专题02简单事件的概率（考题猜想，易错必刷36题10种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（浙教版）

专题2简单事件的概率（考题猜想易错必刷36题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 事件的分类 · 事件可能性的的大小 · 用概率公式计算概率 · 已知概率求数量 · 几何概率 · 列表法或树状图求概率 · 频率与概率的关系 · 求频率 · 用频率估算概率 · 游戏的公平性 一．事件的分类（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）下列事件是必然事件的是（   ） A．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．三角形内角和是 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 2．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．车辆随机到达路口，遇到绿灯 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 二、事件的可能性大小（共3小题） 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）个红球、个白球、个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件（    ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 三、用概率公式计算概率（共4小题） 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）甲城市有两个景点A，B，乙城市有三个景点C，D，E，从中随机选取一个景点游览，该景点恰好在甲城市的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·全国·期末）从、、、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（  ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·福建三明·期中）不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在一个不透明的袋子中共有5个除颜色外均相同的小球，小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是，袋中红球的个数是（   ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 四、已知概率求数量（共4小题） 11．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 12．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为 ． 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）袋中装有个黑球和一些白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球． (1)“摸到红球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 五、几何概率（共4小题） 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 16．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 六、列表法或树状图求概率 19．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）现有三张正面分别写有，，的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有的卡片的概率； (2)从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明． 20．（24-25九年级上·全国·期末）“一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． (1)求小亮选择“微信支付”捐款的概率． (2)请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 21．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．                A．铁钉生锈                B．滴水成冰                        C．矿石粉碎                        D．牛奶变质 (1)小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____； (2)小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 22．（24-25九年级上·全国·阶段练习）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次调查的学生共 名． (2)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“进取”所对应的圆心角是 ． (3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注平等、感恩两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E） 七、频率与概率的关系（共3小题） 23．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 24．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（    ） A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上 C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上 25．（22-23九年级上·广西防城港·期末）在学习“概率”内容时，九5班的腾飞学习小组做了投掷质地均匀的正方体骰子的试验，他们共做了120次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 20 16 18 22 30 14 (1)计算“1点朝上”的频率是______； (2)在小组交流讨论时，小明说：“根据试验结果，估计投掷正方体骰子得到5点朝上的概率是”，小明的说法正确吗？为什么？ (3)甲和乙两位同学各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率． 八、求频率（共3小题） 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 27．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 28．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 九、用频率估算概率（共4小题） 29．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 30．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：钉尖向上的频率 ） 下面有三个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是． 其中正确的是 ．（填序号） 31．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到） 32．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是 精确到 十、游戏的公平性（共4小题） 33．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 34．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 35．（24-25九年级上·福建三明·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对． (1)请写出所有可能出现的结果； (2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． $$专题2简单事件的概率（考题猜想易错必刷36题10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 事件的分类 · 事件可能性的的大小 · 用概率公式计算概率 · 已知概率求数量 · 几何概率 · 列表法或树状图求概率 · 频率与概率的关系 · 求频率 · 用频率估算概率 · 游戏的公平性 一．事件的分类（共3小题） 1．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）下列事件是必然事件的是（   ） A．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上 B．端午节赛龙舟，红队获得冠军 C．三角形内角和是 D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况 【答案】C 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A．掷一枚均匀骰子，点数是6的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； B．端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C．三角形内角和是是必然事件，故此选项符合题意； D．打开电视，正在播放神舟十四号载人飞船发射实况是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24九年级上·云南玉溪·期末）下列事件是必然事件的是（　　） A．四边形内角和是 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．掷一枚硬币时，正面朝上 D．车辆随机到达路口，遇到绿灯 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意， 故选：A． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．两个负数相乘，积是正数是不可能事件 B．“煮熟的鸭子飞了”是随机事件 C．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件 D．“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了不可能事件、随机事件和必然事件，根据事件发生的可能性大小判断即可求解，掌握不可能事件、随机事件和必然事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、两个负数相乘，积是正数是必然事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； 、“掷一次骰子，向上一面的点数是”是随机事件，说法正确，符合题意； 故选：． 二、事件的可能性大小（共3小题） 4．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）下列成语反应的事件中，发生的可能性最小的是（   ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．瓜熟蒂落 D．瓮中捉鳖 【答案】B 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待，一般的必然事件的可能性大小为，不可能发生的可能性大小为，随机事件发生的可能性大小在至之间． 旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件；大海捞针是随机事件，可能性极小． 【详解】解：旭日东升、瓜熟蒂落、瓮中捉鳖是必然事件， 大海捞针是随机事件，可能性极小， 故选：B ． 5．（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意；     B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意；     D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）个红球、个白球、个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件（    ） A．不太可能发生 B．不可能发生 C．很可能发生 D．必然发生 【答案】D 【分析】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间． 根据相应事件类型判断可能性即可． 【详解】解：共个球，摸个球，只剩一个球，故红球、白球、黑球都摸到为必然事件， 即这个事件必然发生． 故选：D． 三、用概率公式计算概率（共4小题） 7．（24-25九年级上·北京·阶段练习）甲城市有两个景点A，B，乙城市有三个景点C，D，E，从中随机选取一个景点游览，该景点恰好在甲城市的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，熟知概率的相关知识是解题的关键．根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：随机选取1个景点，有5种等可能结果：、、、、，其中恰好在甲城市的为、占2种， ∴恰好在甲城市的概率，即随机选取1个景点，恰好在甲城市的概率为． 故选：A． 8．（24-25九年级上·全国·期末）从、、、这四个数中任取一个数，为负数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负数的概念，概率的知识．掌握概率的知识是关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用负数的个数除以数据总数即可求得答案． 【详解】解：、、、这四个数字中负数有和共2个， 从、、、这四个数字中任取一个数，取出的数为负数的概率是， 故选：B． 9．（24-25九年级上·福建三明·期中）不透明的袋子中装有1个红球和3个黄球，这两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是概率公式，熟知随机事件的概率事件可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键． 根据概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：∵不透明的袋子里装有1个红球，3个黄球， ∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为； 故选：D． 10．（24-25九年级上·河南郑州·期中）在一个不透明的袋子中共有5个除颜色外均相同的小球，小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是，袋中红球的个数是（   ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查概率公式．设袋中红球的个数是x个，根据题意可列方程为，求出x的值即可． 【详解】解：设袋中红球的个数是x个， ∵小明连续摸两个球，两个球都是红色的概率是， ∴， 解得或（舍去）， ∴袋中红球的个数是3个． 故选：B． 四、已知概率求数量（共4小题） 11．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）为了估计暗箱里黑球的数量（箱内只有黑球），将6个白球放进去，这些球与黑球除颜色外其他都相同，搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后放回；搅匀后再从中随机摸出一个球，记下颜色后放回……多次重复后发现摸出黑球的频率稳定在附近，那么可以估计暗箱里黑球的个数为 个． 【答案】9 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、频率等知识，结合频率的概念建立关于的分式方程是解题关键．设暗箱里黑球的个数为个，根据“频率稳定在附近”可得，求解并检验，即可获得答案． 【详解】解：设暗箱里黑球的个数为个， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以暗箱里黑球的个数为9个． 故答案为：9． 12．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明布袋里只装有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了概率的计算，分式方程的运用，掌握随机事件概率的计算公式是解题的关键． 确定红球的数量，总的数量，根据任意摸出一个球是红球的概率为，列式求解即可． 【详解】解：有n个红球和3个白球（除颜色外其余都相同），任意摸出一个球是红球的概率为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴n的值为， 故答案为：6 ． 13．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）袋中装有个黑球和一些白球，经过若干次试验，发现“若从中任摸一个球，恰好是白球的概率为”，则这个袋中白球大约有 个． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式的应用，设白球大约有个，根据概率公式列出方程即可求解，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设白球大约有个， 由题意得，， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·全国·课后作业）一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球． (1)“摸到红球”是________事件，“摸到黑球”是________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） (2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】(1)随机；不可能 (2)需要往盒子里再放入4个白球 【分析】（1）根据不可能事件，随机事件的含义可得答案． （2）设再放入x个白球，然后代入概率公式列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：一个不透明的袋子中装有9个红球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球． “摸到红球”是随机事件，“摸到黑球”是不可能事件； （2）解：设需要往盒子里再放入x个白球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 故需要往盒子里再放入4个白球． 【点睛】本题考查了不可能事件，随机事件，概率的计算，分式方程的应用，熟记概率的计算方法是解题关键． 五、几何概率（共4小题） 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分都是正方形的花圃，则自由飞翔的小鸟，随机落在花圃上的概率为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何概率，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定．先证明是等腰直角三角形，得到，则，再证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，进而求出，由此求出阴影部分面积，再根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设正方形的的边长为a， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可证是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． ∴小鸟在花圃上的概率为． 故选：C． 16．（2024·福建莆田·模拟预测）用一张正方形纸板，制成一副七巧板，如图1．在矩形区域内将它拼成一幅“火箭”图案，如图2．若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设①的面积为， 则一副七巧板的面积为，正方形纸板的边长为， 则矩形区域面积为， ∴若在矩形区域内随机取点，则这个点落在“火箭”图案部分的概率为． 故选：A． 17．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 18．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积三角形的面积，求出三角形的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， 由旋转变换的性质可知，， ， ， ，， 现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为． 故答案为：． 六、列表法或树状图求概率 19．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）现有三张正面分别写有，，的不透明卡片，卡片除正面数字外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀． (1)从中随机抽取一张卡片，求抽取写有的卡片的概率； (2)从中先抽取一张卡片，记下数字后放回，搅拌均匀后再抽取一张，求抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率，用列表法或画树状图的方法加以说明． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用概率公式求解即可； （）画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案； 此题考查了用列表法或树状图法求概率，正确理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】（1）解：三张正面分别写有，，的不透明卡片， ∴抽取写有5的卡片其概率为（抽取写有的卡片）； （2）解：画树状图如图， ∴共有种情况，其中两张卡片上的数字之和为偶数的情况有种， ∴（两张卡片上的数字之和为偶数）． 20．（24-25九年级上·全国·期末）“一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． (1)求小亮选择“微信支付”捐款的概率． (2)请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点，通过列表法或树状图法确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式即可解答； （2）画出树状图，确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【详解】（1）解∶P(小亮选择“微信支付”捐款) （2）解：记“微信支付”为A， “支付宝”为B， “支付”为C， “银联支付”为 D．根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的结果有2 种， ∴P(小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”) 21．（24-25九年级上·陕西西安·期中）小陆同学和小港同学是某校的初三学生，这个学期开学校开设了一门新的课程叫化学，化学是一门探究物质奥秘的学科．小陆和小港同学对化学课充满了兴趣．一次实验课上，小陆和小港所在的小组为了探究物理变化和化学变化的区别，制作了，，，四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．                A．铁钉生锈                B．滴水成冰                        C．矿石粉碎                        D．牛奶变质 (1)小陆同学从四张卡片中随机抽取一张，抽中卡片的概率是_____； (2)小港同学从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式， （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种，利用概率公式可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽中C卡片的结果有1种， ∴抽中C卡片的概率是． 故答案为：； （2）解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小港抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：，，共2种， ∴小港抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 22．（24-25九年级上·全国·阶段练习）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次调查的学生共 名． (2)请将条形统计图补充完整，扇形统计图中“进取”所对应的圆心角是 ． (3)如果要在这5个主题中任选两个进行调查，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注平等、感恩两个主题的概率．（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E） 【答案】(1)280 (2)补图见解析， (3) 【分析】本题考查了补全条形统计图，圆心角的度数，运用列表或树状图求概率，解决此题的关键是读懂题意，根据图表得到需要的信息． （1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可； （2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可； （3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“B”与“C”的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：（名）， 答：这次调查的学生共有280名， 故答案为：280； （2）解：（名），（名）， 补全条形统计图，如图所示， 根据题意得：，， 答：“进取”所对应的圆心角是， 故答案为：； （3）解：用树状图为： 共有20种等可能的结果，恰好选到“B”和“C”有2种， ∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是． 七、频率与概率的关系（共3小题） 23．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 24．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，下列理解正确的是（    ） A．可能有50次反面朝上 B．每两次必有1次反面朝上 C．必有50次反面朝上 D．不可能有100次反面朝上 【答案】A 【分析】概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现，据此逐项判断即可． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，“反面朝上”的概率为0.5，那么抛掷一枚质地均匀的硬币100次，可能有50次反面朝上， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． 25．（22-23九年级上·广西防城港·期末）在学习“概率”内容时，九5班的腾飞学习小组做了投掷质地均匀的正方体骰子的试验，他们共做了120次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 20 16 18 22 30 14 (1)计算“1点朝上”的频率是______； (2)在小组交流讨论时，小明说：“根据试验结果，估计投掷正方体骰子得到5点朝上的概率是”，小明的说法正确吗？为什么？ (3)甲和乙两位同学各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为4的倍数的概率． 【答案】(1) (2)小明的说法不正确．因为通过大量的重复试验，可用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，但120次试验次数不够多，所以不能由此频率估计概率． (3) 【分析】（1）根据频率的概念求解即可； （2）试验次数越多各数字出现的频数就越接近相等，据此求解即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）“1点朝上”的频率是， 故答案为：； （2）小明的说法不正确．因为通过大量的重复试验，可用一个随机事件发生的频率去估计它的概率，但120次试验次数不够多，所以不能由此频率估计概率． （3）列表得： 点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 共有36种等可能的结果，其中两枚骰子朝上的点数和是4的倍数的结果有9种． ∴． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，掌握频率公式：频率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．频率能反映出概率的大小，但是要经过n次试验，而不是有数的几次，几次试验属于随机事件，不能反映事物的概率． 八、求频率（共3小题） 26．（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 27．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 28．（2024·北京昌平·二模）年3月日，是我国的第个植树节，今年植树节的主题是“共同呵护地球家园，筑造美丽未来”．下表是某地区在植树节期间，不同批次种植杨树的成活率的统计结果，请你估计植树节期间，种植杨树的成活率大约为 （结果保留两位小数）． 第一批次 第二批次 第三批次 第四批次 第五批次 种植数量 成活数量 成活频率 【答案】 【分析】本题考查了频率．熟练掌握频率的定义是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，种植杨树的成活率大约为， 故答案为：． 九、用频率估算概率（共4小题） 29．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目=部分数目÷相应频率．部分的具体数目=总体数目×相应频率． 由图可知，成活概率在上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值为． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在，成活的概率估计值约是． 故选：B． 30．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：钉尖向上的频率 ） 下面有三个推断： ①当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以“钉尖向上”的概率是0.667； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率一定是． 其中正确的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据图象和概率的定义推断的各个说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是600时，计算机记录“钉尖向上”的次数是400，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是，故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的概率可能是，但不一定是，故③错误． 故答案为：②． 31．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， ∴ “凸面向上”的概率为， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·广东深圳·期中）在一个盒子中装有红、白两种颜色的球共4个，这些球除颜色外，其他都相同．小明将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复实验，计算摸到白球的频率．并将多次实验结果制成如表： 投球的次数 100 200 300 500 1000 1500 2000 3000 摸到白球的频数 70 144 219 372 748 1127 1502 2247 摸到白球的频率 根据表格，结合所学的频率与概率的相关知识，从盒子中随机摸一次球，估计摸到白球的概率是 精确到 【答案】0.75 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率． 【详解】解：摸到白球的频率约为， 当n很大时，估计摸到白球的概率是 故答案为： 十、游戏的公平性（共4小题） 33．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）家住某一小区一单元的甲、乙二人同时从地车库进入电梯回家，已知两人1至4层任意一层出电梯． (1)用画树状图或列表法表示所有可能结果．并求甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率． (2)小亮和小芳打赌，若甲、乙住在同楼层或相邻楼层，则小亮胜，否则小方胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列举法求概率．熟练掌握列举法求概率是解题的关键． （1）根据题意列表格，然后求概率即可； （2）分别求出小亮胜，小芳胜的概率，进行比较，然后作答即可． 【详解】（1）解：树状图如图所示： 共有种等可能的结果，甲、乙二人在同一层楼出电梯共有4种等可能的结果， ∵， ∴甲、乙二人在同一层楼出电梯的概率为； （2）解：游戏不公平，理由如下： 由（1）可知，甲、乙住在同楼层或相邻楼层有10种等可能的结果， 小亮胜的概率为； 则小芳胜的概率为； ∵， ∴游戏不公平． 34．（24-25九年级上·浙江温州·期中）2024巴黎奥运会，郑钦文获得了网球女单的冠军，创造了历史时刻，也在国内批起一股网球热.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明的爸爸买到一张门票，但小明和妹妹都想去，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸摸出一个球，如果摸出的是红球，妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座． (1)爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因； (2)若爸爸发现将袋子里的2个白球换成红球，然后用小明提出的办法来确定谁去听讲座就是公平的，问袋子中原来有红球和白球各有几个？ 【答案】(1)见解析 (2)原来有红球个，白球有个 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题． （1）根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平； （2）根据题意摸出红球的概率为，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵个红球与个白球 ∴摸出的是红球的概率为 摸出的是白球的概率为， ， ∴这个办法不公平 （2）解：依题意， 解得： 是原方程的解， 则， ∴原来有红球个，白球有个 35．（24-25九年级上·福建三明·期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法说明这个规则对甲乙双方是否公平； (2)在不增减小球数量的前提下，请你制定一个对甲乙双方都公平的规则，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析，不公平 (2)见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，根据树状图计算甲、乙获胜的概率，比较作出判断即可； （2）制定新游戏规则，分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论． 【详解】（1）解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种，乙获胜的结果有4种， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平； （2）解：游戏规则：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1的为甲胜，否则为乙胜．理由如下： ∵由（1）中树状图可知，两个球上的数字之差的绝对值为1的有6种情况， ∴，， ∴， ∴这种游戏规则对甲、乙双方公平． 36．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片（注：这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别）洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，组成一数对． (1)请写出所有可能出现的结果； (2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数字之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)，，，，，，，， (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）利用列表法解决问题即可． （2）求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断． 【详解】（1）解：列表如下： 1 2 3 1 2 3 所有可能出现的结果：，，，，，，，，． （2）解：由（1）可得数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率， ， 这个游戏不公平． $$