方法技巧专题(1)构造等腰三角形的常用方法-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

.DE⊥BC,.∠DEB=∠DEC=90°，∴.∠F+∠C=90°，∠B+∠BDE=90°.∴. ∠F=∠BDE.又∠ADF=∠BDE,∴.∠F=∠ADF.∴.AD=AF.∴.△ADF是等 腰三角形.4.110或72.5°或35°5.(1)解：(1)作线段AB=a:(2)作线段AB 的垂直平分线MN,与AB交于点D;(3)在MN上取一点C,使CD=b;(4)连接 AC,BC,则△ABC就是所求作的三角形.(2)解：图略.6.C7.608.25 9.(1)①③，①④，②③，②④(2)解：以①④为条件：，OB=OC,.∠OBC= ∠OCB,∠DBO=∠ECO,∴.∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠DBC= ∠ECB,.AC=AB,即 △ABC是等腰三角形. 10.(1)证明：如图2中， DE是线段AC的垂直平B D ) D 分线，.EA=EC,即解① 解② 解图③ △EAC是等腰三角形，∴.∠EAC=∠C,∴.∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,'∠B =2∠C,∴.∠AEB=∠B,即△EAB是等腰三角形.∴.AE是△ABC是一条等腰 分割线；(2)解：线段AD为等腰分割线，∴△ABD和△ACD都是等腰三角 形，①如解图①，AD=CD=BD,∴.∠C=∠CAD=30°，∴.∠ADB=∠C十 ∠CAD=30°+30°=60°，AD=BD,∴.∠B=60°；②如解图②，AD=BD=AC, AD=AC,∴.∠ADC=∠C=30°，：AD=BD,∴.∠B=∠DAB,∠ADC= ∠B+∠BAD=30°，∴.∠B=15°；③如解图③，AD=BD,AC=CD,∴.∠CAD ∠ADC=75°，∠B=∠BAD..∠ADC=∠B+∠BAD,∴.∠B=37.5°.综上所 述，∠B的度数为60°或15°或37.5°. 回归教材专题（三）角平分线十平行线→等腰三角形 1.C2.A3.B4.B5.(1)①证明：：AF平分∠DAC,∴.∠DAF=∠CAF. ,AF∥BC,.∠DAF=∠B,∠CAF=∠ACB.∴.∠B=∠ACB.∴.AB=AC.. △ABC是等腰三角形.②解：.AB=AC,∠B=40°，∴.∠ACB=∠B=40°. ∠ACE=180°-∠ACB=140.CG平分∠ACE,∠ECG=号∠ACE=70 AF∥BC,∴.∠AGC=∠ECG=70°.(2)解：EF=BE-CF,理由如下：，BO 平分∠ABC,CO平分∠ACD,∴.∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠DCO,EO∥BC, ∴.∠EOB=∠OBC,∠OCD=∠EOC,∴.∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠EOC,∴. EO=BE.CF=FO..EF=EO-OF,..EF=BE-CF. 重点突破专题（二）等腰三角形中的分类讨论 1.(1)D(2)17cm(3)252.43.(1)35°，35°(2)80°或20°4.(1)38°或 14°(2)69°或21°5.70°或20°【例】(1)3(2)1(3)6(4)86.A7.4 方法技巧专题（一）构造等腰三角形的常用方法 1.证明：过点D作DM∥AC交BC于M.∴.∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E., I∠FDM=∠E, F是DE的中点，.DF=EF,在△DMF和△ECF中，DF=EF, L∠DFM=∠EFC, △DMF≌△ECF(ASA),.∴.MD=CE.BD=CE,,∴.MD=BD..∴.∠B= ∠DMB.:∠DMB=∠ACB,∴.∠B=∠ACB,.AB=AC.2.证明：延长CE 交AB于点F.,AD平分∠BAC,∴.∠BAD=∠CAD.,CE⊥AD,∴.∠AEC= ∠AEF=90°.又AE=AE,∴.△AEC≌△AEF(ASA).∴.∠ACE=∠AFE.又 ∠AFE=∠B+∠DCE,∴.∠ACE=∠B+∠ECD.3.证明：延长BA,CD相交 于点Q.,∠CAQ=∠BDQ=90°，∴.∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°.∴. I∠ABE=∠ACQ, ∠ACQ=∠ABE.在△ABE和△ACQ中，AB=AC, ∴.△ABE≌△ACQ ∠BAE=∠CAQ, (ASA).∴.BE=CQ.,BD平分∠ABC,∠BDC=∠BDQ=90°，.∠Q=∠BCQ. BQ=BC.又：BD⊥CQ,∴CD=DQ=2CQ.BE=CQ=2CD.4.证明：在 BC边上取点E,使BE=AB,连接ED.,BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD. (AB=EB, 在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△EBD,.∠A= BD-BD. ∠BED=108°..∠DEC=180°-∠BED=72°.：AB=AC,∠A=108°，∴∠C =∠ABC=180°，∠A-36,∠EDC=180°-∠DEC-∠C=72°=∠DEC.: 2 CD=CE..BC=BE+CE,BE=AB,∴.BC=AB+CD.5.解：（方法一：截长 法)在CD上截取DE=BD=2,连接AE.,AD⊥BC,∴.AB=AE..∠AEB= ∠ABC=2∠C.∠AEB=∠C+∠EAC,.∠C=∠EAC.∴.AE=EC=CD -185 DE=6.AB=6.（方法二：补短法)延长DB至点F,使得BF=AB,连接AF,则 ∠F=∠BAF,∴.∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F.∠ABC=2∠C,∴.∠F= ∠C.∴.AF=AC.AD⊥FC,∴.FD=DC=8.BD=2,.FB=FD-BD=6. AB=FB=6. 13.3.2等边三角形 第1课时等边三角形的性质与判定 知识储备 1.相等相等60°2.(1)相等(2)60 基础练综合练素养练 1.D2.A3.(1)530(2)解：.AD是等边△ABC的BC边上的中线，∴.AD 平分∠BAC,∠BAC=60.·∠DAE=2∠BAC=30,:AD=AE,∠ADE= ∠AED=180DAE-75.∠ADE的度数是75、4.185.证明：AB 2 =AC,∴.∠B=∠C.DE⊥AB,DF⊥BC,∴.∠DEA=∠DFC=90°..D为AC 的中点，.DA=DC.又.DE=DF,∴.Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).∴.∠A= ∠C..∠A=∠B=∠C..△ABC是等边三角形.6.①②④7.C8.60° 9.(1)证明：，△ABC为等边三角形，.∠BAE=∠C=60°，AB=AC.在△ABE (AB-AC, 和△CAD中，∠BAE=∠C,.△ABE≌△CAD(SAS);(2)解：，△ABE≌ AE=CD, △CAD,∴.∠ABE=∠DAC.,∠BAF+∠DAC=∠BAC=60°，.∠BFD= ∠BAF+∠ABF=∠BAF+∠DAC=60°.10.证明：过点D作DF∥AB交BC 于F.,等边△ABC,∴.∠A=∠C=∠ABC=60°.，DF∥AB,.∠CDF=∠A =60°，∠CFD=∠ABC=60°，.∠DFP=∠EBP.∴.∠C=∠CDF=∠CFD,∴. CD=DF=CF.:P是DE的中点，.DP=EP.在△DFP和△EBP中， ∠DFP=∠EBP, ∠DPF=∠BPE,∴.△DFP≌△EBP(AAS).∴.DF=BE.又CD=DF,∴.CD DP=EP, =BE.11.解：(1)△DBC和△EAC全等.理由：等边△ABC和等边△DCE, ∴.BC=AC,DC=EC,∠ACB=60°，∠DCE=60°，∴.∠BCD=60°-∠ACD, ∠ACE=60°一∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC中， BC=AC, ∠BCD=∠ACE,∴.△DBC≌△EAC(SAS);(2)AE∥BC(3)AE∥BC.理由： DC=EC, .△ABC,△EDC为等边三角形.∴.BC=AC,DC=CE,∠BCA=∠DCE=60. ∴.∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△DBC和△EAC BC=AC, 中，∠BCD=∠ACE,∴.△DBC≌△EAC(SAS),∴.∠EAC=∠B=60°.又 CD=CE. ∠ACB=60°，.∠EAC=∠ACB.AE∥BC. 第2课时含30°角的直角三角形的性质 知识储备 一半 基础练综合练素养练 1.52.63.证明：∠A=90°，∠ABC=2∠C,∴∠ABC+∠C=90°=3∠C. 解得∠C=30°，∠ABC=60°.，BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD=30°.∴ ∠CBD=∠C.∴.BD=CD.在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴.BD=2AD.∴.CD= 2AD.4.B5.46.解：：△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC=8,∠A= ∠B=∠C=60°.D为AB的中点，∴.AD=BD=4,,DE⊥AC,EF⊥BC, ∠DEA=90°=∠EFC..∠ADE=180°-∠DEA-∠A=30°，∠FEC=180° ∠EFC-∠C=302.∴AE=2AD=号×4=2.CP=号EC=2×8-2)=3. BF=BC-CF=8-3=5.7.解：(1)过点P作PD⊥AB于点D.,∠PBD= 90°-60°=30°，∠PAB=90°-75°=15°，∴.∠APB=30°-15°=15°.∴.∠PAB= ∠APB.∴BP=AB=7海里：(2)：∠PBD=30,∠PDB=90∴PD=号PB 3.5海里.，3.5>3，.该轮船继续向东航行，没有触礁的危险. 模型构建专题（二）等腰三角形中的手拉手模型 1.B2.解：(2)BD=CE,∠BFC=60°，理由如下：△ABC和△ADE是等边三角 形，∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE 186方法技巧专题（一） 构造等腰三角形的常用方法 类型一利用平行线构造等腰三角形 类型二角平分线十垂线→等腰三角形 模型展示 模型展示 (1)角平分线十平行线→等腰三角形 如图，OE平分∠AOB,D是 D OA上一点，DC⊥OE于C,若延 D.c 长DC交OB于F,则△DOF是 B (OC平分∠AOB,D是OA 等腰三角形. OC平分∠AOB,D是O 上一点，DE∥OC交BO的 上一点，DE∥OB,则 2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD 廷长线于点E,则△DOE △ODE是等腰三角形， 于E.求证：∠ACE=∠B+∠ECD. 是等腰三角形 (2)作腰或底的平行线→等腰三角形. △ABC中，AB △ABC中，AB △ABC中，AB AC,DE∥AB.则 AC,DE∥AB,则 AC,DE∥BC,则 △EDC是等腰 △EDC是等腰 △ADE是等腰 三角形. 三角形. 三角形。 1.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在 AC的延长线上，且BD=CE,连接DE交BC 于点F,F恰为DE的中点.求证：AB=AC. 3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A =90°，BE是角平分线，CD⊥BE 交BE的延长线于点D.求证：BE =2CD. 57 八年级数学·上册 类型三利用截长补短法构造等腰三角形 类型四利用倍角关系构造等腰三角形 解题技巧：如果题干中出现了几条线段之间的 模型展示 在△ABC中，∠ABC=2∠ACB, 和差关系，一般考虑用截长补短作辅助线解题。 模型展示 与角平分线有关的截长补短 D B 角平分线十截长 角平分线十补短 图① 图2 图③ 1.图①中，作∠ABC的平分线BD,则△BDC是等 模型 腰三角形： 2.如图②，作∠ACE=∠ACB,交BA的延长线于点 E,则△BCE是等腰三角形； ∠1=∠2， ∠1=∠2， 3.如图③，延长CB至D,使BD=AB,则△ADC是 条件 ∠B=2∠C ∠ABC=2∠C 等腰三角形 在AC上取点E,使 延长AB至E,使 5.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD⊥ 方法 AE=AB,则△ECD AE=AC,则△EBD BC,垂足为D.若BD=2,CD=8,求AB的 是等腰三角形 是等腰三角形 长（用两种不同方法）. 4.如图，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC, BD平分∠ABC,交AC于D 求证：BC=CD+AB. 助学助散优质高数58