山东省临沂市沂水县第三中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

2024-2025沂水三中高二数学12月考试题12.19 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在等差数列中，，，则（   ） A．1 B．0 C． D． 2．已知向量，，且，那么（   ） A． B． C． D．5 3．已知直线：，：，设甲：；乙：，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．若双曲线的离心率为，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．直线与以为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，动点到直线的距离比它到定点的距离小2，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是（   ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 D．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 8．设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于两点，，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 10．记等差数列的前项和为，，，则（　　） A． B． C． D． 11．双曲线：（a>0)的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则（    ） A． B． C．平行四边形各边所在直线斜率均不为 D． 三、填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在前项和为的等差数列中，，，则 ． 13．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为 14．已知，是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题 本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； 16．在数列中，数列满足 (1)证明数列是等差数列并求出通项公式. (2)数列的前n项和为，问是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 17．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 19．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为． (1)求的方程； (2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点． 沂水三中高二数学12月考试题12.19参考答案 1．A【详解】解：由等差数列的性质可知，所以． 2．C【详解】由向量，，且， 得，则，则.故选：C 3．B【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件.故选：B 4．D【详解】由题意知，双曲线的离心率，所以． 5．B【详解】易知到的距离为， 所以该圆的半径为，故该圆方程为：.故选：B 6．B【详解】由题意知动点到直线的距离与它到定点的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以，点的轨迹方程为.故选：B. 7．D【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B ，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，B选项错误； 对于C，若直线的方向向量为，平面的法向量为， 因为，所以，则或，C选项错误； 对于D，若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线与平面所成的角为，D选项正确，故选：D. 8．C 【详解】 由双曲线的对称性可知，，有四边形为平行四边形， 令，则， 由双曲线定义可知，故有，即， 即，， ， 则，即，故， 则有， 即，即，则，由，故.故选：C 9．BD【详解】对于A，当时，曲线为,此时表示圆，故A错误， 对于B，当时，，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 当时，此时曲线表示焦点在上的双曲线， 故当或时，曲线C是双曲线，B正确， 对于C, 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则满足，解得，故C错误， 对于D，曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，故，D正确， 10．ACD【详解】设等差数列的公差为， 又等差数列的前项和为，，， ∴，解得，，故A正确； ，故B错误； ，∴，故C正确； ，，∴，故D正确．故选：ACD． 11．AC【详解】由题意可得，，则，故A错误． 由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：， 则，值应为，所以B错误. 设任一边所在直线为（斜率存在时），联立双曲线， 联立得，则，即，C正确． 由，设：；，，， 联立得，∴，， 则， 设，则，∴， 又单调递减，则，∴，故，D错误． 12．【详解】由于，故，，两式相减得到.而，故.故答案为： 13．【详解】因为， 所以 ，.故答案为：. 14．7【详解】如图所示：     由题意，设为双曲线右焦点，线段与双曲线右支交于点， 所以，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为7.故答案为：7. 15．(1);(2)或; 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. （2）因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. 16．(1)证明见解析， (2)存在最大值，最大值为，此时或 【详解】（1）因为，所以， 则，即， 因为，所以，又，所以，， 所以是以首项，公差的等差数列，所以； （2）根据等差数列的前项和公式可得， 对于二次函数，其对称轴为， 因为，当或时，取得最大值， 当时，，当时，， 所以存在最大值，最大值为，此时或. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，准线的方程为，由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，，因为点在上，所以，整理得，，解得，故的方程为． （2）由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得，则，可得，，所以，又因为的面积为3，则，即，解得，故直线的斜率为． 18．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在，． 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示：∵为棱的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形是平行四边形，∴， 又平面，平面，∴平面． （2）∵，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴，而，， ∴以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵为棱的中点，∴（i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面的一个法向量为，∴， 根据图形得二面角为锐角，则二面角的余弦值为 （ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则， 由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点到平面的距离是， ∴，∴． 19．(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：的周长为， 由已知可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）解：由可得. 若直线的斜率不存在，设点、，则，其中， 则，， 所以，，不合乎题意. 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，得， ，即， ， 因为，， 由，得， 即， 则， 整理得，解得. 所以，直线的方程为，过定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$