两个计数原理、排列与组合 限时训练-2025届高三数学二轮复习

两个计数原理、排列与组合 一、单项选择题 1．(★)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数(顺读、逆读是同一个数)，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是(　　) A．40 B．30 C．20 D．10 答案　A 解析　由题意，若三位数的回文数是偶数，则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2，中间一位数有10种可能；同理可得，如果末(首)位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以满足题意的三位数的回文数共有4×10＝40(个)． 2．(★)(2023·湛江模拟)小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0,5,0,9,1,9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置的不同密码种数为(　　) A．16 B．24 C．166 D．180 答案　B 解析　将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有A＝24(种)不同的密码． 3．(★)近期A，B，C三所学校发布了冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能报一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报C大学，则不同的报名方法共有(　　) A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 答案　C 解析　甲不报考C大学可分为两类： 第1类：甲单独报名一学校，则不同的报名方法有CCA＝12(种)； 第2类：甲和其中一名同学报名一所学校，则不同的报名方法有CCA＝12(种)，由分类加法计数原理，可得共有12＋12＝24(种)不同的报名方法． 4．(★)(2023·沧州调研)用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 答案　A 解析　由s有2个，t有3个，则将这5个字母看成不同字母时的排列数为A，故其不同排列的个数为＝10. 5．(★★)某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到A，B，C三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有(　　) A．25 B．60 C．90 D．150 答案　D 解析　将5名学生分成3组，有两类方法，3,1,1或2,2,1. 3,1,1的分组有＝10(种)方法，2,2,1的分组有＝15(种)方法， 所以分组方法共有10＋15＝25(种)，再分配到3个劳动实践点，则有25A＝150(种)方法． 6．(★★)(2023·苏州调研)将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色(颜色不必全部选用)，要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则不同的放置与上色方式的种数为(　　) A．11 232 B．10 483 C．10 368 D．5 616 答案　C 解析　记红、黄、蓝三种颜色编号分别为1,2,3. (1)3个1,3个2,0个3，如表： 1 2 1 2 1 2 只用两种颜色，并选取两个位置放A，B，此时有A(C＋C)＝36(种)； (2)1个1,2个2,3个3，如表： ① 1 3 2 3 2 3 选用三种颜色(1＋2＋3，且只用一次的颜色放在拐角)，并选取两个位置放A，B，此时有C·A·(C＋C)＝96(种)； ② 3 1 3 2 3 2 选用三种颜色(1＋2＋3，且只用一次的颜色放在中间)，并选取两个位置放A，B，此时有C·A·(C＋C)＝48(种)； (3)2个1,2个2,2个3，如表： ① 1 3 2 2 1 3 选用三种颜色(2＋2＋2)，并选取两个位置放A，B，此时有C·A＝18(种)． ② 1 2 3 2 3 1 选用三种颜色(2＋2＋2)，并选取两个位置放A，B，此时有C·A＝18(种)． 综上，不同的放置与上色方式有(36＋96＋48＋18＋18)×A×A＝10 368(种)． 二、多项选择题 7．(★★)(2024·镇江模拟)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列选项正确的是(　　) A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法 B．若小红、小兰安排去同一个地方参观，则有6种安排方法 C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法 D．共有18种安排方法 答案　ABC 解析　A选项，安排两位同学去焦山， 则方法数有C×A＝6×2＝12(种)，所以A选项正确； B选项，若小红、小兰安排去同一个地方参观， 则方法数有A＝6(种)，所以B选项正确； C选项，小华不去南山参观， 若小华是1个人，则有C×C×A＝2×3×2＝12(种)安排方法， 若小华和另一人一起，则有C×C×A＝12(种)安排方法， 所以共有24种安排方法，所以C选项正确； D选项，每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观， 则有CA＝6×6＝36(种)安排方法，所以D选项错误． 8．(★★)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的安排方法数为45 B．若每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，则不同的安排方法数为AC C．每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法数为CCA＋CA D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A 答案　AC 解析　对于A，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则共有45种安排方法，故A正确； 对于B，先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，则共有CA种安排方法，故B错误； 对于C，分2种情况讨论：①从丙、丁、戊中选出2人开车，②从丙、丁、戊中选出1人开车，则共有(CA＋CCA)种安排方法，故C正确； 对于D，先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有A种情况，则共有A种安排方法，故D错误． 9．(★★)某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P)八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则(　　) A．某学生从中选3类，共有56种选法 B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有AA种排法 C．课程“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法 D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有A＋CCA种排法 答案　ABD 解析　选项A，某同学从中选3类，共有C＝56(种)选法，A正确； 选项B，若“X”“T”不相邻，剩余6类排列方法为A，形成7个空，则“X”“T”填入7个空的方法为A，所以共有AA种排法，B正确； 选项C，先排列“S”“C”“I”三科，则有2种排列方法，3科形成整体与剩余5科再进行全排列，则有A种排列方法，所以共有2A＝1 440(种)排法，C错误； 选项D，分成两类情况，一是“G”排在第一天，则此类情况下排法有A种， 二是“G”排在除第一天和最后一天之外的某一天，有CCA种方法， 则共有A＋CCA种排法，D正确． 三、填空题 10．(★)(2023·邵阳模拟)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71 828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有________个． 答案　36 解析　如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，将两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2、两个8均为相同元素， 那么小明可以设置的不同密码共有AC＝36(个)． 11．(★★)一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有________种． 答案　2 520 解析　当学生选择相邻的四个偶数有(2,4,6,8)，(4,6,8,10)，(6,8,10,12)，(8,10,12,2)，(10,12,2,4)，(12,2,4,6)，共6种， 以学生选2,4,6,8为例，家长的排法有(1,3,5,7)，(3,5,7,9)，(1,5,7,9)，(1,3,7,9)，(1,3,5,9)，共5种， 同理可得每一种学生的坐法，家长都有5种坐法， 所以有A×6×5＝720(种)坐法； 当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有(2,4,6,10)，(4,6,8,12)，(6,8,10,2)，(8,10,12,4)，(10,12,2,6)，(12,2,4,8)，共6种， 以学生选择2,4,6,10为例，家长的坐法有(1,3,5,9)，(1,3,5,11)，(1,3,7,9)，(1,3,7,11)，(1,5,7,9)，(1,5,7,11)，(3,5,7,9)，(3,5,7,11)，共8种， 同理可得每一种学生的坐法，家长都有8种坐法， 所以有A×6×8＝1 152(种)坐法； 当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有(2,4,8,10)，(4,6,10,12)，(6,8,12,2)，共3种， 以学生选择2,4,8,10为例，家长坐法有(1,3,7,9)，(1,3,7,11)，(1,3,9,11)，(1,5,7,9)，(1,5,7,11)，(1,5,9,11)，(3,5,7,9)，(3,5,7,11)，(3,5,9,11)，共9种， 同理可得每一种学生的坐法，家长都有9种坐法， 所以有A×3×9＝648(种)坐法． 综上所述，满足要求的坐法共有720＋1 152＋648＝2 520(种)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 两个计数原理、排列与组合 一、单项选择题 1．(★)数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数(顺读、逆读是同一个数)，如343,12 521等．两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是(　　) A．40 B．30 C．20 D．10 2．(★)(2023·湛江模拟)小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0,5,0,9,1,9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置的不同密码种数为(　　) A．16 B．24 C．166 D．180 3．(★)近期A，B，C三所学校发布了冬令营招生简章，现有甲、乙、丙、丁四位同学报名，每位同学只能报一所大学，每所大学至少有一名同学报名，且甲同学不报C大学，则不同的报名方法共有(　　) A．16种 B．20种 C．24种 D．28种 4．(★)(2023·沧州调研)用短语“maths test”中所有的重复字母重新排列，能组成不同排列的个数为(　　) A．10 B．20 C．30 D．40 5．(★★)某校在开展“深化五育并举、强大核心素养”活动中，选派了5名学生到A，B，C三个劳动实践点去劳动，每个劳动实践点至少1人，每名学生只能去一个劳动实践点，不同的选派方法种数有(　　) A．25 B．60 C．90 D．150 6．(★★)(2023·苏州调研)将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色(颜色不必全部选用)，要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则不同的放置与上色方式的种数为(　　) A．11 232 B．10 483 C．10 368 D．5 616 二、多项选择题 7．(★★)(2024·镇江模拟)小明、小华、小红、小兰四位同学分别到镇江的南山、焦山、北固山参观旅游，要求每位同学只去一个地方，每个地方至少安排一位同学参观，则下列选项正确的是(　　) A．若安排两位同学去焦山，则有12种安排方法 B．若小红、小兰安排去同一个地方参观，则有6种安排方法 C．若小华不去南山参观，则有24种安排方法 D．共有18种安排方法 8．(★★)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A．若每人都安排一项工作，则不同的安排方法数为45 B．若每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，则不同的安排方法数为AC C．每项工作至少有1人参加(每个人都被安排)，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法数为CCA＋CA D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(CC＋CC)A 9．(★★)某校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系．本学期共开设了八大类校本课程，具体为学科拓展(X)、体艺特长(T)、实践创新(S)、生涯规划(C)、国际视野(I)、公民素养(G)、大学先修(D)、PBL项目课程(P)八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则(　　) A．某学生从中选3类，共有56种选法 B．课程“X”“T”排在不相邻两天，共有AA种排法 C．课程“S”“C”“I”排在相邻三天，且“C”只能排在“S”与“I”的中间，共有720种排法 D．课程“T”不排在第一天，课程“G”不排在最后一天，共有A＋CCA种排法 三、填空题 10．(★)(2023·邵阳模拟)在数学中，有一个被称为自然常数(又叫欧拉数)的常数e≈2.71 828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有________个． 11．(★★)一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有________种． 学科网（北京）股份有限公司 $$