两条直线的位置关系 限时训练-2025届高三数学二轮复习

两条直线的位置关系 一、单项选择题 1．(★)已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p等于(　　) A．24 B．－20 C．0 D．20 2．(★)与直线l：3x－4y－1＝0平行且与直线l间的距离为2的直线方程是(　　) A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 B．3x－4y－11＝0 C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0 D．3x－4y＋9＝0 3．(★)设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(★★)若直线l：kx－y－＝0与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．0°<θ<60° B．30°<θ<60° C．30°<θ<90° D．60°<θ<90° 5．(★★)设直线l1：x＋3y－7＝0 与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则点P到直线l：x＋ay＋2－a＝0距离的最大值为(　　) A. B．4 C．3 D. 6．(★★)直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M，则直线l的斜率为(　　) A. B. C．－ D．－ 二、多项选择题 7．(★★)(2023·六盘水模拟)已知三条直线l1：kx＋y－＝0，l2：2x＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成一个三角形，则实数k的值可以为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 8．(★★★)(2023·合肥模拟)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　　) A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5 三、填空题 9．(★★)(2023·宜昌模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为_____________． 10．(★★)(2024·沈阳模拟)如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________． 四、解答题 11．(★★)(2023·无锡模拟)已知直线l经过点P(－2,3)． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程． 12．(★★)(2023·黄浦模拟)已知直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，过点M(－2,0)的直线l分别与直线l1，l2交于A，B两点，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N(1,0)． (1)若△NAB的面积为16，求直线l的方程； (2)直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l，PQ的斜率均存在且不为零，设直线l，PQ的斜率分别为k1，k2，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两条直线的位置关系 一、单项选择题 1．(★)已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p等于(　　) A．24 B．－20 C．0 D．20 答案　D 解析　由两直线互相垂直，得－×＝－1， 解得m＝10， 又垂足坐标为(1，p)，代入直线5x＋2y－1＝0， 得p＝－2. 将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0， 得n＝－12， 所以m－n＋p＝20. 2．(★)与直线l：3x－4y－1＝0平行且与直线l间的距离为2的直线方程是(　　) A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0 B．3x－4y－11＝0 C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0 D．3x－4y＋9＝0 答案　A 解析　设直线为3x－4y＋c＝0，则d＝＝2，解得c＝－11或c＝9.故直线方程为3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0. 3．(★)设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为即a＝±1，故“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的充分不必要条件． 4．(★★)若直线l：kx－y－＝0与直线x＋y－3＝0相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角θ的取值范围是(　　) A．0°<θ<60° B．30°<θ<60° C．30°<θ<90° D．60°<θ<90° 答案　C 解析　联立两直线方程 解得 ∴两直线的交点坐标为， ∵两直线的交点在第一象限， ∴ 解得k＞， 则tan θ＞， ∴30°<θ<90°. 5．(★★)设直线l1：x＋3y－7＝0 与直线l2：x－y＋1＝0的交点为P，则点P到直线l：x＋ay＋2－a＝0距离的最大值为(　　) A. B．4 C．3 D. 答案　A 解析　由解得即P， ∵x＋ay＋2－a＝0即x＋2＋a＝0， 由解得 ∴直线l恒过定点Q， 易知，当PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大， 最大值为＝＝. 6．(★★)直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，线段AB的中点为M，则直线l的斜率为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，又直线l过点M，则直线l的方程为y＋1＝k(x－1)， 联立直线l与y＝1，得 解得x＝，所以A； 联立直线l与x－y－7＝0，得 解得x＝，y＝， 所以B， 又线段AB的中点为M， 所以＋＝2，解得k＝－. 二、多项选择题 7．(★★)(2023·六盘水模拟)已知三条直线l1：kx＋y－＝0，l2：2x＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成一个三角形，则实数k的值可以为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．2 答案　BCD 解析　根据题意，直线l1：kx＋y－＝0，l2：2x＋y＋1＝0，l3：x－y＋1＝0不能围成一个三角形， 当直线l1与l2平行或重合时，可得k×1－1×2＝0，解得k＝2； 当直线l1与l3平行或重合时，可得k×(－1)－1×1＝0，解得k＝－1； 当直线l1过l2和l3的交点时， 由方程组解得x＝－，y＝，即两直线的交点为， 代入直线l1，可得－k＋－＝0，解得k＝0， 所以实数k的值为－1,0,2. 8．(★★★)(2023·合肥模拟)唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2,4)，军营所在位置为B(6,2)，河岸所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　　) A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0 D．“将军饮马”走过的总路程为5 答案　BD 解析　由题可知A，B在直线x＋y－3＝0的同侧， 设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B′(a，b)，如图所示， 则 解得即B′(1，－3)． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为AB′， 又A(2,4)，所以直线AB′的方程为7x－y－10＝0，故A错误； 设将军在河边饮马的地点为M，则M即为7x－y－10＝0与x＋y－3＝0的交点， 联立两直线方程解得M，故B正确； 将军从河边回军营的路线所在直线为BM，又B(6,2)， 所以直线BM的方程为x－7y＋8＝0，故C错误； 总路程为|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝＝5， 所以“将军饮马”的总路程为5，故D正确． 三、填空题 9．(★★)(2023·宜昌模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为_____________． 答案　(－4,0) 解析　设C(m，n)，由重心坐标公式得，△ABC的重心为， 代入欧拉线方程得－＋2＝0， 整理得m－n＋4＝0.① ∵AB的中点为(1,2)，kAB＝＝－2， ∴AB的垂直平分线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0. 联立解得 ∴△ABC的外心为(－1,1)． ∴(m＋1)2＋(n－1)2＝32＋12， 整理得m2＋n2＋2m－2n＝8.② 联立①②得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4. 当m＝0，n＝4时，B，C重合，舍去． ∴顶点C的坐标是(－4,0)． 10．(★★)(2024·沈阳模拟)如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为________． 答案　6 解析　以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设B(a，－2)(a≠0)，C(b,3)． 因为AC⊥AB，所以·＝0， 即ab－6＝0，所以b＝， 所以Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥×＝6(当且仅当a2＝4时取等号)． 所以△ABC的面积的最小值为6. 四、解答题 11．(★★)(2023·无锡模拟)已知直线l经过点P(－2,3)． (1)若原点到直线l的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线l被两条相交直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程． 解　(1)①当直线l的斜率不存在时，显然成立，此时直线方程为x＝－2. ②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y－3＝k(x＋2)， 由原点到直线l的距离为2，得＝2，解得k＝－， 故直线l的方程为y－3＝－(x＋2)， 即5x＋12y－26＝0， 综上，所求直线方程为x＝－2或5x＋12y－26＝0. (2)设直线l夹在直线l1，l2之间的线段为AB(A在l1上，B在l2上)， 点A，B的坐标分别设为(x1，y1)，(x2，y2)， 因为线段AB被点P平分，所以x1＋x2＝－4，y1＋y2＝6， 于是x2＝－4－x1，y2＝6－y1. 由于点A在l1上，点B在l2上， 则即 解得 即点A的坐标是，故直线l的方程是＝，即x＋13y－37＝0. 12．(★★)(2023·黄浦模拟)已知直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，过点M(－2,0)的直线l分别与直线l1，l2交于A，B两点，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N(1,0)． (1)若△NAB的面积为16，求直线l的方程； (2)直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l，PQ的斜率均存在且不为零，设直线l，PQ的斜率分别为k1，k2，判断是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． 解　(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，由题意得A(－2，－4)，B(－2,4)，S△NAB＝|MN||AB|＝×3×8＝12≠16，不符合题意，故直线l的斜率存在，可设为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)， 与直线l1：y＝2x，l2：y＝－2x，分别联立， 可得点A，B的纵坐标分别为，， ∵点A在第三象限，点B在第二象限， ∴解得k<－2或k>2. ∵△NAB的面积为16，∴|MN|·(yB－yA)＝16，即×3×＝16，解得k＝±4， ∴直线l的方程为4x＋y＋8＝0或4x－y＋8＝0. (2)由(1)可得A，B， 又N(1,0)，设P(a，－2a)，Q(b,2b)， 由A，N，P三点共线，可得 ＝，解得a＝， 即P， 由B，N，Q三点共线，可得 ＝，解得b＝， 即Q， 则k2＝＝－5k1， ∴＝－，即为定值－. 学科网（北京）股份有限公司 $$