精品解析：河南省洛阳市洛宁县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年12月份学情调研 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．签在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 2. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：根据图形可得，该图形的对称轴为轴， ∴点关于对称轴对称的点的坐标为 故选：C． 3. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮一枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，直接由概率公式求解即可 【详解】解：共有4枚邮票，小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率； 故选：A． 4. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 5. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 19或14 B. 14或16 C. 19 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵，不能构成三角形， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：C． 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：A． 8. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 9. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 11. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故答案为：． 12. 某超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为元．因销量持续攀升，商家在月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在月份售价的基础上，，月份按照相同的降价率连续降价．已知月份礼盒的售价为元，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．4月份价格从元开始降价，如果两个月平均降价率为r，根据“5月份的售价为元”作为相等关系得到方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得，（不合理舍去）． 所以4，5月份两个月平均降价率为．即． 故答案为：． 13. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 【答案】51 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据，求出，即可求解． 【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图， 由题可知，， 设， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：51． 14. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识；首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为，， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 15. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的性质以及二次根式的乘法进行计算，最后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， 解得：． 16. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 【答案】（1） （2） 画树状图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法、树状图法及概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”有2种结果， ∴取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率为． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 18. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 【答案】（1）；； （2）每间客房的定价应为元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）住满为间，表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量房间空闲个数，列出代数式； （2）用：每天的房间收费每间房实际定价入住量，每间房实际定价，列出方程． 【小问1详解】 解：增加元，就有一个房间空闲，增加元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为， 入住的房间数量，房间价格是元，总维护费用是． 故答案是：；；； 【小问2详解】 解：依题意得：， 整理，得， 解得，． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 当时，有游客居住的客房数量是：（间）． 所以当时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为（元）． 答：每间客房的定价应为元． 20. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 【答案】（1）的长约为8米； （2）模拟装置从点下降到点的时间为秒． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长是解题关键． （1）过点作交于点，根据余弦值求出的长即可； （2）先由勾股定理，求出的长，再利用正弦值求出的长，进而得到的长，然后除以速度，即可求出下降时间． 【小问1详解】 解：如图，过点作交于点， 由题意可知，， ， 在中，，米， ， 米， 即的长约为8米； 【小问2详解】 解：米，米， 米， 在中，，米， ， 米， 米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间为秒， 即模拟装置从点下降到点的时间为秒． 22. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2）旗杆高度为； （3）雕塑高度为． 【解析】 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； 【小问3详解】 解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年12月份学情调研 九年级 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．签在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《红旗渠》特种邮票，上面分别绘有“愚公移山”“青年洞”“桃园桥”和“人间天河”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格、背面图案完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮一枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“愚公移山”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 19或14 B. 14或16 C. 19 D. 14 6. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 第14届国际数学教育大会（ICME-14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 11. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从、、三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率为_____． 12. 某超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为元．因销量持续攀升，商家在月份提价，后发现销量锐减，于是经过核算决定在月份售价的基础上，，月份按照相同的降价率连续降价．已知月份礼盒的售价为元，则__________． 13. 黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：） 14. 如图，菱形的边长为，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 15. （1）计算： （2）解方程： 16. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 18. 已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证： （1）； （2） 19. 2024“夏爽中原老家河南”全省户外运动旅游产品宣传推广活动在新乡八里沟景区启动，现场发布了徒步、蹦极、露营、戏水等河南省户外运动产品主题旅游线路．某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以任满．客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出每天20元的维护费用，设每间客房的定价提高了元． （1）填表（不需化简）： 入住的房间数量 房间价格 总维护费用 提价前 60 200 提价后 __________ __________ __________ （2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） 20. 中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） （1）求的大小及的值； （2）求的长及的值． 21. 2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间．（参考数据：，，） 22. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法． （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $