精品解析：河南省信阳市第七中学2024-2025学年九年级上学期12月学业水平检测数学试卷

九年级数学12月学业水平检测卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B. 在阳光的照射下，种子发芽 C. 氢气在氧气中燃烧生成水 D. 太阳绕着地球转 3. 若关于x的方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. 4或8 D. 0或8 4. 如下图，是的切线，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 在数中任取两个数作为点的坐标，该点刚好在二次函数图象上的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，经过原点，并与两坐标轴交于两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 关于的方程的一个根是1，则的值为________． 12. 平面直角坐标系中，若点与关于原点对称， 则_______． 13. 已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是_____． 14. 图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为_________． 15. 如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为________． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上 （1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1； （2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2； （3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积． 18. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 20. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 21. 结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 22. 河南灵宝苹果是全国农产品地理标志登记产品之一．如图1，给苹果树压枝，可以促进果树生长，提高果实品质．如图2是一棵苹果树的树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，测得树枝的末梢点B到地面的竖直高度为；现在其上一点M处向地面垂直拉线进行压枝，使得树枝近似呈抛物线形生长，该抛物线近似满足函数关系：，测得其最低点M到地面的距离（即拉线的长）为． （1）求点B的坐标和a的值． （2）经过压枝，树枝生长一段时间后，末端点C恰好落在上．为了不影响采光效果，B，C间的距离超过才算符合要求．试通过计算判断此次压枝是否符合要求． 23. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学12月学业水平检测卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，是中心对称图形的有（ ）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断后即可得解． 【详解】解：根据中心对称图形的概念，上述图形中第1、4两个图形为中心对称图形， 故选：B． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水加热到时会沸腾 B. 在阳光的照射下，种子发芽 C. 氢气在氧气中燃烧生成水 D. 太阳绕着地球转 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、在标准大气压下，水加热到时会沸腾，是必然事件，故本选项不合题意； B、在阳光的照射下，种子发芽，是可能事件，故本选项不合题意； C、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件，故本选项不合题意； D、太阳绕着地球转，是不可能事件，故本选项符合题意． 故选：D 3. 若关于x的方程mx2﹣mx+2=0有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 0 B. 8 C. 4或8 D. 0或8 【答案】B 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到△=（-m）2-4•m•2=0，解得m1=0，m2=8，然后根据一元二次方程的定义确定m的值． 【详解】根据题意得△=（-m）2-4•m•2=0，解得m1=0，m2=8， 而m≠0， 所以m的值为8． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 4. 如下图，是的切线，是直径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，利用切线的性质，以及圆周角定理得到、、，根据，利用等边对等角及外角性质求出度数，即可根据四边形的内角和求出度数． 【详解】解：连接， ∵是的切线，是直径 ， ，， ， ， ∴在四边形中，． 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点恰好落到边上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，求得和的度数是解题的关键． 依据旋转的性质可求得，的度数，依据等边对等角的性质可得到，进而即可解答． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 已知点在抛物线上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，抛物线开口向下，图象上的点离对称轴越近，其纵坐标越大，由此即可解答． 【详解】解：∵开口向下，对称轴， ∴离对称轴越近，相对应的y值越大， ∵， ∴， 故选：C． 7. 在数中任取两个数作为点的坐标，该点刚好在二次函数图象上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，先列表或画树状图展示所有等可能的结果，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率公式求这个事件的概率．也考查了点在二次函数图象上，则点的横纵坐标满足二次函数的解析式． 先画树状图得到所有6种等可能的结果，其中点，在二次函数图象上，然后根据概率公式即可计算出概率． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中点，在二次函数上， ∴在二次函数图象上的概率为． 故选：B． 8. 新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有361人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染，根据经过两轮传染后有361人患病，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共人被传染． 依题意得， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，经过原点，并与两坐标轴交于两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线，将已知条件集中到中解直角三角形． 连接，根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系可证为直径，由圆周角定理得到，在中，根据勾股定理计算可得的长，得到点A的坐标，根据圆心C为直径的中点，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的直径，即点C在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴ ∵圆心C为直径的中点， ∴圆心C的坐标为，即． 故选：B 10. 如图，一段抛物线：（），记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线与轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线的解析式，然后把点的坐标代入计算即可得解． 【详解】解：令，则， 解得，， ， 由图可知，抛物线在轴上方， 相当于抛物线向右平移个单位得到， 抛物线的解析式为， ∵在第13段抛物线上， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变化确定函数图象的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减． 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 关于的方程的一个根是1，则的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入，即可求解．本题主要考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程的根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根． 【详解】解：关于的方程的一个根是1， ∴将代入， ， 解得：， 故答案为：1． 12. 平面直角坐标系中，若点与关于原点对称， 则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，代入求值，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键． 【详解】解：∵点与关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知圆锥的高h＝2cm，底面半径r＝2cm，则圆锥的全面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积． 【详解】解：∵圆锥的高为2cm，底面半径为2cm， ∴圆锥的母线长为：＝4（cm）， 底面周长是：2×2π＝4π（cm）， 则侧面积是：×4π×4＝8π（cm2）， 底面积是：π×22＝4π（cm2）， 则全面积是：8π+4π＝12π（cm2） 故答案为：12πcm2． 【点睛】本题考查了圆锥的面积，掌握知识点是解题关键． 14. 图①是一款扫地机器人的实物图．其简易图如图②，为机身，点为机身上一定点，为刷头，刷头以点A为圆心，绕点A旋转形成的圆弧分别交于点C，D，已知点A，C，D在同一直线上，的半径，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，勾股定理的逆定理，连接，，，利用，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵点A，C，D在同一直线上， ∴是的直径， ∴ ． ∵的半径， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ， ∴． 故答案为：200． 15. 如图，是半的直径，点在半上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．如图，取的中点为，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点为，连接、， ， ， ， 在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， 是直径， ， 在中， ， ， 在中，， ， 当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为：， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，75分） 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）将方程右边的式子移到等号左边后，运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 配方，得， 即， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得，． 17. 图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上 （1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1； （2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2； （3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积． 【答案】 （1）如图所示，△A1BC1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）4π+2． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形； （2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形； （3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由题可得，△ABC扫过的面积==4π+2． 【点睛】考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 18. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200， 补全条形统计图如下： （2）810人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：结合两幅图可得：（人）， ∴本次调查总人数为200； ∵（人）， ∴喜欢自制地球仪的有50人； 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校参加环保调查学生人数约为810人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是． 19. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 20. 如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）4 【解析】 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则，，由，，得到，即，解得，从而，由（1）知，得到，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设⊙O的半径为r，则，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， 即，解得， ∴， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 21. 结果如此巧合！ 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，求的面积． 解：设的内切圆分别与相切于点的长为． 根据切线长定理，得． 根据勾股定理，得． 整理，得． 所以 ． 小颖发现12恰好就是，即的面积等于与的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索． 如图（2）所示，已知的内切圆与三边相切于点． 【探究发现】 （1）若，求证：的面积等于． 【逆向思维】 （2）若，求证． 【答案】 （1）设. 根据切线长定理，得，，. ∴，， ∵， ∴在中，， 即. 整理，得. ∴ . ∴的面积等于． （2）由（1）可知，， ∵， ∴. 整理，得. ∴ . ∴是直角三角形，. 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理及其逆定理，整式的运算，熟练掌握切线长定理，勾股定理及其逆定理是解题的关键。 （1）设,仿照例题利用勾股定理得，再根据即可得到； （2）由，得, 因此=,利用勾股定理的逆定理可得. 【详解】解：略． 22. 河南灵宝苹果是全国农产品地理标志登记产品之一．如图1，给苹果树压枝，可以促进果树生长，提高果实品质．如图2是一棵苹果树的树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，测得树枝的末梢点B到地面的竖直高度为；现在其上一点M处向地面垂直拉线进行压枝，使得树枝近似呈抛物线形生长，该抛物线近似满足函数关系：，测得其最低点M到地面的距离（即拉线的长）为． （1）求点B的坐标和a的值． （2）经过压枝，树枝生长一段时间后，末端点C恰好落在上．为了不影响采光效果，B，C间的距离超过才算符合要求．试通过计算判断此次压枝是否符合要求． 【答案】（1）， （2）此次压枝符合要求 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用． （1）由可得点B的纵坐标，代入函数中即可求出其横坐标，即可得到点B的坐标．由抛物线解析式得到顶点的坐标，根据压枝后树枝最低点M到地面的距离得到抛物线顶点的纵坐标，即可得到，求解即可； （2）把代入抛物线解析式，得到点C的坐标，从而求得的长，即可判断． 【小问1详解】 解：∵， ∴点B的纵坐标为1.35， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为； ∵ ∴顶点坐标为， ∵压枝后树枝最低点M到地面的距离（即拉线的长）为， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴压枝后树枝对应的抛物线解析式为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵， ∴， ∴此次压枝符合要求． 23. 【问题情境】：如图，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度（）点、的对应点分别为点，． 【问题解决】： （1）如图，在旋转的过程中，点落在了上．则 ； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长； （3）在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形， 理由如下：由旋转的性质得：，，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 解：∵点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上， 的最小值为， 当落在的延长线上时，， 最长， 线段长度的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $