回归教材专题(3)角平分线+平行线一等腰三角形&重点突破专题(2)等腰三角形中的分类讨论-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

DE⊥BC,∴.∠DEB=∠DEC=90°，∴.∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°. ∠F=∠BDE.又∠ADF=∠BDE,∴∠F=∠ADF.∴AD=AF.∴.△ADF是等 腰三角形.4.110°或72.5°或35°5.(1)解：(1)作线段AB=a;(2)作线段AB 的垂直平分线MN,与AB交于点D;(3)在MN上取一点C,使CD=b;(4)连接 AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.(2)解：图略.6.C7.608.25 9.(1)①③，①④，②③，②④(2)解：以①④为条件：OB=OC,.∠OBC= ∠OCB,,∠DBO=∠ECO,∴.∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠DBC= ∠ECB,∴.AC=AB,即 △ABC是等腰三角形. 10.(1)证明：如图2中， DE是线段AC的垂直平B D D D B 分线，∴.EA=EC,即解图① 解图② 解图③ △EAC是等腰三角形，∴.∠EAC=∠C,∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,,∠B =2∠C,.∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形..AE是△ABC是一条等腰 分割线；(2)解：线段AD为等腰分割线，∴.△ABD和△ACD都是等腰三角 形，①如解图①，AD=CD=BD,∴.∠C=∠CAD=30°，.∠ADB=∠C+ ∠CAD=30°+30°=60°，AD=BD,∴.∠B=60°；②如解图②，AD=BD=AC, AD=AC,∴∠ADC=∠C=30°，AD=BD,∴∠B=∠DAB,∠ADC= ∠B+∠BAD=30°，∴.∠B=15°；③如解图③，AD=-BD,AC=CD,∴.∠CAD= ∠ADC=75°，∠B=∠BAD.∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=37.5°.综上所 述，∠B的度数为60°或15或37.5°. 回归教材专题（三）角平分线十平行线→等腰三角形 1.C2.A3.B4.B5.(1)①证明：.AF平分∠DAC,.∠DAF=∠CAF .AF∥BC,.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB..∠B=∠ACB..AB=AC.. △ABC是等腰三角形.②解：AB=AC,∠B=40°，.∠ACB=∠B=40°. ∠ACE=180°-∠ACB=140.:CG平分∠ACE.∠E0G=2∠ACE=70 :AF∥BC,∴.∠AGC=∠ECG=70°.(2)解：EF=BE-CF,理由如下：：BO 平分∠ABC,CO平分∠ACD,∴.∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠DCO,.EO∥BC, ∴.∠EOB=∠OBC,∠OCD=∠EOC,∴.∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠EOC,∴. EO=BE,CF=FO,.EF=EO-OF,..EF=BE-CF. 重点突破专题（二）等腰三角形中的分类讨论 1.(1)D(2)17cm(3)252.43.(1)35°，35°(2)80°或20°4.(1)38°或 14°(2)69°或21°5.70°或20°【例】(1)3(2)1(3)6(4)86.A7.4 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的常用方法 1.证明：过点D作DM∥AC交BC于M.∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.: 「∠FDM=∠E, F是DE的中点，.DF=EF,在△DMF和△ECF中，DF=EF, /DFM=∠EFC, △DMF≌△ECF(ASA),∴.MD=CE..BD=CE,∴.MD=BD.∴.∠B= ∠DMB.,∠DMB=∠ACB,∴.∠B=∠ACB,∴.AB=AC.2.证明：延长CE 交AB于点F.AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD.CE⊥AD,∴.∠AEC= ∠AEF=90°.又AE=AE,∴.△AEC≌△AEF(ASA)..∠ACE=∠AFE.又 ∠AFE=∠B+∠DCE,∴.∠ACE=∠B+∠ECD.3.证明：延长BA,CD相交 于点Q.·∠CAQ=∠BDQ=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°.∴. I∠ABE=∠ACQ, ∠ACQ=∠ABE.在△ABE和△ACQ中，AB=AC, .∴.△ABE2△ACQ ∠BAE=∠CAQ, (ASA).∴.BE=CQ.'BD平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°，∴.∠Q=∠BCQ. .BQ=BC.又：BDLCQ,CD=DQ=号CQ.BE=CQ=2CD.4.证明：在 BC边上取点E,使BE=AB,连接ED.·BD平分∠ABC,∴·∠ABD=∠CBD. (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠CBD,.△ABD≌△EBD,·∠A= BD=BD. ∠BED=108°..∠DEC=180°-∠BED=72°..AB=AC,∠A=108°，.∠C =∠ABC=180°，∠A-36°∠EDC=180°-∠DBC-∠C=72°=∠DEC.: 2 CD=CE.,BC=BE+CE,BE=AB,∴.BC=AB+CD.5.解：（方法一：截长 法)在CD上截取DE=BD=2,连接AE.,'AD⊥BC,∴.AB=AE.∴.∠AEB= ∠ABC=2∠C.'∠AEB=∠C+∠EAC,.∠C=∠EAC.∴.AE=EC=CD- 185回归教材专题(三) 角平分线十平行线→等腰三角形 [教材P83习题T10变式与拓展 模型展示 5.(1)如图,点D,E分别是△ABC的边BA和 _#_#△_# BC延长线上的点,作 DAC的平分线AF, 若AF/BC. ① ② ③ ①求证:△ABC是等腰三角形; 如图①中,OC乎分AOB.CD//AO,则△COD ②作 ACE的平分线交AF于点G,若 B 是等腰三角形; =40{,求AGC的度数. 如图②中,CB平分ACD,AB//CD,则△ACB 是等腰三角形; 如图③中,AB平分△ACD的外角,AB//CD,则 △ACD是等腰三角形. 1.如图:△ABC中,CD平分ACB,DE/BC 交AC于点E,若△AED的周长是10,AC 6,则AD的长是 ( ) A.2 C.4 B.3 D.5 C 第1题图 第2题图 2.如图,△ABC中,BO,CO分别平分ABC和 ACB,OE//AB交BC于点E,OF//AC交 B$C于点F,若BC=12,AB=8,AC=6,则$$ (2)【T5(1)变式】如图,ABC的平分线与 OEF的周长是 ( _ △ACB外角 ACD的平分线交于点O.OE B.8 C.6 A.12 D.20 //BC,交AB,AC于点E,F.试探究EF,BE 3.如图,BC//AD,ABC的平分线交AD于点 CF间的数量关系,并说明理由, E, /BCD的平分线交AD于点F,若AB CD-3,AD-4,则EF的长是 ( ~ A.1 B.2 C.2.5 D.3 1 D 第3题图 第4题图 4.如图,在△ABC中,ABC,ACB的平分线 交于点O,过点O作EF/BC分别交AB,AC 于点E,F,若AB-5,AC=4,则△AEF的周 长是 ( ) A.8 C.10 B.9 D.11 55 八年级数学·上册 重点突破专题(二) 等要三角形中的分类讨论 类型一 针对腰长和底边长分类讨论 类型四 画等腰三角形时应分类讨论 1.(1)若等腰三角形的两边长分别是3cm和 解题技巧 在平面内找一个点,使它与另两 5cm,则这个等腰三角形的周长是 个定点构成一个等腰三角形的三个 A.8cm B. 13 cm 顶点的基本方法有两种,(1)分别以 C.8cm或13cm D.11cm或13cm 两定点中的一个点为圆心,以两点之 (2)【T1(1)变式1一个等腰三角形的两边长分 间的距离为半径作圆,该点在所作的圆上,如图,不与 别为3cm和7cm,则它的周长为 点M,B,点A.N重合;(2)连接两定点,作所连线段 (3)【T1(1)变式2]若实数x,y满足x-5+ 的垂直平分线,该点在所作的垂直平分线上. (y-10){-0,则以x,y的值为边长的等腰三 【例】如图,平面直角坐标系中,点A(2,1). 角形的周长是__. (1)点B是:轴上一点,若 △AOB是以OA为腰的等 2.已知一个等腰三角形的周长为16,其中一边 腰三角形,则符合条件的点 o1234x 长为4,则它的底边长为 B有_个; 类型二 针对顶角与底角分类讨论 (2)点B是x轴上一点,若△AOB是以OA为底的 3.(1)等腰三角形的一个内角为110{},则另外两 等腰三角形,则符合条件的点B有 个; 个内角的度数是 (3)点B在坐标轴上,若入AOB是以OA为腰的等 (2)【T3(1)变式】等腰三角形的一个外角为 腰三角形,则符合条件的点B有 个; 100{,则此等腰三角形的顶角的度数是 (4)点B在坐标轴上,若入AOB是等腰三角形, 则符合条件的点B有 个. 类型三 针对锐角、直角、钝角三角形分类讨论 【变式练习】 6.在平面直角坐标系中,A(2,2).B(4,0).若在 4.(1)等腰三角形有一个角为52{},它的一条腰 坐标轴上取点C,使△ABC是等腰三角形,则 上的高与另一条腰的夹角是 ( 满足条件的点C的个数是 _~ (2)【T4(1)变式】等腰三角形一腰上的高与另 C.7 A.5 B.6 D.8 一腰的夹角是48{},则这个等腰三角形的底角 7.在如图所示的正方形网格中,网格 的度数为 线的交点称为格点,已知A,B是两 5.在/\ABC中,AB一AC,AB的垂直平分线与 格点:若C也是图中的格点:则使得△ABC AC所在的直线相交成50{①}的角,则底角的度 是以AB为一腰的等腰三角形的点C的个数 是_ 数是 个. 助学助毂 优质高数 56