专题拓展：原函数与导函数混合构造（8大题型）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

专题拓展：原函数与导函数混合构造 常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 题型一 与的直接构造 【例1】（23-24高二下·广西贵港·期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·月考）设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为 ． 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 题型二 构造型函数 【例2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 构造型函数 【例3】（23-24高二下·湖北十堰·月考）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·山东烟台·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 题型四 构造型函数 【例4】（23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为 ． 【变式4-2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 构造型函数 【例5】（23-24高二下·福建·期中）设在上存在导数，满足，且有的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·江苏·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型六 构造型函数 【例6】（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为 . 【变式6-3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是 . 题型七 构造与三角型函数 【例7】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·重庆·月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·河北承德·月考）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 题型八 其他类型的函数构造 【例8】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·四川内江·月考）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·福建南平·月考）定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：原函数与导函数混合构造 常见的导函数与原函数混合构造类型 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 题型一 与的直接构造 【例1】（23-24高二下·广西贵港·期末）已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，所以单调递减． 由， 得，所以．故选：B. 【变式1-1】（23-24高二下·海南省直辖县级单位·月考）设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，，令， 则， 故为上的奇函数， 因为当时，， 即时，， 所以在区间上单调递减， 所以奇函数在区间上也单调递减， 又，所以，所以， 所以当时，.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·宁夏银川·期末）已知函数是R上的奇函数，函数是R上无零点的偶函数，若，且在恒成立，则的解集为 ． 【答案】 【解析】因为，设，可知的定义域为，关于原点对称， 由题意可得：，可知为奇函数， 又因为， 且在恒成立，即， 可得在恒成立，可知在内单调递增， 可知在内单调递增， 又因为，可得，则， 对于不等式，显然不合题意，则有： 若，可得，即，解得； 若，可得，即，解得； 综上所述：的解集为. 【变式1-3】（23-24高二下·上海·期末）设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，，且，则不等的解集是 ． 【答案】 【解析】、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以、， 令，则， 因此函数在上是奇函数， 当时，， 在上单调递增，在上单调递增，且， ， 因为，， 所以时，，时，， 时，，时，， 不等式的解集是. 题型二 构造型函数 【例2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，故单调递减， 即，得，解得：.故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式可化为， 设，则原不等式可化为， 对函数求导，得， 因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数，所以． 故不等式的解集为.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为.故选：B 【变式2-3】（23-24高二下·湖南郴州·期末）设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，得到， 因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在上单调递减； ，， 所以， 因为，所以 即，所以， 由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D 题型三 构造型函数 【例3】（23-24高二下·湖北十堰·月考）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得， ，解得，即解集为.故选：A 【变式3-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,．故选：B． 【变式3-2】（23-24高二下·山东烟台·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24高二下·浙江·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】令，则， 因为，所以当时，， 易知函数在单调递增，所以， 即可得在上单调递减， 由不等式可得； 即，因此可得，解得. 即不等式的解集为. 故答案为： 题型四 构造型函数 【例4】（23-24高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以当时，，当时，， 所以不等式的解集为.故选：D. 【变式4-1】（23-24高二下·重庆·期中）已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为， 令，，则， 所以在上单调递增， 不等式，即， 即，所以，解得， 即不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二下·湖北武汉·期中）函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，可设，， 则，即函数在上为减函数, 因，则，由可得，即， 故得，即在上恒成立. 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则时，取得最小值，故，又，故.故选：B. 【变式4-3】（23-24高三上·江苏苏州·月考）已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 故当时，恒成立， 故在上单调递减， 又为奇函数，，故 且定义域为， ， 故为偶函数，则在单调递增， 且， 当时，要想使得，则要，故， 当时，要想使得，则要，故， 故使得成立的x的取值范围为.故选：A 题型五 构造型函数 【例5】（23-24高二下·福建·期中）设在上存在导数，满足，且有的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令， 则， 所以函数在上单调递增，又由题， 所以，即，即的解集为，故选：D. 【变式5-1】（23-24高二下·浙江丽水·期中）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 因，故得，即在上为减函数. 对于A项，因，则，即，即，故A错误； 对于B项，因，则，即，即得，故B错误； 对于C项，因，则，即，即得，故C错误； 对于D项，因，则，即，即得，故D正确.故选：D. 【变式5-2】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，该函数的定义域为， 则， 所以，函数在上为增函数，且， 由可得，即，解得. 所以，不等式的解集为.故选：A. 【变式5-3】（23-24高二上·江苏·月考）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令， ， ， 在上单调递减， 又，， 不等式可化为，，故选：B. 题型六 构造型函数 【例6】（23-24高二下·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 对任意实数x，有， 所以，则在上单调递减. 因为为奇函数，且的定义域为R， 所以，所以，所以. 因为，所以求不等式的解集， 即求的解集，即求的解集， 因为在上单调递减，所以的解集为， 所以不等式的解集为.故选：B 【变式6-1】（23-24高二下·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 所以不等式等价转化为不等式，即， 构造函数，则， 由题意，，所以为上的增函数， 又，所以， 所以，解得，即， 所以.故选：B 【变式6-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，若，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】，则， 故在上单调递减， 因为， 故有， 即有，则， 即，则，故为周期为8的周期函数， 由，故， 由，故， 即，故， 即有，则， 对，有，即有， 由在上单调递减，故， 即不等式的解集为. 故答案为：. 【变式6-3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得. 则不等式的解集为. 故答案为： 题型七 构造与三角型函数 【例7】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 所以函数单调递增， ， 即，得，所以， 所以不等式的解集为.故选：D 【变式7-1】（23-24高二下·重庆·月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为，故选：B 【变式7-2】（23-24高二下·河北承德·月考）定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由且，得是奇函数， 令，当时，，则在是减函数， 显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数， 不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集为.故选：B 【变式7-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 故在定义域上是增函数，所以， 即，所以.故选：D. 题型八 其他类型的函数构造 【例8】（23-24高二下·江苏扬州·期中）已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，即， 设，，则由可得，在上单调递增. 又， 由可得，，即，解得.故选：A. 【变式8-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的定义域为，且恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为即， 则， 所以在上单调递增， 故若，即，即， 由定义域及单调性可得，， 所以不等式的解集为.故选：A. 【变式8-2】（23-24高二下·四川内江·月考）已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， ∵，∴， ∴，即在定义域R上单调递减． ∵，∴， ∴不等式等价于，即，解得，故选：D． 【变式8-3】（23-24高二上·福建南平·月考）定义在R上的连续函数满足为偶函数，当时，，其中是的导数.若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记，则, 由题意，知当时，，即， 则在上单调递增，所以, 因为是偶函数，所以是奇函数，所以在R上单调递增, 又，即， 所以，即对任意恒成立.令， 则，由，得；当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即实数a的取值范围为，故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$