4.2.1 等差数列的概念（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念 题型一 等差数列的概念 1．（23-24高二上·福建莆田·月考）（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【解析】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列.故选：ABD. 2．下列数列是等差数列的是（    ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【解析】∵，故排除A； ∵，故排除B； ∵，故排除C， 常数列是等差数列，故D正确.故选：D． 3．（23-24高二下·江西上饶·期中）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列；故选：A 4．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件.故选：A, 题型二 等差数列的证明 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·月考）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)，；(2)证明见解析. 【解析】（1）数列的前n项和, 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 2．（23-24高二上·天津蓟州·月考）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)证明：数列（为常数）为等差数列. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由题意知数列满足①， 则时，； 当时，②， 则②-①得：，故，也适合该式， 故； （2）由（1）得，设， 则为常数， 故数列（为常数）为等差数列. 3．（23-24高二上·河南郑州·月考）已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见及解析；(2) 【解析】（1）证明：, 又， ∴数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， 因为，所以 ∴数列的通项公式为. 4．（23-24高二上·山东聊城·月考）已知数列满足，，其中为的前项和，求. 【答案】. 【解析】数列中，，又当时，， 由，得，整理得， 显然有，得，同理可得，，以此类推，对任意的，， 因此，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 因此，所以. 题型三 等差数列的通项与基本量计算 1．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等差数列中，，，则公差 d 等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】在等差数列中，，所以.故选：A. 2．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】设公差为，则：， ．故选：B． 3．（23-24高二上·河南·月考）已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得 所以故故选：B. 4．（23-24高二上·天津·月考）已知等差数列满足，则的值为 . 【答案】3 【解析】由等差数列通项公式得， 即，故， . 故答案为：3 题型四 等差中项及其应用 1．（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 【答案】6 【解析】因为，b，成等差数列， 所以，解得. 故答案为：6 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 【答案】5 【解析】因为三个数19，，31成等差数列， 所以. 故答案为：5 3．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知数列是等差数列，，则 ． 【答案】 【解析】根据等差数列的性质，得， 所以，所以． 故答案为：． 4．（22-23高二下·辽宁大连·月考）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为 【答案】2 【解析】设等差数列的公差为d， 由已知条件，得， 即，解得. 故答案为：2. 题型五 等差数列的性质 1．（23-24高二上·河北·月考）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】A 【解析】在等差数列中，，则， 因此．故选：A． 2．（23-24高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.故选：B. 3．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 【答案】B 【解析】∵数列为等差数列，，所以 ∴.故选：B 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 【答案】C 【解析】在等差数列中，，， 则.故选：C. 题型六 设元法巧解等差数列 1．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 【答案】 【解析】由等差数列，设三数依次为，为公差． 由题意得：，解得． 故答案为： 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【答案】4，3，2 【解析】设这三个数依次为， 由题意可得，解得， 所以这三个数4，3，2. 3．已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数． 【答案】2，4，6，8或8，6，4，2． 【解析】设此四个数分别为：，，，． 由题意可得：，． 解得，． ∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2． 4．已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数. 【答案】见解析 【解析】根据题意设这5个数分别为, 则,即, 解得. 当时,这5个数分别为 ； 当时,这5个数分别为. 题型七 构造等差新数列 1．（23-24高三上·天津·月考）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【答案】 【解析】设等差数列的公差为，则， 所以， 设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为， 则新的等差数列的公差为，首项为， 所以新数列的通项公式为， 故. 故答案为：. 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【答案】(1)；(2)是 【解析】（1）设已知的等差数列为，易知， 则， 则， 由题意知：. （2）令， 故是新数列中的项. 3．已知等差数列的首项为，公差为d，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？ 【答案】是，3d， 【解析】等差数列的首项为，公差为d， 若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列， 故，即数列是等差数列，公差为， ，则， 令，即， 即，解得， 即为数列的第项. 4．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为； （3）是等差数列，首项为，公差为； 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【解析】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 题型八 等差数列的实际问题 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 【答案】C 【解析】山顶与山脚的温度差为， 因为每升高100m，气温降低， 所以山顶相对于山脚的高度为（m）.故选：C. 2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35厘米，第5级的宽为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第3级的宽度是（    ） A．39厘米 B．40厘米 C．41厘米 D．42厘米 【答案】A 【解析】设公差为，由题意可得， 则，解得， ∴．故选：A． 3．（23-24高三上·河北保定·月考）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（    ） A．33 B．34 C．36 D．37 【答案】B 【解析】设没剪之前正方形的边数为，即， 沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开得到一个三角形和一个四边形，， 然后无论是选择三角形或四边形，剪一次后边数都增加3， 所以可知次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列，即， 故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为，故选：B. 4．（23-24高二下·河南·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 【答案】C 【解析】设十二个节气分别对应等差数列中的前12项，且的公差为， 根据题意，有， 则，解得， 所以立夏的影长为．故选：C． 1．（23-24高二上·山东泰安·月考）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数， 所以，即，解得，故D正确.故选：D. 2．（23-24高二上·山西吕梁·月考）在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 【答案】A 【解析】因为，得， 又因为，得， 可得数列的公差，则， 所以．故选：A． 3．（23-24高二上·河北保定·月考）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” 【答案】C 【解析】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以. 又， 所以 则， ， 所以，不是等差数列， 所以AB不正确. 对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确. 对于D，因为 ， 所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.故选：C 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．是递增数列 【答案】AC 【解析】，故A正确； 当时，， 当时，，不适合上式，故B错误； 从第2项开始为等差数列，所以其偶数项构成等差数列，故C正确； 因为，故D错误.故选：AC. 5．（23-24高二上·安徽合肥·周测）数列满足，，当时，，当时，，，则当时，m的最小值为 ． 【答案】933 【解析】当时，由，可得， 即，∵， ∴数列是以1862为首项，以为公差的等差数列 由等差数列的通项公式可得， 当时，有，当时，，∴， 所以所求的的最小值为933， 故答案为：933. 6．（23-24高二上·山东潍坊·期中）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ． 【答案】 【解析】设彗星出现的年份为数列 由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为，首项为的等差数列， 所以， 令，即， 解得，又，所以， 所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为次. 故答案为：. 7．（23-24高三上·广东汕头·）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在使是等差数列，理由见解析 【解析】（1）由于，且， 所以当时，得，故， 从而. （2）数列不可能为等差数列，理由如下： 由， 得，， 若存在，使为等差数列，则， 即，解得， 于是，， 这与为等差数列矛盾．所以，不存在使是等差数列 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.1 等差数列的概念 题型一 等差数列的概念 1．（23-24高二上·福建莆田·月考）（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 2．下列数列是等差数列的是（    ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 3．（23-24高二下·江西上饶·期中）下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二 等差数列的证明 1．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·月考）设为数列的前n项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 2．（23-24高二上·天津蓟州·月考）设数列满足. (1)求的通项公式； (2)证明：数列（为常数）为等差数列. 3．（23-24高二上·河南郑州·月考）已知数列，满足，，记. (1)试证明数列为等差数列； (2)求数列的通项公式． 4．（23-24高二上·山东聊城·月考）已知数列满足，，其中为的前项和，求. 题型三 等差数列的通项与基本量计算 1．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）在等差数列中，，，则公差 d 等于（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高三下·广东佛山·模拟预测）已知数列是等差数列，若，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 3．（23-24高二上·河南·月考）已知数列是首项为3，公差为1的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·月考）已知等差数列满足，则的值为 . 题型四 等差中项及其应用 1．（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知，.若a，b，c成等差数列，则 . 2．（23-24高二上·甘肃兰州·期中）已知三个数19，，31是等差数列，则 . 3．（23-24高二上·安徽滁州·月考）已知数列是等差数列，，则 ． 4．（22-23高二下·辽宁大连·月考）已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为 题型五 等差数列的性质 1．（23-24高二上·河北·月考）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 2．（23-24高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，若，则（    ） A．4 B．5 C． D． 3．（23-24高二上·河南南阳·月考）已知等差数列中，，则（    ） A．30 B．15 C．5 D．10 4．（23-24高二上·福建莆田·期中）在等差数列中，，，则（    ） A．39 B．76 C．78 D．117 题型六 设元法巧解等差数列 1．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 2．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 3．已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数． 4．已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数. 题型七 构造等差新数列 1．（23-24高三上·天津·月考）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 3．已知等差数列的首项为，公差为d，若以第2项为首项，每隔两项取出一项组成一个新的数列，那么这个数列是等差数列吗？若是，求其公差，其中为数列的第几项？ 4．已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 题型八 等差数列的实际问题 1．（23-24高二上·云南昭通·期末）夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.6℃，已知山顶的气温是15.8℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（    ）． A．1500m B．1600m C．1700m D．1800m 2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图所示，已知某梯子共有5级，从上往下数，第1级的宽为35厘米，第5级的宽为43厘米，且各级的宽度从小到大构成等差数列，则第3级的宽度是（    ） A．39厘米 B．40厘米 C．41厘米 D．42厘米 3．（23-24高三上·河北保定·月考）现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（    ） A．33 B．34 C．36 D．37 4．（23-24高二下·河南·月考）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至开始的十二个节气依次为冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，其日影长依次成等差数列，其中雨水、惊蛰两个节气的日影长之和为16尺，且最前面的三个节气日影长之和比最后面的三个节气日影长之和大18尺，则立夏的日影长为（    ） A．4尺 B．4.5尺 C．5尺 D．5.5尺 1．（23-24高二上·山东泰安·月考）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·月考）在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 3．（23-24高二上·河北保定·月考）若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是 “平方递推数列” D．是 “平方递推数列” 4．（23-24高二上·河南·期末）（多选）已知数列的前项和，则（    ） A． B． C．是等差数列 D．是递增数列 5．（23-24高二上·安徽合肥·周测）数列满足，，当时，，当时，，，则当时，m的最小值为 ． 6．（23-24高二上·山东潍坊·期中）诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次．从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为 ． 7．（23-24高三上·广东汕头·）数列{an}满足，是常数． (1)当时，求及的值； (2)是否存在实数使数列为等差数列？若存在，求出及数列的通项公式；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$