精品解析：四川省成都市双流区立格实验学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

高2022级高二下学期三月月考试题 数学试题 说明：本试题满分150分，考试时间120分钟.命题人：傅小波，审题人：汪帆、唐志金 一、单选题（本小题每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 是等差数列，，，的第（ ）项． A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 2. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ） A. 189 B. 252 C. 324 D. 405 3. 在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（    ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 7. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 8. 设等差数列的前n项为，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本小题每题不止一个正确答案，每小题6分，多选错选不得分，漏选部分得分） 9. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为7 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则数列为等比数列 B. 若的前项和，则数列为等差数列 C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列 11. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题（每小题5分） 12. 已知为等比数列，_______. 13. 在等差数列中，若，则=_____. 14. 已知数列和满足：，若的前n项和为，则_______. 四、解答题（本题共有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为. 16. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且． （1）求与； （2）证明：． 17. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列”，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2022级高二下学期三月月考试题 数学试题 说明：本试题满分150分，考试时间120分钟.命题人：傅小波，审题人：汪帆、唐志金 一、单选题（本小题每题只有一个正确选项，每小题5分，共40分） 1. 是等差数列，，，的第（ ）项． A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】C 【解析】 【分析】等差数列，，中，，，由此求出，令，得到是这个数列的第100项． 【详解】解：等差数列，，中，， 令，得 是这个数列的第100项． 故选：C． 2. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ） A. 189 B. 252 C. 324 D. 405 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题意和等差数列的通项公式得出，解方程得出，最后根据等差数列的求和公式得出. 【详解】设等差数列的公差为， 由，， 得，解得：， 所以. 故选：D. 3. 在2与8之间插入3个数，使这5个数成等比数列，则插入的3个数之积为（    ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比中项的性质即可求解. 【详解】设插入的3个数为，则成等比数列， 故是2，8的等比中项，且，故， 又，故， 故选：D 4. 等比数列的前5项的和，前10项的和，则它的前15项的和=（   ） A. 160 B. 210 C. 640 D. 850 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，无解，所以， 所以， 两式相除得， 则， 所以. 故选：B 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 6. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 15 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 7. 已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 4或5 D. 6或7 【答案】C 【解析】 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 8. 设等差数列的前n项为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设 由，得，即可求得的值. 【详解】设 由， 所以 则得 又因为 故选：B 二、多选题（本小题每题不止一个正确答案，每小题6分，多选错选不得分，漏选部分得分） 9. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ） A. 若数列的前项和，则数列为等比数列 B. 若的前项和，则数列为等差数列 C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A，利用与的关系判断即可判断，对选项B，利用特值法即可判断，对选项C，利用特值法即可判断，对选项D，根据等差数列公式即可判断. 【详解】对选项A，当时，， 当时， 取时，，此时也满足， 故的通项公式为 所以数列为等比数列，故A正确； 对选项B，， ，不满足数列为等差数列，故B错误； 对选项C，当时，为等比数列， ， 不满足成等比数列，故C错误； 对选项D，设等差数列的公差为，首项是，， ， ， 因此，则成等差数列，故D正确. 故选：AD. 11. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由，得的范围，由变形得，因此可得，由此分析选项是否正确，即可得答案 【详解】根据题意，等比数列的公比为，由，所以， 若，得，变形得， 又且，则，故，故A对； 由，故B错； ，故C对； 因为又且，所以等比数列递增数列，而，则的最小值为，故D错； 故选：AC 三、填空题（每小题5分） 12. 已知为等比数列，_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 因为所以，即， 所以. 故答案为：. 13. 在等差数列中，若，则=_____. 【答案】15 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故答案为：15. 14. 已知数列和满足：，若的前n项和为，则_______. 【答案】2600 【解析】 【分析】将题中两个等式相减可得数列是以为首项，为公比的等比数列，则可得，从而代入可得，从而用累加法可得数列的通项公式，从而用分组求和法求. 【详解】由两式相减可得， ， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以 所以由可得， 所以， 所以当为奇数时， ， 即，所以； 当为偶数时， ， 即，所以； 所以 ， 故答案为: . 四、解答题（本题共有5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）可得，分组求和，结合等差数列和等比数列求和公式计算即可. 【小问1详解】 当时，, 当时，， 又符合上式，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 16. 等差数列各项均为正数，，前n项和为，等比数列中，，且． （1）求与； （2）证明：． 【答案】（1）; （2）证明： 由（1）得， 则， 则， 则 . 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式以及等比数列的通项列出方程组，解出公差和公比，从而求得数列的通项公式； （2）先求出等差数列求和公式求得，再利用裂项相消法求和，从而证得结果． 【小问1详解】 设公差为，公比为， 则， 解得或（舍去）， 则； 【小问2详解】 略. 17. 设为数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解； （2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解. 【小问1详解】 当时，， 得， 所以， 各式相乘得，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， ， 两式相减，得， 所以. 18. 某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为万元． （1）求；写出{}的递推公式； （2）设， 证明数列{}为等比数列； （3）求出至少需经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）. 【答案】（1），， （2）证明：由于，则，即 ， 且， 故{}为等比数列，且公比为，首项为； （3）至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标 【解析】 【分析】（1）根据题意即可列关系求解， （2）根据，结合等比数列的定义即可求证， （3）根据，即可取对数求解不等式得解. 【小问1详解】 ， ， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，因此， 令，则， 取对数可得， 故， 故至少需经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标. 19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”. （1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列”，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”. 【答案】（1）是，理由如下： 数列的通项公式为， 对任意的，都有， 取，则，所以 是“数列”. （2）①的可能值为. ②证明： 若对任意，存在，使得成立， 所以存在， 设数列公差为，则， 可得， 对任意， 则，取， 可得，所以数列是“数列”. 【解析】 【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解； （2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值； ②设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：数列为等差数列， ①若是“数列”，，且， 则， 对任意的， ，由题意存在，使得， 即，显然， 所以，即， .所以是8的正约数，即， 时，； 时； 时； 时. 综上，的可能值为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $