精品解析：黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

哈九中2024级高一学年12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解对数不等式和一元二次不等式，得到集合,再利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 则. 故选：C. 2. 已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决． 【详解】， 因为，且函数在R上单调递减， 所以，解得， 因为能推出， 不能推出． 所以，使成立的一个充分不必要条件为． 故选：B． 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，利用作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，若，，因此A错误； 对于B，，则，即，因此B错误； 对于C，由，又，，则，，因此，即，因此C错误； 对于D，由，又， 则，，因此，即，因此D正确； 故选：D. 4. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积. 【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：， 则此扇形的面积为：， 故选：D 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 6. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用列方程，结合对数运算求得. 【详解】根据题意，所以，所以， 所以，得. 故选：C. 7. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性可排除选项B，根据时可确定选项. 【详解】设，则， ∴函数为奇函数，选项B错误. 当时，， 由得，， ∴，∴，CD错误，选项A符合要求. 故选：A. 8. 已知，则方程实数根的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由方程先求出或或，再解方程即可． 【详解】解：①当时， ， 解得，， 或， 或， 故或； ②若，则， 或， 或， 若，则或， 则或或； 若，则或， 则（舍去）或或， 综上所述，方程实数根的个数是7， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下面说法正确的有（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 角α为第四象限角的充要条件是 D. 若角α的终边上一点P的坐标为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D. 【详解】对于A，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确； 对于B，易知终边在直线上的角α可表示为，即B错误； 对于C，易知第四象限角的余弦为正数，故C错误； 对于D，由三角函数的定义可知角α的终边上一点的坐标为，则，故D正确； 故选：AD. 10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 【答案】AC 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D. 【详解】因为正实数满足，所以 ，当且仅当时等号成立，A正确； ，当且仅当时等号成立，B错误； ，，当且仅当时等号成立，C正确； ，当且仅当时等号成立，D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，令得； B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性； C选项，赋值得到； D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集. 【详解】A选项，令得，∴，A正确； B选项，任选，且，中，令，得， 因为当时，，又，所以， 故， 所以在定义域上单调递增，B正确； C选项，中，令得， 故， 故，C错误； D选项，因为，所以，中，令得， ∵，∴， 由于在定义域上单调递增，故，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式化简即可； 【详解】， 故答案为：. 13. 已知定义域为的奇函数，则的值为______. 【答案】0 【解析】 【分析】由奇函数的定义得到定义域关于原点对称求出参数，再由求出参数以及，然后求的值 【详解】∵定义域为， ∴，∴， ∵，即 ∴， ∴， ∴. 故答案为：0 14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案； 对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案. 【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则； 对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象， 与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解. ，当且仅当， 即时取等号，故答案为：. 故答案为：3；. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）1；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的诱导公式直接化简即可； （2）由同角的三角函数平方关系计算即可； （3）由同角的三角函数的商数关系和平方关系计算即可； 【详解】（1）. （2）因为， 所以，所以， 所以， 又，故，，则， 所以. （3）因为， 所以. 16. 已知函数且 （1）求函数解析式； （2）求函数在上的值域； （3）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由列式求出即得函数解析式. （2）令，求出二次函数在闭区间上的最值即可得值域. （3）令，将方程有解问题转化为函数图象有交点问题求解. 【小问1详解】 函数中，由，得，即， 而且，解得，所以. 【小问2详解】 令，当时，，则， 当时，；当时，，所以在上的值域为. 【小问3详解】 令，当时，， 方程在上有解等价于函数的图象与直线在时有交点， 由（2）得，在时的值域为， 因此，解得， 所以实数m的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若，求函数的定义域； （2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数m的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对数函数的真数大于零解不等式即可； （2）由对数型复合函数的单调性求解即可； （3）由对数的单调性和基本不等式求解即可； 【小问1详解】 时，可知， 【小问2详解】 易知u定义域内单调递增，在上单调递减， 所以要满足题意需； 【小问3详解】 由， 整理得：时，恒成立， 易知，当且仅当时取得最大值，即． 故最小值为． 18. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）0和4 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数不动点定义求解即可； （2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可； （3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可； 【小问1详解】 函数的不动点即为的实数根， 当时，问题转化为方程的实数根，解得或， 所以函数的不动点为0和4； 【小问2详解】 由题意可得方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，且， 设， 令，解得， 所以实数b的取值范围为； 【小问3详解】 由题意可知，2为方程即的两根， 则，解得， 从而， 因为对任意，总存在，使得成立，即， 由题可知的值域是值域的子集， 因为在上是减函数，则， 即的值域为， 因为且， 当时，，不合题意舍， 当时，在上是增函数，则， 因为，则，解得， 当时，在上是减函数，则， 因为，则，解得， 故m的取值范围是或. 19. 已知函数 （1）当时，解不等式； （2）当时，求与的交点的横坐标； （3）当为偶函数时，，，恒成立，求λ取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用函数的单调性和指数函数的性质求解即可； （2）令再结合指数函数和对数函数的互化求解即可； （3）由偶函数的性质和指数函数的化简求出，再由指数函数的运算求出等号左边为零，右边结合基本不等式求解即可； 【小问1详解】 当时，，所以不等式， 即， 设，易知单调减函数， 所以. 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，，， 所以， 令， 解得或（舍去）， 所以，所以. 【小问3详解】 ， 即， 通分， 化简可得， 所以或（舍去）， 所以， ， ， 当且仅当即时取等号， 恒成立，即恒成立， 只需. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2024级高一学年12月月考数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 设，则（ ） A. B. C. D. 6. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 7. 函数的图象大致为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，则方程实数根的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分） 9. 下面说法正确的有（ ） A. 化成弧度是 B. 终边在直线上的角α的取值集合可表示为 C. 角α为第四象限角的充要条件是 D. 若角α的终边上一点P的坐标为，则 10. 设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（ ） A. 有最小值1 B. 有最小值2 C. 有最大值 D. 有最大值8 11. 已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递增 C. D. 满足不等式的的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. ________． 13. 已知定义域为的奇函数，则的值为______. 14. 给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （1）化简：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值. 16. 已知函数且 （1）求函数解析式； （2）求函数在上的值域； （3）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，求函数的定义域； （2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； （3）若对于恒成立，求实数m的最小值． 18. 对于函数在其定义域内存在实数，使成立，则称是的一个不动点．已知函数． （1）当时，求函数的不动点； （2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围： （3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 19. 已知函数 （1）当时，解不等式； （2）当时，求与的交点的横坐标； （3）当为偶函数时，，，恒成立，求λ取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $