抛物线 限时训练-2025届高三数学二轮复习

抛物线 一、单项选择题 1．(★)设定点F(0,1)，动圆D过点F且与直线y＝－1相切，则动圆D的圆心的轨迹方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝2y C．y2＝4x D．y2＝2x 2．(★)(2024·洛阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是抛物线形的水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　) A. B．(0，－1) C. D. 3．(★)已知P是抛物线C：x2＝8y上的一动点，点M的坐标为(4,1)，PQ垂直于x轴，垂足为Q，则|PQ|＋|PM|的最小值为(　　) A．3－2 B．2 C. D.－2 4．(★★)(2023·衡水模拟)已知抛物线C：y2＝4x，过点P(2,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 5．(★★)(2023·无锡模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为(　　) A．4 B．－4 C．p2 D．－p2 6．(★★)(2023·厦门模拟)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若|AF|＝2|BF|，则k的值是(　　) A. B. C．2 D. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·青岛模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是(　　) A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2 B．x1x2＝ C．y1y2＝－4 D．∠A1FB1＝ 8．(★★)(2023·石家庄模拟)抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝2交C于A，B两点，且OA⊥OB，已知点M(0,4)，圆M与直线l相切，则(　　) A．p＝1 B．圆M的方程为x2＋(y－4)2＝2 C．过点F作圆M的切线，切点所在的直线方程为y＝ D．抛物线上的点G与圆M上的点的最小距离为2 三、填空题 9．(★★)(2024·开封模拟)过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，直线l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________． 10．(★★)(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝8x及圆M：(x－2)2＋y2＝1，过(2,0)的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|＋4|BQ|的最小值为________． 四、解答题 11．(★★)(2023·郑州模拟)已知点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，|FM|＝5. (1)求m与p的值； (2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积． 12．(★★★)(2023·西安模拟)已知圆C：x2＋y2＝2x，动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，求|AB|及直线l的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抛物线 一、单项选择题 1．(★)设定点F(0,1)，动圆D过点F且与直线y＝－1相切，则动圆D的圆心的轨迹方程为(　　) A．x2＝4y B．x2＝2y C．y2＝4x D．y2＝2x 答案　A 解析　由题意知，动圆圆心到定点F(0,1)与到定直线y＝－1的距离相等， 所以动圆D的圆心的轨迹是以F为焦点的抛物线，则方程为x2＝4y. 2．(★)(2024·洛阳模拟)数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是抛物线形的水泥建筑物，如图．若将该大学的校门轮廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成抛物线y＝ax2(a≠0)的一部分，且点A(2，－2)在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是(　　) A. B．(0，－1) C. D. 答案　A 解析　依题意，A(2，－2)在抛物线y＝ax2(a≠0)上，所以－2＝a×22，即a＝－， 所以y＝－x2，即x2＝－2y， 故2p＝2，＝，且抛物线开口向下， 所以该抛物线的焦点坐标为. 3．(★)已知P是抛物线C：x2＝8y上的一动点，点M的坐标为(4,1)，PQ垂直于x轴，垂足为Q，则|PQ|＋|PM|的最小值为(　　) A．3－2 B．2 C. D.－2 答案　D 解析　由题意得C的焦点为F(0,2)，准线为y＝－2. 所以|PQ|等于P到y＝－2的距离减2. 所以|PQ|＋|PM|＝|PF|＋|PM|－2. 当P 是MF与抛物线的交点时，|PF|＋|PM|最小，最小值为|MF|＝＝. 所以|PQ|＋|PM|的最小值为－2. 4．(★★)(2023·衡水模拟)已知抛物线C：y2＝4x，过点P(2,1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 答案　B 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵P是AB的中点，∴y1＋y2＝2， 由得y－y＝4(x1－x2)， 即2(y1－y2)＝4(x1－x2)， ∴直线l的斜率k＝＝2. 5．(★★)(2023·无锡模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作一条直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值为(　　) A．4 B．－4 C．p2 D．－p2 答案　B 解析　当直线AB的斜率存在时，设斜率为k，则k＝＝＝，又因为A，F，B三点共线，所以直线AF的斜率也为k，且k＝，所以＝，整理可得y＋y1y2＝2px1－p2，又y＝2px1，所以y1y2＝－p2，故＝＝＝－4； 当直线AB的斜率不存在时，x1＝x2＝，则y1＝p，y2＝－p，或y1＝－p，y2＝p，即y1y2＝－p2， 则＝＝－4. 综上，的值为－4. 6．(★★)(2023·厦门模拟)已知直线l：y＝k(x－2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若|AF|＝2|BF|，则k的值是(　　) A. B. C．2 D. 答案　C 解析　方法一　设抛物线的准线为l′，据题意画图，作AA1⊥l′，BB1⊥l′，BD⊥AA1. 设直线l的倾斜角为θ，|AF|＝2|BF|＝2r， 则|AA1|＝2|BB1|＝2|A1D|＝2r， 所以|AB|＝3r，|AD|＝r， 则|BD|＝2r，k＝tan θ＝tan∠BAD＝＝2. 方法二　由抛物线C：y2＝8x，知焦点F(2,0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为直线l过点(2,0)且其斜率k大于零， 所以A，B在x轴两侧． 由|AF|＝2|BF|，知x1>x2>0， 且x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2x2＋2. 由 可得k2x2－(8＋4k2)x＋4k2＝0，由根与系数的关系得代入x1＝2x2＋2， 可得又k>0， 故k＝2. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·青岛模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是(　　) A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2 B．x1x2＝ C．y1y2＝－4 D．∠A1FB1＝ 答案　CD 解析　由题意知，抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，由得y2－4my－4＝0，y1，y2是此方程的两个根． 若直线l⊥x轴，则m＝0，x＝1，则|AB|＝4，故选项A错误； ∵y1y2＝－4，则x1x2＝·＝＝1，故选项B错误，选项C正确； 如图，由抛物线的定义知|AF|＝|A1A|， ∴∠AA1F＝∠AFA1， 又AA1∥x轴， ∴∠AA1F＝∠A1FO， ∴∠AFA1＝∠A1FO ＝∠AFO， 同理可得∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO， ∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝(∠AFO＋∠BFO)＝，故选项D正确． 8．(★★)(2023·石家庄模拟)抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线l：y＝2交C于A，B两点，且OA⊥OB，已知点M(0,4)，圆M与直线l相切，则(　　) A．p＝1 B．圆M的方程为x2＋(y－4)2＝2 C．过点F作圆M的切线，切点所在的直线方程为y＝ D．抛物线上的点G与圆M上的点的最小距离为2 答案　AC 解析　对于A选项，设点A(m,2)，B(－m,2)，m>0，由OA⊥OB，得－m2＋4＝0， 即m2＝4，即m＝2，所以点A(2,2)，B(－2,2)，4＝4p，即p＝1，故A正确； 对于B选项，易知圆M的半径为2，故圆M的方程为 x2＋(y－4)2＝4，故B错误； 对于C选项，由A选项知，点F的坐标为，过点F作圆M的切线，则切点在以FM为直径的圆x2＋(y－4)＝0上，又切点也在圆M上，所以切点在直线y＝上，故C正确； 对于D选项，设抛物线上的点G(x0，y0)与圆M上点的距离为d， d＝－2 ＝－2＝－2 ＝－2≥－2， 当且仅当y0＝3时取等号，故D错误． 三、填空题 9．(★★)(2024·开封模拟)过抛物线C：y2＝8x的焦点F且斜率为的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，直线l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________． 答案　4 解析　设直线l交x轴于点A，则|AF|＝4， 因为直线MF的斜率为，则该直线的倾斜角为， 由抛物线的定义可得|MN|＝|MF|，易知MN∥x轴， 则∠NMF＝， 故△MNF是等边三角形， 则∠AFN＝∠MNF＝， 所以|FN|＝＝8， 因此M到直线NF的距离为8sin ＝4. 10．(★★)(2023·深圳模拟)已知抛物线C：y2＝8x及圆M：(x－2)2＋y2＝1，过(2,0)的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则|AP|＋4|BQ|的最小值为________． 答案　13 解析　如图所示， 圆心M(2,0)即为抛物线C的焦点F， 所以|AP|＋4|BQ| ＝(|AF|－1)＋4(|BF|－1) ＝|AF|＋4|BF|－5， 由抛物线的定义得|AF|＝xA＋＝xA＋2， |BF|＝xB＋＝xB＋2， 所以|AP|＋4|BQ|＝(xA＋2)＋4(xB＋2)－5＝xA＋4xB＋5， 又易知xAxB＝＝4， 所以xA＋4xB＋5≥2＋5＝13， 当且仅当xA＝4xB，即时等号成立． 所以|AP|＋4|BQ|的最小值为13. 四、解答题 11．(★★)(2023·郑州模拟)已知点M(m,4)(m>0)为抛物线x2＝2py(p>0)上一点，F为其焦点，|FM|＝5. (1)求m与p的值； (2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求△FMN的面积． 解　(1)由抛物线的定义可知|FM|＝4＋＝5, 即p＝2，抛物线的方程为x2＝4y. 又M(m,4)(m>0)在抛物线上，所以m＝4，故p＝2，m＝4. (2)由(1)可得M(4,4)，y＝x2， 则y′＝x，所以切线斜率为2， 所以切线方程为y＝2x－4. 令x＝0，得y＝－4，即N(0，－4)， 又F(0,1)，所以|FN|＝5， 所以S△FMN＝|FN|·|xM|＝×5×4＝10. 12．(★★★)(2023·西安模拟)已知圆C：x2＋y2＝2x，动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1. (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)过圆心C作直线l与轨迹E和圆C交于四个点，自上而下依次为A，M，N，B，若|AM|，|MN|，|NB|成等差数列，求|AB|及直线l的方程． 解　(1)圆C的方程x2＋y2＝2x化为标准方程为(x－1)2＋y2＝1，可得半径r＝1，圆心C(1,0)， 因为动点P在y轴的右侧，P到y轴的距离比它到圆心C的距离小1， 所以点P到定点C(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等， 所以由抛物线的定义得，P(x，y)的轨迹E的方程为y2＝4x(x>0)． (2)如图，由圆C的半径为1，可得|MN|＝2， 因为|AM|，|MN|，|NB|成等差数列， 所以|AM|＋|NB|＝2|MN|＝4. 又|AM|＋|NB|＝|AB|－|MN|＝2|MN|， 所以|AB|＝3|MN|＝6， 当直线l的斜率为0时，直线l与抛物线只有1个交点，不符合题意； 所以直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得y2－4my－4＝0， Δ＝16m2＋16>0恒成立，y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 因为|AB|＝6， 所以|y1－y2|＝＝＝6， 解得m2＝，即m＝±， 所以直线l的方程为x＝±y＋1，即y＝±(x－1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$