第08讲 不等式（组）及其应用（练习，14题型模拟练+重难练+真题练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 不等式的性质 👉题型02 直接解一元一次不等式（组） 👉题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 👉题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 👉题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 👉题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 👉题型07 已知解集求参数的值或取值范围 👉题型08 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 👉题型09 已知不等式有/无解求参数的取值范围 👉题型10 不等式与方程综合求参数的取值范围 👉题型11 与含参不等式（组）有关的新定义问题 👉题型12 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 👉题型13 列不等式（组） 👉题型14 利用不等式（组）解决实际问题 👉题型01 不等式的性质 1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 3．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南南阳·二模）若不等式的两边同除以，得，则m的取值范围为 ． 👉题型02 直接解一元一次不等式（组） 5．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 6．（2024·辽宁·模拟预测）（1）解不等式：； （2）解分式方程：． 7．（2024·山东淄博·一模）解不等式组： 8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解不等式组：． 👉题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 9．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 10．（2024·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 11．（2024·福建福州·模拟预测）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 👉题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 12．（2024·河南商丘·模拟预测）一个不等式组的解集如图所示，该不等式组所有整数解的和为 ． 13．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 14．（2024·山东济南·三模）解不等式组：，并写出所有整数解． 15．（2023·江苏宿迁·模拟预测）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 👉题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 16．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．            第一步 解，得．                               第二步 由不等式②，得．                   第三步 移项，得．                        第四步 解，得                                  第五步 所以，原不等式组的解集是．            第六步 任务一： (1)小明的解答过程中，第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (2)第三步的依据是____________； 任务二： (3)直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 17．（2024·山东潍坊·三模）（1）化简 （2）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ，不等式①的正确解集是 ； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 18．（2024·浙江·模拟预测）小丁和小迪分别解不等式的过程如下： 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内（    ）处打“√”；若错误，请划出错误之处．若你觉得两人的解法均错，请写出正确的解答过程． 小丁：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得 小迪：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以2，得 19．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 👉题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 20．（2022·河南信阳·一模）对于实数，，定义一种运算“”为，例如，那么不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 22．（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 23．（2024·江西赣州·一模）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：．例如． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 👉题型07 已知解集求参数的值或取值范围 24．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 27．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 👉题型08 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 28．（2024·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A． B． C． D． 30．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 👉题型09 已知不等式有/无解求参数的取值范围 31．（2024·云南曲靖·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 32．（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 👉题型10 不等式与方程综合求参数的取值范围 33．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 34．（2022·云南昆明·三模）若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 35．（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ． 36．（2024·重庆·模拟预测）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 👉题型11 与含参不等式（组）有关的新定义问题 37．（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 38．（2024·四川雅安·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（　 　） A． B． C．，且 D．，且 39．（2023·广东广州·二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，关于x的方程恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 👉题型12 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 41．（2024·河北秦皇岛·一模）若，写出一个符合条件的正整数m的值： ． 42．（2024·河南周口·一模）若不等式组 的解集为，则m的值可以是 ． （只写一个）． 43．（2024·湖北孝感·三模）请写出使不等式成立的一个x的值为 ． 👉题型13 列不等式（组） 44．（2024·河南商丘·模拟预测）某次知识竞赛一共有20道题，答对一道题得5分，不答得0分，答错一道题扣2分．已知小聪有一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答对了x道题，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 45．（2023·吉林长春·模拟预测）某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 46．（2023·浙江杭州·二模）−次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则(    ) A． B． C． D． 47．（2022·贵州遵义·二模）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）某商店将彩电先按原价提高，然后在广告中写上大酬宾，八折优惠， 结果每台彩电比原价多赚的钱数在240元以上．试问彩电原价在多少元以上？设彩电原价为x元，用不等式表示题目中的不等关系为 ． 本题主要考查了一元一次不等式的应用．设彩电原价为x元，根据题意，列出不等式，即可求解． 👉题型14 利用不等式（组）解决实际问题 49．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 50．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 51．（2024·云南德宏·一模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)要使租车总费用不超过10200元，怎样租车最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 52．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 53．（2024·四川绵阳·模拟预测）“麦冬”是一种传统中药材，因其药用价值大，在我市广泛种植．经销商户丁某计划安排一些汽车装运，两种不同等级的麦冬到外地销售，每辆汽车只能装同一等级的麦冬、已知1辆装运等级麦冬的汽车和2辆装运等级麦冬的汽车共能装载25吨，2辆装运等级麦冬的汽车和3辆装运等级麦冬的汽车共能装载42吨． 麦冬等级 每辆汽车运载量（吨） 每吨涪城麦冬获利（万元） 3 4 根据表格中的信息，解决以下问题： (1)求，的值； (2)如果计划安排12辆汽车装运，两种麦冬共100吨，装运种等级的车辆数不超过装运种等级车辆的，那么共有哪几种安排方案? (3)在（2）的条件下，设外地经销商户所获利润为万元，写出关于的函数关系式，探究采用哪种安排方案利润最大?并求出最大值． 1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．  B．   C．  D．   3．（2024·浙江·中考真题）已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 4．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 5．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)当m取（1）的一个整数解时，解方程. 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为；②1班学生的最低身高小于；③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（2023·内蒙古·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 8．（2023·青海西宁·中考真题）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵元，总费用不超过元，则最多可以购买 棵． 9．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 10．（2023·四川凉山·中考真题）不等式组的所有整数解的和是 ． 11．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 12．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 13．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 14．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． $$第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 👉题型01 不等式的性质 👉题型02 直接解一元一次不等式（组） 👉题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 👉题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 👉题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 👉题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 👉题型07 已知解集求参数的值或取值范围 👉题型08 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 👉题型09 已知不等式有/无解求参数的取值范围 👉题型10 不等式与方程综合求参数的取值范围 👉题型11 与含参不等式（组）有关的新定义问题 👉题型12 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 👉题型13 列不等式（组） 👉题型14 利用不等式（组）解决实际问题 👉题型01 不等式的性质 1．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 2．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、若，当时，，结论错误，不符合题意； B、若，则，结论正确，符合题意； C、若，，则，结论错误，不符合题意； D、若，则，结论错误，不符合题意； 故选：B． 3．（2024·北京·模拟预测）已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数比较大小，不等式的性质，掌握不等式的性质，有理数的比较大小的方法是解题的关键． 根据，可得互为相反数，可得，，根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即互为相反数， ∴， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项错误，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C ． 4．（2024·河南南阳·二模）若不等式的两边同除以，得，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查了不等式的性质和解一元一次不等式，根据不等式的两边同除以一个负数，不等号方向改变，即可得到，求出m的取值范围即可． 【详解】解：不等式即， 两边同除以，得， ∴， ∴ 故答案为： 👉题型02 直接解一元一次不等式（组） 5．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 6．（2024·辽宁·模拟预测）（1）解不等式：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解不等式和解分式方程的能力，掌握对应的运算法则是解题关键． （1）根据解不等式的方法解答即可； （2）首先进行去分母将其转化为整式方程，然后求出整式方程的解，最后对解进行验根得出答案． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． （2）方程两边乘，得． 解得， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 7．（2024·山东淄博·一模）解不等式组： 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解: 解不等式①得，，                         解不等式②得，，               所以该不等式组的解集是． 8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键． 先分别计算两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集． 【详解】解：， 解得， ， 解得，                                  ∴不等式组的解集是． 👉题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 9．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 10．（2024·山东济南·模拟预测）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】画图见解析，不等式组的解集为； 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式， ∴， ∴， 解不等式， ∴， ∴， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 则不等式组的解集为； 11．（2024·福建福州·模拟预测）解不等式组，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的求解方法是解题的关键． 先分别求出两个不等式的解集，然后在数轴上表示，最后确定解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为：． 不等式组的解集在数轴上表示如下： 👉题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 12．（2024·河南商丘·模拟预测）一个不等式组的解集如图所示，该不等式组所有整数解的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是由数轴得出不等式组的解集． 先由数轴写出不等式组的解集，然后即可写出不等式组的整数解，再计算出该不等式组所有整数解的和即可． 【详解】解：由数轴可得， 图中表示的不等式组的解集是， 该不等式组的所有整数解是，0，1，2， 该不等式组所有整数解的和为， 故答案为：2． 13．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 14．（2024·山东济南·三模）解不等式组：，并写出所有整数解． 【答案】原不等式组的解集为，整数解为1，2，3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上表示不等式①②的解集：       ∴原不等式组的解集为． ∴整数解为1，2，3． 15．（2023·江苏宿迁·模拟预测）解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解． 【答案】；数轴见解析；正整数解为：1，2，3，4，5 【分析】先分别求出一元一次不等式的解集，再将其解集在数轴上表示出来，取其正整数即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： ， ∴该不等式组的正整数解为：1，2，3，4，5． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并在数轴上表示解集，熟练掌握一元一次不等式的解法及解集在数轴上表示的方法是解题的关键． 👉题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 16．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①，得．            第一步 解，得．                               第二步 由不等式②，得．                   第三步 移项，得．                        第四步 解，得                                  第五步 所以，原不等式组的解集是．            第六步 任务一： (1)小明的解答过程中，第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (2)第三步的依据是____________； 任务二： (3)直接写出这个不等式组正确的解集是____________． 【答案】(1)一，去括号时括号内的1没有与3相乘 (2)不等式的性质 (3) 【分析】本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式组的方法及一般步骤，利用找不等式组的解集的规律得出解集是解题的关键． （1）根据解不等式组的方法及一般步骤即可判断上述解题过程． （2）根据解不等式组的方法及一般步骤即可求解． （3）分别解出不等式①和②的解集，再利用找不等式组的解集的规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 小明的解答过程中，第一步开始出现错误，则错误的原因是：去括号时括号内的1没有与3相乘， 故答案为：一，去括号时括号内的1没有与3相乘． （2）第三步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质． （3）由不等式①，得， 解，得， 由不等式②，得，解得， ∴原不等式组的解集为：． 17．（2024·山东潍坊·三模）（1）化简 （2）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得： 第1步 第2步 第3步 第4步 任务一：该同学的解答过程第 步出现了错误，错误原因是 ，不等式①的正确解集是 ； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】（1）；（2）任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二： 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先进行括号内的运算，再进行除法运算即可； （2）任务一：解不等式①即可求解；任务二：解不等式②即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：任务一：由①得： 第1步： 第2步： 第3步： 第4步：； 故答案为：，不等号的方向没有发生改变，； 任务二：， ， ， ； 又， ∴不等式组的解集为：． 18．（2024·浙江·模拟预测）小丁和小迪分别解不等式的过程如下： 你认为他们的解法是否正确？若正确，请在框内（    ）处打“√”；若错误，请划出错误之处．若你觉得两人的解法均错，请写出正确的解答过程． 小丁：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得 小迪：（    ） 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以2，得 【答案】均错误，，过程见解析 【分析】此题考查了解一元一次方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：两人均错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 两边都除以7，得． 19．（2024·宁夏银川·二模）下面是小林同学解一元一次不等式组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①去分母，得．………………第一步 去括号，得．…………………………第二步 移项，得．………………………… 第三步 合并同类项，得．…………………………………第四步 系数化为1，得．…………………………………第五步 任务一： （1）以上解题过程中，第一步的依据是_____________________________； （2）第_______________步开始出现错误，错误的原因是_______________________； 任务二： （1）解不等式②得___________________； （2）把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，并写出该不等式组的正确解集_____________． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）三，移项没变号； 任务二：（1）；（2），在数轴上表示见解析 【分析】本题考查不等式的性质，解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 任务一：（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据移项可判断第三步错误； 任务二：（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤求解①，从而得解． 【详解】解：任务一：（1）以上解题过程中，第一步的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； （2）第三步开始出现错误，错误的原因是移项没变号， 故答案为：三，移项没变号； 任务二：解不等式②：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 故答案为：； （2）由①去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 把一元一次不等式组的解集表示在数轴上，如图： 故不等式组的解集为：， 故答案为：． 👉题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 20．（2022·河南信阳·一模）对于实数，，定义一种运算“”为，例如，那么不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，把不等式组进行整理，然后解不等式组，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴可以化简为， 即， 解得：； 不等式组的解集在数轴上表示为 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组． 21．（2024·宁夏银川·一模）对于实数，定义一种运算“”为：，则不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次不等式组，关键是掌握求不等式组的运算． 先运算，，化简关于的一元一次不等式组，再求不等式组可得的解集． 【详解】解：∵， ∵， ∴解时， 即为解：， 解得：， 故答案为：． 22．（2023·广东江门·一模）定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于x的不等式组的相伴方程，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出两个方程的解，再解不等式组，根据题意可得且，即可解答． 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得：， 由，得：， 由，得：， 均是不等式组的解， 且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解题意，熟练解一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 23．（2024·江西赣州·一模）对于实数a、b，定义关于“⊗”的一种运算：．例如． (1)求的值； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式．理解题意是解题的关键． （1）根据题中的新定义，得原式，计算求解即可；   （2）根据题中的新定义，得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为． 👉题型07 已知解集求参数的值或取值范围 24．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 25．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 26．（2024·四川雅安·三模）若关于的不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集确定参数，解一元一次不等式组；先求出不等式组的解集，再根据已知不等式组的解集与所求不等式组解集比较即可求得m与n的值，从而求出的值． 【详解】解： 解不等式得：； 解不等式得：； 则不等式组的解集为：； 由于不等式组的解集为， 所以， 则， 所以； 故选：A． 27．（2024·广东深圳·一模）已知不等式组的解集是，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 解集是， ， 解得， 则原式， 故选B． 👉题型08 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 28．（2024·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为1，则不等式组的整数解的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了方程解的定义，求不等式组的整数解．利用方程解的定义求得，解不等式组得，得到不等式组的整数解，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为1， ∴，解得， ∴不等式组为， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为0，1，2，共3个， 故选：B． 29．（2024·江苏扬州·二模）若关于的不等式组有且只有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组有且只有两个整数解得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有且只有两个整数解， ∴不等式组的解集为：， ∴ 解得：，则符合条件的所有整数的和为 故选：D． 30．（2024·山东潍坊·模拟预测）（1）先化简，再求值：，其中； （2）若关于的不等式组所有整数解的和为，求整数的值． 【答案】（）；；（）或． 【分析】（）先利用平方差，完全平方公式化简，然后合并同类项即可； （）根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解； 本题考查了整式的运算和解不等式组，熟练掌握运算法则及解法是解题的关键． 【详解】（）解：原式 ， 当， ∴原式； （）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴， ∵所有整数解的和为， ∴不等式组的整数解为，，，或，，，，，，， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴或． 👉题型09 已知不等式有/无解求参数的取值范围 31．（2024·云南曲靖·模拟预测）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组解集的取法是解题的关键． 根据不等式组无解，即“大大小小无处找”，即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组无解， 故选A． 32．（2024·江苏宿迁·一模）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式组得： ， ∵不等式组有解， ∴， 故答案为：． 👉题型10 不等式与方程综合求参数的取值范围 33．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 34．（2022·云南昆明·三模）若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a的范围，再求出整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：解方程x+2a=1得：x=12a， ∵方程的解为负数， ∴12a＜0， 解得：a＞0.5， ∵解不等式①得：x＜a， 解不等式②得：x≥4， 又∵不等式组无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围是0.5＜a≤4， ∴整数和为1+2+3+4=10， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解一元一次方程等知识点，能求出a的范围是解此题的关键． 35．（2024·山东日照·二模）关于的不等式组有解，同时关于的方程有正数解，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式、分式方程的解等知识，理解分式方程有整数解的条件与解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先分别求出不等式组的解和分式方程有正数解的的范围，再确定所有满足条件的整数，即可获得答案． 【详解】解：解不等式组， 可得， ∵该不等式组有解， ∴ ∴， 解分式方程， 可得， ∵该方程有正数解， ∴且， 解得且， ∴且， ∴所有满足条件的整数包括，0，2， ∴所有满足条件的整数的和为． 故答案为：1． 36．（2024·重庆·模拟预测）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ， ， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为：， ∴满足条件的整数a的值的和为：， 故答案为： 👉题型11 与含参不等式（组）有关的新定义问题 37．（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 38．（2024·四川雅安·二模）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．例如：．若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（　 　） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解．本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的根的判别式：当判别式，方程有两个不相等的实数根；当判别式，方程有两个相等的实数根；当判别式，方程没有实数根． 【详解】解：， ， 整理可得， 又关于的方程有两个实数根， ， 解得：且， 故选：D． 39．（2023·广东广州·二模）定义：不大于实数x的最大整数称为x的整数部分，记作，例如，按此规定，若，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给的定义可知，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意得到不等式组是解题的关键． 40．（2022·浙江杭州·模拟预测）对于实数a，b，定义运算“*”：，关于x的方程恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】 【分析】根据新定义分和两种情况分别讨论，得到两个一元二次方程，然后讨论其根的情况即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的方程恰好有三个不相等的实数根， ∴方程和一共有3个实数根， ∴方程和都有实数根， 解方程得， 解方程得， ∴只有当方程有一个负实数根，方程有两个正实数根才能满足题意， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解不等式组，正确理解题意得到两个一元二次方程是解题的关键． 👉题型12 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 41．（2024·河北秦皇岛·一模）若，写出一个符合条件的正整数m的值： ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查零指数幂，解一元一次不等式，根据相关运算法则计算，并结合m为正整数，进行取值，即可解题． 【详解】解：， ， ， m为正整数， m的值为：或， 故答案为：1（答案不唯一）． 42．（2024·河南周口·一模）若不等式组 的解集为，则m的值可以是 ． （只写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查不等式组，解题的关键是正确理解不等式组的解集的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，确定出m的取值范围，再写出满足条件的m的一个值即可． 【详解】解：∵不等式组 的解集为， ∴， ∴m的值可以是， 故答案为：． 43．（2024·湖北孝感·三模）请写出使不等式成立的一个x的值为 ． 【答案】（答案不唯一，小于即可） 【分析】此题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解： 当时，不等式成立 故答案为：（答案不唯一，小于即可） 👉题型13 列不等式（组） 44．（2024·河南商丘·模拟预测）某次知识竞赛一共有20道题，答对一道题得5分，不答得0分，答错一道题扣2分．已知小聪有一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答对了x道题，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据答对题的得分：；答错题的得分：，根据不等关系：得分要超过80分列不等式即可． 【详解】解：易得小聪答错了道题，依题意，得， 故选：C． 45．（2023·吉林长春·模拟预测）某批电子产品进价为200元/件，售价为350元/件，为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于，则该批电子产品最多可降价多少元？若设该批电子产品可降价x元，则可列不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．根据利润率不低于列出不等式即可． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 46．（2023·浙江杭州·二模）−次生活常识竞赛共有20题，答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分．小滨有1题没答，竞赛成绩不低于80分，设小聪答错了x题，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小聪答错了道题，则答对了道题，根据总分答对题目数答错题目数结合、总分超过80分，即可得出关于的一元一次不等式整理即可得出结论． 【详解】解：设小聪答错了x道题，则答对了道题， 依题意得：， 即： 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 47．（2022·贵州遵义·二模）校团委计划用800元为毕业生到某超市购买纪念册，该超市推出优惠活动，若一次购买不超过15册，则按每册10元付款，若一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠．问最多能购买多少册？设能购买x册，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，购买的纪念册超过15册，可根据一次性购买15册以上，则超过部分按八折优惠列出不等式即可． 【详解】解：， 所以应按第二种方式付款，则有， 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列不等式，正确得到付款方式是解答本题的关键． 48．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）某商店将彩电先按原价提高，然后在广告中写上大酬宾，八折优惠， 结果每台彩电比原价多赚的钱数在240元以上．试问彩电原价在多少元以上？设彩电原价为x元，用不等式表示题目中的不等关系为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元一次不等式的应用．设彩电原价为x元，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设彩电原价为x元，依题意得： ． 故答案为： 👉题型14 利用不等式（组）解决实际问题 49．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 50．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元 (2)方案一：购买箱橙汁，箱可乐；方案二：购买箱橙汁，箱可乐；方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）设购买箱橙汁，则购买箱可乐，根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元， 解得， 答：每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元； （2）解：设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意可得， 解得 为正整数， 可以是， 该单位共有种购买方案， 方案一：购买箱橙汁，箱可乐； 方案二：购买箱橙汁，箱可乐； 方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 51．（2024·云南德宏·一模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)要使租车总费用不超过10200元，怎样租车最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)租用甲种型号客车辆，乙种型号客车辆最省钱，此时总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围，再根据一次函数的增减性， 且为整数，即可得到的取值，代入计算即可解题． 【详解】（1）解：租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人， ， 解得 ，                       在中， ， 随的增大而增大， 又，且为整数， 当时，取最小值，最小值为(元)， 租用甲种型号客车辆，乙种型号客车辆最省钱，此时总费用是元． 52．（2024·上海·模拟预测）今有大器五小器一容过三斛，大器一小器五容过二斛，大器容不过1斛，小器容斛不过大器半．请根据上述信息计算出大器，小器容米数量范围（斛），并将大器，小器容米数量范围的解集在数轴上表示． 【答案】，；数轴表示见解析 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据题意正确列出不等式组成为解题的关键． 设大器容x斛，小器容y斛，由题意得则，再根据可得，当，即时可得、，进而完成解答． 【详解】解：设大器容x斛，小器容y斛，由题意得: , 可得：，即：， ∵ ∴， 当，即时，，即，， ∴，； 小器容米数量范围的解集在数轴上表示如下 ： ． 53．（2024·四川绵阳·模拟预测）“麦冬”是一种传统中药材，因其药用价值大，在我市广泛种植．经销商户丁某计划安排一些汽车装运，两种不同等级的麦冬到外地销售，每辆汽车只能装同一等级的麦冬、已知1辆装运等级麦冬的汽车和2辆装运等级麦冬的汽车共能装载25吨，2辆装运等级麦冬的汽车和3辆装运等级麦冬的汽车共能装载42吨． 麦冬等级 每辆汽车运载量（吨） 每吨涪城麦冬获利（万元） 3 4 根据表格中的信息，解决以下问题： (1)求，的值； (2)如果计划安排12辆汽车装运，两种麦冬共100吨，装运种等级的车辆数不超过装运种等级车辆的，那么共有哪几种安排方案? (3)在（2）的条件下，设外地经销商户所获利润为万元，写出关于的函数关系式，探究采用哪种安排方案利润最大?并求出最大值． 【答案】(1)的值为9，的值为8 (2)安排方案可有3种：①装运种等级麦冬的汽车为4辆，装运种等级麦冬的汽车为8辆；②装运种等级麦冬的汽车为5辆，装运种等级麦冬的汽车为7辆；③装运种等级麦冬的汽车为6辆，装运种等级麦冬的汽车为6辆 (3)安排方案为装运种等级麦冬的汽车为4辆，装运种等级麦冬的汽车为8辆时，利润最大，最大值为364万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案； （2）根据题意列出一元一次不等式组并求解，即可获得答案； （3）根据题意列出一次函数解析式，结合一次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可得， 解得， 答：的值为9，的值为8； （2）设装运种等级麦冬的汽车为辆，则装运种等级麦冬的汽车为辆， 由题意可知，， 解得 ， ∴安排方案可有3种： ①装运种等级麦冬的汽车为4辆，装运种等级麦冬的汽车为8辆； ②装运种等级麦冬的汽车为5辆，装运种等级麦冬的汽车为7辆； ③装运种等级麦冬的汽车为6辆，装运种等级麦冬的汽车为6辆； （3）根据题意，可得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，利润最大，最大值为万元， 即安排方案为装运种等级麦冬的汽车为4辆，装运种等级麦冬的汽车为8辆时，利润最大，最大值为364万元． 1．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 2．（2023·浙江杭州·中考真题）已知数轴上的点分别表示数，其中，．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先由，，，根据不等式性质得出，再分别判定即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵ ∴ A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示数，不等式性质，由，，得出是解题的关键． 3．（2024·浙江·中考真题）已知实数a，b满是，则的最大值为 ． 【答案】55 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解一元一次不等式组，根据题意得出的取值范围是解题的关键． 根据得出，从而得出，根据得出的取值范围，再根据即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最大值为55， 故答案为：55 ． 4．（2024·四川内江·中考真题）一个四位数，如果它的千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称该数为“极数”．若偶数为“极数”，且是完全平方数，则 ； 【答案】1188或4752 【分析】此题考查列代数式解决问题，设出m的代数式后根据题意得到代数式的取值范围是解题的关键，根据取值范围确定可能的值即可解答问题．设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，将m表示出来，根据是完全平方数，得到可能的值即可得出结论． 【详解】解：设四位数m的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）， ∴， ∵m是四位数， ∴是四位数， 即， ∵， ∴， ∵是完全平方数， ∴既是3的倍数也是完全平方数， ∴只有36，81，144，225这四种可能， ∴是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425， 又m是偶数， ∴或4752 故答案为：1188或4752． 5．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)当m取（1）的一个整数解时，解方程. 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）根据中不等式的解集得出的一个值，求出的值即可． 【详解】（1）解：由得，， 由得，， 故不等式组组的解集为：． （2）由知， 令， 则方程变为， ， ， ，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出的取值范围是解题的关键． 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 3．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 4．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 5．（2024·山东·中考真题）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为； ②1班学生的最低身高小于； ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴， 故②正确， 故选：C． 6．（2023·内蒙古·中考真题）不等式的正整数解的个数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数． 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键． 7．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 8．（2023·青海西宁·中考真题）象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵元，总费用不超过元，则最多可以购买 棵． 【答案】833 【分析】设可以购买棵，根据题意列出一元一次不等式，解不等式取最大整数解，即可求解． 【详解】解：设可以购买棵，根据题意得， ， 解得： ∵为正整数， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解题的关键． 9．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。 10．（2023·四川凉山·中考真题）不等式组的所有整数解的和是 ． 【答案】7 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再确定整数解，最后求和即可． 【详解】解：， 由①得：， ∴， 解得：； 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1，2，3，4； ∴， 故答案为：7 【点睛】本题考查的是求解一元一次不等式组的整数解，熟悉解一元一次不等式组的方法与步骤是解本题的关键． 11．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【详解】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 12．（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 13．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 14．（2023·山东日照·中考真题）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．    (1)设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材__________张； (2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数； (3)包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)， (2)制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张 (3)A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽均为的木板1个，长为10cm、宽为的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为的木板4个，乙种方式可切割长为10cm、宽为的木板8个；列关系式求解即可； （3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个， 故制作B种木盒个； ∵有200张规格为的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张， 故使用乙种方式切割的木板材张； 故答案为：，． （2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板， 使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板； 设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个， 制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个； 故 解得：， 故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个， 使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， （3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张， 故总成本为（元）； ∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元， 即， 解得：， 故的取值范围为； 设利润为，则， 整理得：， ∵，故随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值为， 则此时B种木盒的销售单价定为（元）， 即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键． $$