专题04 整式的乘法与因式分解（5个知识点回顾+7大题型归纳+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

专题04 整式的乘法与因式分解 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 幂运算】 【题型2 整式的乘法】 【题型3 整式的乘法的实际应用】 【题型4 平方差及几何意义】 【题型5 完全平方及几何意义】 【题型6 整式的混合运算/化简求值】 【题型7 因式分解】 知识点1：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点3：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点4：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点5：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 题型归纳 【题型1 幂运算】 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则的值为 ． 4．（海南省洋浦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题）计算： ． 5.（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 6．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【题型2 整式的乘法】 7．（海南省洋浦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题）若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 9.（24-25八年级上·海南海口·期中）“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若的积中不含的一次项，则 ． 【题型3 整式的乘法的实际应用】 12．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 15．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别记为、          (1)比较与的大小，并说明理由 (2)若一个正方形的周长与长方形甲的周长相等 ①求该正方形的边长（用含m的式子表示） ②若该正方形的面积为．请问与的差（即）是否与m的取值有关？请说明理由． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【题型4 平方差及几何意义】 19．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【题型5 完全平方及几何意义】 22．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 23．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 24．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含的代数式表示）． 方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 26．（24-25八年级上·重庆·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 27．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：______；将你从中发现的结论写出来：______； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【题型6 整式的混合运算/化简求值】 28．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 29．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先化简， 再求值： ，其中， 31．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）先化简，再求值： ，其中实数x，y满足． 32．（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【题型7 因式分解】 33．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）分解因式： ． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) (4) 36．（24-25八年级上·海南海口·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解：． 解： ． ②求的最小值． 解： ， ， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)利用上述方法进行因式分解：． (3)求的最小值． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（    ） A．10 B．7 C．3 D．25 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024八年级上·湖北·专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，可验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（   ） A． B．4 C．4或 D．2或 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）分解因式： ． 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，，则 ． 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知，，则 ． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，那么多项式的值是 ． 13．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 三、解答题 14．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）因式分解 (1)； (2) 15．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以 ． 【解决问题】若满足，求的值； 17．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 18．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 整式的乘法与因式分解 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 幂运算】 【题型2 整式的乘法】 【题型3 整式的乘法的实际应用】 【题型4 平方差及几何意义】 【题型5 完全平方及几何意义】 【题型6 整式的混合运算/化简求值】 【题型7 因式分解】 知识点1：幂运算 1.幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 2.幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 3.积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 4.幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：整式的乘法运算 1.单项式乘单项式 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式乘多项式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 3.多项式乘多项式 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点3：平方差公式 平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点4：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 知识点5：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 题型归纳 【题型1 幂运算】 1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，幂的乘方运算，积的乘方运算，掌握“幂的运算的运算法则”是解本题的关键． 由同底数幂的乘法运算可判断A，由幂的乘方运算可判断B，由同底数幂的除法运算可判断C，由积的乘方运算和幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，原运算错误，故A不符合题意； ，运算正确，故B符合题意； ，原运算错误，故C不符合题意； ，原运算错误，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）若，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】72 【分析】根据，结合，，计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，幂的乘方的逆运算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（海南省洋浦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题）计算： ． 【答案】/1.5 【分析】逆用公式解答即可． 本题考查了积的乘方的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 5.（24-25八年级上·全国·期末）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法的逆用，幂的乘方的逆运算可得出即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 6．（24-25八年级上·全国·阶段练习）若，则n的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 【题型2 整式的乘法】 7．（海南省洋浦中学教育集团2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题）若，则的值为（   ） A．11 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法，代数式求值，掌握多项式乘多项式法则是解决问题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据整式的值相等确定的值,最后计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选： C． 8．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 9.（24-25八年级上·海南海口·期中）“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境，已知长方形空地的面积为平方米，宽为米，则这块空地的长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了整式的除法运算，直接利用整式的除法运算法则计算即可得出答案，掌握整式的除法运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∴这块空地的长为米， 故选：． 10．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，运算法则需要熟练掌握，利用对应项系数相等求解是解题的关键．运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值． 【详解】解：， ， 故选：B． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若的积中不含的一次项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的法则，据此先得到展开式，结合“不含的一次项”，得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 因为的展开式中不含的一次项， 所以， 则， 故答案为：． 【题型3 整式的乘法的实际应用】 12．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，现有三种不同尺寸的卡片，分别是正方形卡片A、正方形卡片B和长方形卡片C．若要拼成一个长为、宽为的大长方形，则需要卡片C的张数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，掌握相关运算法则是解题关键．根据长方形面积公式列式并展开，即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，的面积为，的面积为，的面积为， ， 拼成大长方形需要卡片的张数为2，的张数为2，C的张数为3， 故选：C． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一块长为，宽为的长方形土地的周长为，面积为，现将该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是 ． 【答案】36 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值，由题意可得，，再结合扩建后的长方形土地的面积是：，展开后，再整体代入即可． 【详解】解：根据题意，得 ，， 该长方形土地的长、宽都增加，则扩建后的长方形土地的面积是： 故答案为：36． 14．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某市有一块长为米，宽为米，规划部门计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示） (2)若a、b满足时，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)10750元 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价×数量=总价进行计算即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：∵， ∴，， ∴草坪的面积为（平方米）， ∴购买草坪所需要的总费用为（元）． 15．（24-25八年级上·山西·阶段练习）晋阳湖公园是太原市面积最大的城市综合性公园，位于太原市西南方的晋阳湖水域周边．小华与家人在公园内某一长方形区域观赏风景，设该观景区长3a米，宽米，中间修有一条“S”型等宽小路供游客行走，已知小路宽2米，其余区域皆为草坪． (1)求该观景区草坪的面积． (2)当，时，草坪的面积是多少？ 【答案】(1) (2)草坪的面积是4400平方米． 【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）把，代入（1）中的代数式，即可得到结论． 【详解】（1）解：该观景区草坪的面积平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：草坪的面积是4400平方米． 16．（23-24八年级上·广东东莞·期中）如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式)． (2)若，，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元钱？ 【答案】(1) (2)17400 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算中的化简求值，根据题意列出相应的式子是解本题的关键． （1）绿化的总面积等于矩形面积减去4个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为50元平方米，即可得出答案． 【详解】（1）解：题意得： ． 答：绿化面积是平方米； （2）当，时， (平方米)， (元)， 答：完成绿化共需要17400元钱． 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别记为、          (1)比较与的大小，并说明理由 (2)若一个正方形的周长与长方形甲的周长相等 ①求该正方形的边长（用含m的式子表示） ②若该正方形的面积为．请问与的差（即）是否与m的取值有关？请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②与的差（即）是与m的取值无关 【分析】本题考查了多项式乘多项式、完全平方公式的计算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解决问题的关键． （1）根据题意列出算式，再利用多项式乘多项式的法则，去括号法则，合并同类项法则进行计算，即可得出答案； （2）①设正方形的边长为x，根据题意列出关于的方程，解方程即可得出的值；②先求出，再计算的值，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：①设正方形的边长为x， 根据题意得： ， 该正方形的边长为； ②，， 与的差（即）与m的取值无关． 18．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式，请利用这一方法解决下列问题： (1)观察图2，写出所表示的数学等式：________=________． (2)观察图3，写出所表示的数学等式：________=________． (3)已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若，，，且．请利用（2）中的结论求的值． 【答案】(1)， (2)， (3)50 【分析】（1）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （2）先计算整个图形的面积，再计算各个图形的面积，利用整体图形的面积等于各个图形的面积之和，列出等式即可． （3）根据（2）的等式代入解答即可． 本题考查了公式与几何图形的关系，熟练掌握公式的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，整体大长方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （2）解：根据题意，整体大正方形的面积为：， 各个图形的面积和为：， 故， 故答案为：，． （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵． ∴， ∴． 【题型4 平方差及几何意义】 19．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 20．（24-25八年级上·广东惠州·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，注意：． 依次运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故选：C． 21．（24-25八年级上·广西南宁·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；因此此题可根据平方差公式：进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 【题型5 完全平方及几何意义】 22．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，则的值为（　　） A．8 B．20 C．4 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形运用，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 23．（24-25七年级上·上海·期中）如果关于的多项式是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】13或−11 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的2倍放中央，进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 故答案为：13或−11． 24．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______________． A． B． C． (2)应用所得的公式计算：； (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1)B (2)1 (3) 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先分别用代数式表示出两图中的阴影面积，再判断即可． （2）把原式先变形为，再利用（1）的结论求解即可； （2）根据把所求式子先裂项，再计算求解即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积是两个正方形的面积差，即， 拼成的图2为长为，宽为的长方形，因此面积为， ∴， 故选：B； （2）解： ； （3）解：原式 ． 25．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)请你用两种不同的方式表示图2阴影部分的面积（直接用含的代数式表示）． 方法一：________；方法二：________．由此可以得出的等式是________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边长作正方形和正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1)，， (2)17 (3)阴影部分面积为20 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）方法一：根据图象得出阴影部分正方形边长即可求得面积；方法二：根据大正方形面积减去四个小长方形的面积即可，根据方法一和方法二即可得到等式； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）根据题意找出题中各线段之间的数量关系和等量关系，设，即，阴影部分面积，根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：；方法二：． 由此可以得出的等式是， 故答案为：，，． （2）解：， ． （3）解：∵正方形的边长为，正方形和正方形， ， ∵长方形的面积是24， ， 设，即，则， ∴阴影部分面积 ， ， （负值已舍去）， ， 即阴影部分面积为20． 26．（24-25八年级上·重庆·期中）把完全平方公式适当的变形，如：等，这些变形可解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以， 即，，所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题． (1)①若，，且，则________； ②我们知道，若，则________． (2)如图，C是线段上的一点，，以，为边向两边作正方形和正方形，两个正方形的面积分别为，，，设，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①；②15 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、算术平方根，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）①根据求解即可得； ②根据求解即可得； （2）先求出和，再根据求解即可得． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． ②∵，， ∴ ， 故答案为：15． （2）解：由题意得：，，， ∵， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ． 27．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图一阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：______，方法2：______；将你从中发现的结论写出来：______； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，求的值； ②如图2，是线段上一点，以，为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)①或0；②12 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）①设，，则，，根据（1）可知：，即，得出，可求得，再列出方程组求出a，b的值，再代入求值即可； ②设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，方法1：阴影部分面积是边长为的正方形面积和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 又两种方式表示的阴影部分面积是相等的：． 故答案为：；；； （2）①，设，， 则，， 根据（1）可知：， 即， ， ， ， 或， 解得：或 当时，， 当时，， 或0； ②设，， ，， 联立方程组可得：， ， 阴影部分的面积为． 【题型6 整式的混合运算/化简求值】 28．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 29．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值，其中，． 【答案】；6 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则进行化简，然后再代入数值进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， ． 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）先化简， 再求值： ，其中， 【答案】，6 【分析】本题考查了整式的乘法，合并同类项，代数式求值，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．原式第一项利用多项式乘多项式、第二项利用单项式乘多项式的法则计算，然后合并同类项即可化简原式，最后将、的值代入化简后的式子即可得到原式的值． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 31．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）先化简，再求值： ，其中实数x，y满足． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，根据整式的混合运算法则，进行化简，根据非负性求出的值，代入化简后的式子中计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（24-25八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的混合运算与化简求值，根据平方差公式、单项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式把原式化简，把、的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【题型7 因式分解】 33．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【详解】解：A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意； C、符合因式分解的形式，符合题意； D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意； 故选C． 34．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查分解因式，涉及提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，根据多项式结构特征，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案，综合运用提公因式法及公式法分解因式是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．（2024八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解． （1）首先去括号，进而合并同类项，再利用完全平方公式分解因式得出即可； （2）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案； （3）首先提取公因式，进而结合平方差公式分解因式得出答案； （4）首先去括号，再利用完全平方公式分解因式得出即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．（24-25八年级上·海南海口·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法因式分解：． 解： ． ②求的最小值． 解： ， ， 即的最小值为． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______． (2)利用上述方法进行因式分解：． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式即可求解； （）仿照阅读材料中①用配方法因式分解即可； （）仿照阅读材料中②解答即可； 本题考查了完全平方公式及其应用，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 过关检测 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）下列等式从左到右变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解定义，根据将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解逐个判断即可得到答案； 【详解】解：A．，左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意， B．，原式计算错误，不是因式分解，不符合题意， C．，是因式分解，符合题意， D．，右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意， 故选：C． 2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A．，正确，符合题意；     B．与不是同类项，不能合并，不符合题意；     C．，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）已知，则（    ） A．10 B．7 C．3 D．25 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法的逆用，逆用同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：， ， 即， ． 故选：B． 5.（24-25八年级上·河南信阳·期末）下列各式能用平方差公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：．根据平方差公式的结构特征进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； B、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式； C、，符合平方差公式特点，能用平方差公式； D、，不符合平方差公式特点，不能用平方差公式． 故选：C． 6．（2024八年级上·湖北·专题练习）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与完全平方公式；由题意知，大正方形面积减去小正方形面积即为长方形的面积． 【详解】解： ； 故选：C． 7．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，可验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式是解题关键．图中阴影部分的面积可用“总”、“分”两种方式表示，即可得到数学公式． 【详解】解：由图可得阴影部分是边长为的正方形，面积为， 也可以是， ∴． 故选：A． 8．（24-25九年级上·云南玉溪·期中）若方程的左边是一个完全平方式，则m的值是（   ） A． B．4 C．4或 D．2或 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 【详解】解：∵方程的左边是一个完全平方式， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【分析】利用提取公因式法分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，先逆用同底数幂的乘法和幂的乘方法则变形，然后把，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：72． 11．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的应用是解题的关键．对两个等式，利用完全平方公式展开再相减，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，那么多项式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广西南宁·期中）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中从左起第四项的系数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 观察“杨辉三角”可得的展开式中第一项和最后一项的系数都是1，中间的项的系数是“杨辉三角”中上一层肩上的两个系数的和，据此即可解答． 【详解】解：由“杨辉三角”可得，的展开式中从左起第四项的系数为． 故答案为：20． 三、解答题 14．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）因式分解 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和公式法是解决本题的关键． （1）先提取公因式，再套用完全平方公式因式分解； （2）套用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：， ， （2）解：， ， ， 15．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，32 【分析】此题考查了多项式乘以多项式和完全平方公式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先即多项式乘以多项式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代数求解即可． 【详解】 ∵， ∴原式． 16．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以 ． 【解决问题】若满足，求的值； 【答案】110 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．设，，则，，然后利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：设，， 则，， 所以 ． 17．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形． (1)图1中的每个小长方形的面积为_____；图2中的中间空白部分的面积为_____； (2)观察图2，请你写出代数式、、之间的等量关系式为_____； (3)根据你得到的关系式解答下列问题：若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】此题考查了利用完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据长方形的面积进行计算，由图形面积间和差关系可得此题结果为； （2）由图形面积间关系可得：； （3）由（2）题关系式可得，，就能求得最后结果． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的每个小长方形的面积是； 图2中间空白的部分的面积是． 故答案为：；； （2）解：由图2中间空白的部分的面积的不同表示方法可得：． 故答案为：； （3）解：由（2）题关系式可得，， ， 即的值是． 18．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【阅读材料】“配方法”是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例1．用配方法分解因式： 解：原式 例2．已知，用配方法求的值． 解：原方程可化为，，即 ，， ，， ． 【问题解决】 (1)用配方法分解因式：； (2)若与，请判断M、N的大小关系并说明理由； (3)如图，长方形的长，宽．点P从点A开始以的速度向点B运动，与此同时，点Q从点B开始以的速度向点C运动，当其中任何一点到达终点时停止运动．设运动时间为t（s），的面积为S（）． ①用含有t的代数式表示S，并直接写出t的取值范围； ②用上面的方法，求t为何值时S的值最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3)①；②时，S的值最大，最大值是9． 【分析】本题考查了配方法的应用，因式分解，熟练掌握配方法和因式分解是解题的关键． （1）仿照题意进行配方得到，再利用平方差公式分解因式即可； （2）对M、N作差，可得，再利用平方的非负性解答即可； （3）①利用三角形的面积公式求出S关于t的代数式即可；②利用配方法求出最大值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）①由题意，，， ， t的取值范围是：， ； ②， ，当时，它的最大值是0， 的最大值是9， 即时，S的值最大，最大值是9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$