii）因为函数在上单调， 所以函数的最小正周期， 解得， 当函数在上单调递增时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 当函数在上单调递减时， 因为，所以， 则有， 即， 而，所以令，则有； 综上所述：ω的最大值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意分类讨论. 17．设，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】利用二倍角公式及三角函数的有界性放缩，再结合权方和不等式计算最值即可. 【详解】原式可化为， 因为，即， 所以， 当且仅当时取得等号. 故答案为：9. 18．已知函数，若函数在区间上恰有4052个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，根据二次函数零点可得：原题意等价于在区间上恰有4052个零点，结合正弦函数分析求解. 【详解】由题意， 令，，可得，， 记的两零点为、， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有4052个零点， 可知在和（k为正整数）内不同根的个数均为2k， 所以或； 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法化把函数在内的零点转化为在内的零点问题，进而求解的可能取值. 19．已知 (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点， ①求的取值范围； ②求的值. 【答案】(1) (2)①或② 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角的正弦公式，辅助角公式化简函数的解析式，结合正弦函数单调性进行求解即可； （2）①利用换元法，结合数形结合思想进行求解即可；②根据正弦函数的性质进行求解即可. 【详解】（1） ， 结合正弦函数的图象与性质可得：当， 即时，函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为； （2）①令，当时，，， 所以，    所以要使在区间上恰有两个零点，的取值范围为或； ②设是函数的两个零点（即）， 由正弦函数图象性质可知，即， 所以. 20．对于集合和常数，定义：为集合A相对的的“正弦标准差”． (1)若集合，，求A相对的的“正弦标准差”； (2)若集合，是否存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，代入公式计算，结合正弦差角公式得到答案； （2）利用三角恒等变换化简，从而，平方相加，得到，结合，求出，从而消元，结合得到，得到，求出，. 【详解】（1）， 其中. （2）存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值，理由如下： ， 只需，则， 即，整理得， 因为，， 所以，，， 则， 所以，则， 所以， 即， 整理得，故， 因为，所以，， 则，， 检验，将，代入得 ，满足要求， 故存在，，使得相对任何常数的“正弦标准差”是一个与无关的定值， 此时. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧， （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 21．已知． (1)当时，求的值； (2)若的最小值为，求实数的值； (3)对任意的，不等式恒成立．求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求； （2）首先设，利用三角恒等变换，将函数表示成关于的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解； （3）根据（2）的结果，不等式参变分离为，在恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解的取值范围. 【详解】（1）， 当时，； （2）设，则，， ，其对称轴为， 当，即时，的最小值为，则； 当，即时，的最小值为；则； 综上，或； （3）由，对所有都成立． 设，则， ，恒成立， ，，在恒成立， 当时，递减，则在递增， 时取得最大值 得， 所以存在符合条件的实数，且的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式，从而利用换元法转化为关于的函数问题. 题组三：三角恒等变换全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2024高二上·安徽阜阳·竞赛）已知函数，有下列四个结论：①函数的图象关于原点对称；②为函数的周期；③的值域为；④设函数的奇偶性与函数相同，且函数在上单调递减，则的最小值为2．则正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义结合诱导公式判断①，利用周期的定义结合诱导公式判断②，先求出一个周期的值域即可判断③，先根据函数性质求得，然后利用单调性列不等式求解范围判断④． 【详解】， 为偶函数，又其定义域为R，故其图象关于y轴对称，故①错； ， 为函数的周期，故②正确； 当时，， ， ，此时， 为函数的周期， 的值域为，故③正确； 函数为偶函数， 为偶函数， ，故， 又，， ，即， 由，，得， 函数在上单调递减， ，解得，故④错误． 故选：B. 2．（2018高一·全国·竞赛）已知函数的图象关于直线对称，，且，则的值为（    ） A．240 B．260 C． D．320 【答案】D 【分析】 由三角恒等变换公式化简得，再由奇函数与对称性得. 【详解】 ，， 由，， 又因为图象是关于对称的函数， 所以， 故选：D. 3．（2009高一·全国·竞赛）设是锐角三角形的两个互不相等的内角，若，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，得到，结合正弦函数的性质，以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】 由是锐角三角形的两个互不相等的内角， 可得且， 所以，同理可得， 所以， 又因为， 因为，所以. 故选：A. 4．（2017高一·全国·竞赛）设，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得出的正切值，继而得出其正弦值和余弦值，再根据的取值范围和题意判断出，并得出的余弦值，最后根据恒等变换公式计算即可. 【详解】，因为， ，且， 又，得. 因为，则， 又，所以， ，. 故选：A. 5．（2007高一·全国·竞赛）若为锐角，且，则的值为（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差余弦公式化简可得，再结合同角关系化简可求的值. 【详解】因为 所以， 所以， 所以， 即， 所以， 又为锐角，故，， 得，又， 所以. 故选：C. 6．（2009高二·全国·竞赛）已知函数的最大值为，最小值为，则与满足（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数转化为，再令，利用其奇函数求解. 【详解】解：， 令， 当时，，则， 当时，，则， 所以的定义域为R， 又， 所以为奇函数，又存在最大值和最小值， 所以也存在最大值和最小值，且． 故． 故选：B 7．（2014高一·全国·竞赛）若，，且满足关系式，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知等式变形可得，结合两角和差正切公式，利用基本不等式可求得结果. 【详解】由得：， ，，，， 且， （当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故选：B. 8．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知，满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三倍角公式，结合已知进行求解即可. 【详解】 因此可得：， 所以所以， 所以 因为， 所以，，所以， 故选：B. 【点睛】关键点睛：利用正弦的三倍角是解题的关键. 9．（15-16高三·北京·强基计划）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式化简题设中的三角函数式后可得正确的选项. 【详解】原式 ． 故选：B 10．（16-17高三·北京·强基计划）令，，，则，，的大小顺序为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】利用辅助角公式化简，基本不等式可判断的大小，可得答案. 【详解】根据辅助角公式，，于是． 所以， 由均值不等式得， 综上，． 故选：C 11．（16-17高三·北京·强基计划）等于（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由可求三角函数式的值. 【详解】由于， 于是， ， ， 三式相加即得． 故选：A 12．（17-18高三·北京·强基计划）满足的正整数n的个数为（    ） A．0 B．1 C．无穷多个 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】利用和差化积及可证. 【详解】记不等式左侧为M，则 ， 因此不存在满足题意的正整数n， 故选：A． 13．（16-17高三·北京·强基计划）已知，函数的最小值为，则（    ） A．的最小值为1，此时 B．的最大值为2，此时 C．的最小值为1，此时 D．的最大值为2，此时 【答案】B 【分析】利用赋值法可得，再检验等号可求后可求的最值. 【详解】根据题意，． 令， 即或， 可得． 考虑到， 其关于的一元二次方程的判别式． 将分别与联立， 可得当时，； 当时，， 因此的最小值为，最大值为2． 故选：B. 14．（17-18高三·北京·强基计划）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】我们可利用积化和差及二倍角的余弦公式可求三角函数式的值，也可以利用辅助角公式来求三角函数式的值. 【详解】解法一 记题中代数式为M， 则 ． 解法二 记题中代数式为M，则 ． 故选：A 15．（23-24高三下·全国·强基计划多选题）已知，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用积化和差和辅助角公式得到，即可求解得到或，，可求答案. 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， 或，, ，，或，， 经检验，或符合，其它都不符合. 故选：AB. 16．（15-16高三·北京·强基计划多选题）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用两角差的正切公式结合合适的代数变形可得正确的选项. 【详解】令，，， 因为，，， 所以，，， 以上三式相加，即有． 令，，，因为 ， ， ， 所以， ， ， 以上三式相加，即有． 故选：AB 17．（17-18高三·北京·强基计划多选题）已知函数，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为2 【答案】BC 【分析】利用积化和差及辅助角公式可求，故可求最值. 【详解】根据题意，有 ， 当时，的最大值为， 当时，的最小值为， 故选：BC. 18．（18-19高三·北京·强基计划多选题）下列等式中成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用裂项可判断A的正误，利用三倍角公式可判断BCD的正误. 【详解】先证一个等式：. 因为 . 同理可证：. 对于选项A，设原式为M， 则， 故选项A错误． 对于选项B，记，则， 故选项B正确． 对于选项C，根据三倍角公式， 有， 故选项C正确． 对于选项D，根据三倍角公式， 有， 故选项D正确． 故选：BCD. 19．（2024高二下·四川宜宾·竞赛）已知函数，若，使关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】判断出关于对称，在上单调递增，转化为使成立，令，即求在上的最小值，利用配方法可得答案. 【详解】对于，，定义域关于原点对称， 因为 ， 所以的图象关于对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增，可得在上单调递增， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以， 即使成立， 令，， 即求在上的最小值， 令， 当时，，所以， 可得， 所以，即， 令，， 所以在上的最小值为2， 所以，即的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题，再分离参数后变成求函数的最大值． 20．（2024高二下·北京·竞赛）已知函数，且为奇函数. 若方程在上有四个不同的实数解 ，则 的平方值为 . 【答案】/ 【分析】根据降幂公式、奇函数的性质求解的解析式，再根据正弦函数的性质，结合整体思想进行求解即可. 【详解】 ， 为奇函数的图像关于点对称， 所以，所以， ， ， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则，， ， 当，即时， ， ， ， 所以，的平方值为. 故答案为：. 21．（2024高一下·湖南株洲·竞赛） ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及和差角公式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 22．（2018高一·全国·竞赛）对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】 由题意分离参数讨论或可得出，令，求出的最小值即可得出答案. 【详解】由， ， ， 当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价， 令在上递减，在上递增， ，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 23．（2011高二·全国·竞赛）设为常数，对任意，不等式恒成立的充要条件是 ． 【答案】 【分析】分离c和a、b，利用辅助角公式和三角函数性质即可求解． 【详解】恒成立恒成立 恒成立． 故答案为： 24．（2017高一·全国·竞赛）如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，那么 . 【答案】/0.5 【分析】根据韦达定理将两个不等式的两根关系表示出来，再根据对偶不等式定义列出等式计算出，在求出值即可得出答案. 【详解】设方程的两个根分别为， 则； 设方程的两个根分别为， 则. 因为两个不等式为对偶不等式，所以， ， ，，即. 故答案为：. 25．（2007高一·全国·竞赛）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再利用二倍角公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得，即， 则，于是，， 显然，， 所以. 故答案为： 26．（2008高二·全国·竞赛）函数在内的最大值与最小值之和为 ． 【答案】8 【分析】对函数进行化简和分离常数，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求最值之和即可. 【详解】因为 所以令，其定义域关于原点对称且有，所以为奇函数， 所以在内，的最大值与最小值之和为的最大值与最小值之和为8. 故答案为：8 27．（2008高二·全国·竞赛）为任意角，的最大值为 ． 【答案】 【分析】通分后，令，解析式变形为，结合基本不等式求最大值. 【详解】， 令，，有，则， ， 等号在时成立． 所以的最大值为. 故答案为：. 28．（2018高一·全国·竞赛）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，且，根据求解. 【详解】解：因为， 又因为， 所以 又， 所以的取值范围为， 故答案为： 29．（2018高一·全国·竞赛）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用拼凑角的思想，结合两角和差的正弦公式化简，再利用化弦为切求解即可. 【详解】由得， 展开整理得：， 等式两边同时除以，得. 故答案为： 30．（2017高一·全国·竞赛）已知为第一象限角，且，，则 ． 【答案】/0.125 【分析】由结合基本关系式求出，求转化为求，结合两角差的正切公式可得结果 【详解】由， ， 所以或，由为第一象限角，故， 由， ， 故答案为：. 31．（2013高一·全国·竞赛）已知，且，则 ． 【答案】/0.96 【分析】根据三角函数的平方公式分别求得的值，拆角得，再根据正弦两角和公式得所求. 【详解】，， ， ， ， ． 故答案为：. 32．（2021高一下·广东佛山·竞赛） . 【答案】/0.75 【分析】根据降幂公式、余弦两角和与差公式化简求值即可得答案. 【详解】 故答案为：. 33．（2023高一上·山东滨州·竞赛）若，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据二倍角公式以及差角公式可得，即可结合诱导公式求解. 【详解】由得， ，， ，即， ，则， ， 所以. 故答案为： 34．（2023高一上·山东滨州·竞赛）已知函数，若在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】 ，因为，可得， 显然当时，可得，由的值域为， 利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是. 故答案为： 35．（2023高二·安徽·竞赛） ． 【答案】1 【分析】方法一：先得到，，，代入，三式相乘得到答案； 方法二：先计算出，再利用积化和差得到，和差化积结合半角公式化简得到，从而求出答案. 【详解】方法一：， ，同理得， ， 令，以上三式相乘有： ． 方法二：令． 令， ， ， 令 ， ． 故答案为：1 36．（2022高二·江苏苏州·竞赛）若，，则的值为 . 【答案】 【分析】对两式平方相加整理可得，则，讨论的奇偶，代入处理运算． 【详解】∵， 则， 两式相加得：，则 ∴，即 若为奇数时，则可得 ∴，则 若为偶数时，则可得 ∴，则 故答案为：． 37．（2021高三·全国·竞赛）已知，且.则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】由条件得，从而对问题多项式取平方，根据三角函数的最值情况，判断多项式的最值，并验证等号成立条件. 【详解】由题意知， 即， 因此 . 显然，时，上式等号成立. 故的最大值为. 故答案为： 38．（2020高三·浙江·竞赛）已知，则的最大值为 . 【答案】. 【详解】， 同理， 故， 而， 因为，故. 当且仅当时，各等号成立， 故答案为：. 39．（2012高三·河南·竞赛）若锐角满足，则角的度数为 ． 【答案】 【分析】根据式子结构先化为，平方后切化弦，进行三角恒等变换即可求解. 【详解】原式可化为 因为为锐角， 所以. 故答案为： 40．（2011高三·广东·竞赛） . 【答案】 【分析】先利用两角和差化积公式凑配化简得，代入原式即可得解. 【详解】 ， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的化简求值，利用两角和差化积公式凑配化简是解题的关键，考查学生的运算能力，属于较难题. 41．（2007高二·河南·竞赛）已知,则 . 【答案】或 【分析】将两边同时平方后化简,可得或,分两种情况,将用倍角公式展开化简,再将两种情况代入即可求得结果. 【详解】解:因为,两边同时平方有: , 化简可得, 当时,, 此时, 当时,则可化简为: ,即, 则 . 故答案为:或 42．（2024高三下·全国·竞赛）（1）计算： （2）若、都是实数，且，求的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）由指数运算、半角公式、特殊角的三角函数值等化简计算即可； （2）由，可得，设,则， ，解得，，则，解得或，分别代入计算即可. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 则， 设, 则，，， 将代入，得， 整理得，所以，代入得， 则，解得或， 当时， ， 当时， . 43．（2012高一·全国·竞赛）已知（其中a，b为常数，且）在上的最大值和最小值分别为和，求的值. 【答案】或 【分析】利用二倍角公式将函数化简为，记，根据对称轴与区间的位置关系分类讨论，利用最值建立方程求解即可. 【详解】，记， 则， ①当时，，所以； ②当时，，所以； ③当时，，所以（与矛盾，舍去）. 综上，或. 44．（2007高二·全国·竞赛）已知，求的值. 【答案】 【分析】 根据题意，将两式分别平方相加，即可得到结果. 【详解】两式分别平方可得， ， 相加得， 即. 故答案为： 45．（2007高一·全国·竞赛）设不等式，对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】把原式中三角展开，得到含和的式子，再换元令，把原式变为关于的不等式，分解因式后消去公因式，参变分离即可. 【详解】解：原不等式可化为， 令， ，且， 原不等式可化为， ， ，即， 因为，，所以，， 又在上是减函数， 当时，对于，原不等式恒成立. 46．（2007高一·全国·竞赛）求函数的最大值和最小值. 【答案】， 【分析】利用三角恒等式将三角函数式化简，根据正弦曲线值域即可求出的最值. 【详解】 .（其中） 当时，， 当时，. 47．（2009高一·全国·竞赛）若函数的定义域为，值域为，求． 【答案】或 【分析】三角换元之后由辅助角公式得到的取值范围，由同角三角函数关系得到，再结合二次函数的单调性求出 【详解】令，，则，， 则， ， 当时，由已知有 当时，由已知有 当时，不合题意． 综上所得：或. 48．（2024高三上·北京·竞赛）A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 【答案】三个 【分析】选定x为主元，对三式配方即可得出答案. 【详解】不妨设三个式子依次为①②③， 选定x为主元，对①式配方可得 ， 因为 所以原式 从而①恒成立对于②类似地有 即②恒成立对于③我们有 因此当时其最小值为 即③恒成立，因此三个式子均恒成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于选定x为主元，由两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系将三式配方成两个完全平方和的形式即可证明三式恒成立. 49．（2022高一下·江苏徐州·竞赛）求的值. 【答案】 【分析】由正弦的二倍角公式及诱导公式化简即可得到结果. 【详解】 50．（2022高一·浙江温州·竞赛）已知函数，且为奇函数. (1)求的解析式； (2)若方程在上有四个不同的实数解，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据降幂公式、奇函数的性质进行求解即可； （2）根据正弦函数的性质，结合整体思想进行求解即可. 【详解】（1） 为奇函数的图像关于点对称 ， ； （2）， 方程，即方程在上有四个不同的实数解， 则或，即或， 当，即时， 则， ， 当，即， ， ， 所以. 51．（2021高一·浙江温州·竞赛）已知. (1)若，求； (2)若，，都为锐角，求的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）用和差化积公式变形后可得； （2）由（1）得，利用和差化积公式、积化和差公式变形为的式子，然后利用余弦函数性质、不等式的性质放缩为的式子，从而得结论． 【详解】（1） 因为，所以 （2）因为，则， 又因为，，均为锐角，所以， 则 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因此最大值. 52．（23-24高三下·北京·强基计划）求 . 【答案】 【分析】由，化简得到，，化简得到，从而将原式化简为，利用，求出，即可求解. 【详解】因为， 从而得到：， 则 由于， ， 所以， 因为 因为 所以， 即， 解得：或(舍去) 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$