第五章：一元函数的导数及其应用（单元测试，提升卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

第五章：一元函数的导数及其应用 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·安徽·月考）设函数的导函数为，则（    ） A． B． C．7 D．25 2．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 3．（23-24高二下·福建宁德·月考）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东临沂·月考）函数在时有极小值0，则（    ） A．4 B．6 C．11 D．4或11 7．（24-25高二上·江苏南京·月考）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·辽宁大连·月考）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广西·月考）下列命题正确的有（    ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 10．（23-24高二下·河北衡水·月考）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（    ） A．在上为减函数 B．当时， C． D．在上有且只有1个零点 11．（23-24高二上·陕西西安·月考）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·江西·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 13．（23-24高二下·安徽·月考）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 14．（23-24高二下·福建龙岩·月考）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 16．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 17．（23-24高二下·宁夏银川·月考）已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 18．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 19．（23-24高二下·河南南阳·月考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； (3)设，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章：一元函数的导数及其应用 （试卷满分150分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高二下·安徽·月考）设函数的导函数为，则（    ） A． B． C．7 D．25 【答案】A 【解析】函数，求导得， ， 所以．故选：A 2．（23-24高二下·河北邢台·月考）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 【答案】A 【解析】令， 则，则， 所以.故选：A 3．（23-24高二下·福建宁德·月考）设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以.故选：C. 4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则则，则则 则则.故选：A. 5．（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，若函数在区间上单调递减， 即在上恒成立， 即在[1,2]上恒成立. 令，则在上单调递减，, 所以,,即故选：C. 6．（23-24高二下·山东临沂·月考）函数在时有极小值0，则（    ） A．4 B．6 C．11 D．4或11 【答案】C 【解析】， 因为在时有极小值0， 所以，解得或， 当时，恒成立， 所以在上单调递增，没有极值，舍去； 当时，， 令，解得或， 所以当时，为单调递减函数； 当或时，为单调递增函数； 所以在处取得极小值，满足题意， 所以，故选：C. 7．（24-25高二上·江苏南京·月考）过点且与曲线相切的切线斜率不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得， 设切点为， 则切线斜率，即切线方程为， 又切线过点， 则，整理可得， 解得或或， 则切线斜率为或或，故选：D． 8．（23-24高二下·辽宁大连·月考）设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解析】由题意可得，即， 所以， 又，所以在上单调递增， 即，所以， 且， 令，， 则，其中， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值， 所以，， 所以.故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·广西·月考）下列命题正确的有（    ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【解析】对于A，，故A错误． 对于B，，故B正确． 对于C,，若，则即，故C正确． 对于D，，故，故，故D错误．故选：BC． 10．（23-24高二下·河北衡水·月考）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（    ） A．在上为减函数 B．当时， C． D．在上有且只有1个零点 【答案】BCD 【解析】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 11．（23-24高二上·陕西西安·月考）已知非常数函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为非常数函数及其导函数的定义域均为， 若为奇函数，则， 则的图象关于点对称，且，故A错误； 因为为偶函数，所以，即， 则，又，所以， 所以，即，所以， 故的周期为8，所以，， 在中，令，得，所以，故B正确； 对两边同时求导，得， 所以导函数的周期为8，所以，故C正确； 由周期，得，， 对两边同时求导，得，令，得， 所以，故D正确.故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二下·江西·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由求导得， ， 因，则当，即，即时，取得最小值2， 故该质点的瞬时速度的最小值为． 故答案为：2. 13．（23-24高二下·安徽·月考）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 【答案】 【解析】，即 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 所以在区间上有解，所以 令，，则 令，则在上单调递增，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高二下·福建龙岩·月考）若函数在区间无零点但有2个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意在区间无解， 即在区间无解，设，则， 所以当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大时，趋于无穷大，所以； 又函数在区间有2个极值点， 所以在区间有2两个不同解， 即在区间有2两个不同解， 设，则， 所以当时，，在单调递减， 当当时，，在单调递增， 所以，显然当趋于无穷大和0时，都趋于无穷大， 所以，所以，所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)，；(2)或 【解析】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 16．（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知函数. (1)在上是增函数，求a的取值范围； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，所以的定义域为， 则， 因为在上是增函数，即在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以，则， 所以，则. （2）由（1）得， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 17．（23-24高二下·宁夏银川·月考）已知函数． (1)若，求a的取值范围． (2)点在的图象上，设函数，求在上的值域． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1），故在上单调递增， 则有，故，即； （2）由在的图象上，则，即，得， 则，， 令，可得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极大值，， 当时，取得极小值，， 又， 所以在上的值域为. 18．（23-24高二下·安徽马鞍山·月考）已知函数，. (1)若对于任意，都有，求实数的取值范围； (2)若函数有两个零点，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）结合题意：对于任意，都有，所以， 因为，所以只需，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以只需； （2）等价于， 设函数，，易知在区间上单调递增；上单调递减， 由知且，， 设函数，其中， 知， 知在区间上单调递增，即时， 即时，， 即， 又由已知由且， 有且，由在上单调递减， 所以，即. 19．（23-24高二下·河南南阳·月考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； (3)设，证明：. 【答案】(1)0.48；(2)，证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）令，则，， ，， 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故． （2）结论：，证明如下： 令，，则 令，则， 故在上单调递增，，则 故在上单调递增，， 即证得，故． （3）由（2）可得当时，， 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， 而， 即有 故 而， 即证得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$