精品解析：陕西省部分学校2024-2025学年高三毕业班阶段性测试（四）数学试题

2024—2025学年高中毕业班阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列满足，则其公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：. A. 100 B. 300 C. 1000 D. 2000 6. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 为等差数列 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 为等比数列 7. 已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 10. 已知对任意两个不相等的正数，总有，该不等式被称为“对数平均不等式”，则（ ） A. 当且时， B. 当且时， C. D. 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 中有且仅有1项小于1 B. 当时， C. 不可能成立 D. 当时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的虚部为__________. 13. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则__________. 14. 已知函数的定义域为，且，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线斜率为. （1）求； （2）求在区间上的最小值.（参考数据：） 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，且为钝角. （1）证明：； （2）若是边上靠近的三等分点，且，求的值. 17. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18. 在数列中，已知，且. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设是与最接近的整数，求. 19. 已知函数的定义域分别为，如果存在，使得，则称与为“相斥函数”，且称为“相斥数”. （1）试判断函数与是否为“相斥函数”，并说明理由. （2）已知函数与为“相斥函数”，且为“相斥数”. （i）若，求的值； （ii）若，常数，求的最大值.（用表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高中毕业班阶段性测试（四） 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义求解即可. 【详解】全集， 又因为， 所以. 故选：C. 2. 已知等比数列满足，则其公比（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题设结合等比数列通项公式即可直接计算得，从而得解. 【详解】设等比数列的公比为q，则由题得， 所以. 故选：B 3. 若，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及同角三角函数的弦化切求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 整理得， 即，所以， 故选：A. 4. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解. 【详解】由题知， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， . 当时，函数在上单调递减， . 的最小值为0， ，解得，即实数的取值范围为. 故选：B. 5. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：. A. 100 B. 300 C. 1000 D. 2000 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果. 【详解】根据题意得，整理得到， 两边取以10为底的对数，得到， 即，又， 所以，得到. 故选：C. 6. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 为等差数列 B. 为等差数列 C. 为等比数列 D. 为等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列， 所以，，又， 所以， 所以， 所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，， 满足条件，， 因为，， 所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 7. 已知函数在区间上存在最值，且在区间上具有单调性，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由函数在区间上存在最值，得在取到最值，求得；再由函数在区间上具有单调性可分单调递增和单调递减两种情况得到不等式组，解不等式，综合考虑即得的取值范围. 【详解】由，可得， 由题意要使在取到最值，则需使，即； 又当时，， 要使在上具有单调性， 需使，或； 由① 可得或，又，故不存在； 由② 可得或，又，故得的取值范围是. 故选：D. 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分，和讨论，再利用二次函数根的分布得到不等式，解出的范围，再计算得，即可得到其最小值. 【详解】当时，，则需， 当时，恒成立， 当时，，则需. 设，则， 解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对的分类讨论，从而得到一元二次方程根的分布情况，得到相关不等式和等式，再换元计算即可. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 与的夹角可能为 D. 向量与不可能垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平面向量的模长公式可判断选项AB;利用向量夹角的计算可判断选项C;利用向量垂直的坐标表示可判断选项D. 【详解】对于A:因为，所以，故A正确. 对于B:因为，所以, 当时, ，故B错误. 对于C:因为，二者不可能反向，所以与的夹角不可能为，故C错误. 对于D:因为 所以, 令,无解，所以向量与不可能垂直，故D正确. 故选：AD. 10. 已知对任意两个不相等的正数，总有，该不等式被称为“对数平均不等式”，则（ ） A. 当且时， B. 当且时， C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分和结合不等式进行变形即可判断；对于B，将公式中的换成，代入即可判断；对于C，令，代入化简即可判断；对于D，令，代入，进行变形化简即可判断. 【详解】对于A，当时，， 由，即， 当时，， 则，即，故A错误； 对于B，由，即，故B正确； 对于C，令，代入中， 可得， 化简得，故C正确； 对于D，令，代入， 可得， 化简可得，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 中有且仅有1项小于1 B. 当时， C. 不可能成立 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系，可确定当时，，两个关系，即可判断选项A,B,C，再根据的单调性可判断选项D. 【详解】设， ， 由，得；由，得， 所以函数在单调递减，单调递增， ， 所以函数在单调递减， 因为在单调递减， 所以，即， 因为函数在单调递减，单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 以此类推可得，当时，， 由可得，， ， 因为，且在单调递减， 所以，所以， 同理可得，， 以此类推可得，当时，，B错误； 由上述过程可知，当时，，且， 所以中有且仅有1项小于1，A正确； 因为，所以不可能组成等差数列， 所以不可能成立，C正确； 因为在单调递减， 当时，， 所以， 即，即，D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题为数列与函数的综合考查题目，需要构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系，与数列有机结合起来,进而可求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则的虚部为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简计算求得，即得其虚部. 【详解】由，可得，故的虚部为. 故答案为： 13. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再利用导数的几何意义和切点列出方程组即可求解. 【详解】，. ∵函数的图象在点处的切线方程为， ，解得. ，. ∵点在切线上，，解得. . 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过令，得到，，两式相加可以得到 即可判断周期，进而求解. 【详解】令，有， 即， 所以， 两式相加得到：，即 所以， 所以的周期为， 令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾，所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 所以 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线斜率为. （1）求； （2）求在区间上的最小值.（参考数据：） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合导数的几何意义列方程可求； （2）利用导数判断函数的单调性，结合参考数据求最小值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 导函数， 因为函数的图象在点处的切线斜率为， 所以， 所以， 【小问2详解】 由（1）， 令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 因为，所以， 所以. 函数在区间上的最小值为. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知，且为钝角. （1）证明：； （2）若是边上靠近的三等分点，且，求的值. 【答案】（1） 由，结合正弦定理边化角得： ，化简得， 再由余弦定理得：， 因为为钝角，且，所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理边角转化，即可得，再用诱导公式可求证； （2）利用角的关系，再结合锐角三角函数边转化，即可得到边的关系，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 又由于与有一个公共角，所以， 即，所以， 则在中由正弦定理得：， 又在直角三角形中，有是边上靠近的三等分点， 则， 所以， 即. 17. 已知在数列中，，且当时，. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 【解析】 【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到. 【小问1详解】 当时，， 又，可得， 当时，，则， 又，所以， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； 【小问2详解】 略 18. 在数列中，已知，且. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设是与最接近的整数，求. 【答案】（1）， （2） （3）89 【解析】 【分析】（1）根据数列的首项和递推公式求，的值. （2）可先根据已知的项，猜测数列的通项公式，再用数学归纳法证明. （3）明确数列的项，即可求和. 【小问1详解】 由题意：，， . 【小问2详解】 由（1）猜测：，下面用数学归纳法证明. 易知，当时，猜测成立； 假设（）时，猜测成立， 则时，. 即时，猜测亦成立. 综上可知对都成立. 【小问3详解】 因为. 由， 因为，. 因为是与最接近的整数，所以数列的各项是：2个1,4个2,6个3,8个4，…. 所以，， ，… 由，. 所以的前2025项是由：2个1,4个2,6个3,8个4，…，88个44,45个45组成. 所以. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式的方法，可以先归纳猜测数列的通项公式，再用数学归纳法证明. 19. 已知函数的定义域分别为，如果存在，使得，则称与为“相斥函数”，且称为“相斥数”. （1）试判断函数与是否为“相斥函数”，并说明理由. （2）已知函数与为“相斥函数”，且为“相斥数”. （i）若，求的值； （ii）若，常数，求的最大值.（用表示） 【答案】（1）不是，理由为： 由，求导可得，， 易知在上单调递减， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，， 故函数的值域为. 由，求导可得，令，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，， 故函数的值域为. 对于任意，则，所以函数与不是“相斥函数”. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用导数分别研究函数的单调性，并求得值域，结合题目中的新概念，可得答案； （2）（i）利用参数的乘积，结合换元思想，整理由“相斥函数”求得的等式，可得答案， （ii）设参数乘积并建立参数之间的等量关系，利用“相斥函数”求得等式以及对数运算，可构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，求导可得， 当时，，，单调递增， 所以，函数的值域为. 由，求导可得，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 令，解得，当时，. （i）由，，则，， 由，即，则，可得， 解得，. （ii）设，则，， 由，则，化简可得， 则，令， 求导可得， 由，则，，知，所以单调递减， . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $