福建省泉州市晋江市养正中学2024—2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷　

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上） 第一次月考数学试卷 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1．（4分）要使有意义，则x的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 2．（4分）将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　） A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　） A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6 5．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 6．（4分）若，则x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≤﹣2 C．x≤2 D．x≥2 7．（4分）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 8．（4分）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或8 C．48或8 D．8 9．（4分）已知＝a，＝b，则用a、b表示为（　　） A． B． C． D． 10．（4分）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（　　） A．±2020 B．﹣ C．﹣2020 D．± 二、填空题（每小题4分，共6小题，共24分） 11．（4分）化简：＝　 　． 12．（4分）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　 　． 13．（4分）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根，则2m2﹣10m﹣1＝　 　． 14．（4分）若为整数，x为正整数，则x的值是 　 　． 15．（4分）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　． 16．（4分）阅读理解 对于任意正整数a，b，∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．若m＞1，有最小值为　 　． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（12分）计算： （1）； （2）． 18．（12分）解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2﹣4x+3＝0． 19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1． 20．（8分）求+的值 解：；设x＝+， 两边平方得：x2＝（）2+（）2+2， 即x2＝3++3﹣+4，x2＝10 ∴x＝±． ∵+＞0， ∴+＝ 请利用上述方法，求+的值． 21．（8分）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，AB的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，AB的长是多少米？ 22．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 24．（10分）阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　 　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　 　； （3）若＝6，求a的取值． 25．（12分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （2）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，则3a2+3b2﹣1的值． （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学九年级（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A C C C C B D C 一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分） 1．（4分）要使有意义，则x的值可以是（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0， 解得：x≥2， 则x的值可以是2， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 2．（4分）将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（　　） A．﹣8、﹣10 B．﹣8、10 C．8、﹣10 D．8、10 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可． 【解答】解：x2﹣8x＝10， x2﹣8x﹣10＝0， 所以一次项系数、常数项分别为﹣8、﹣10， 故选：A． 【点评】本题考查了对一元二次方程的一般形式的应用，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号． 3．（4分）下列计算正确的是（　　） A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2 【分析】利用二次根式的性质可知答案． 【解答】解：A.，符合题意； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的性质，关键是熟记性质进行计算． 4．（4分）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，配方后正确的是（　　） A．（x+1）2＝3 B．（x+1）2＝6 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣1）2＝6 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【解答】解：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 5．（4分）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36． 【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36， 故选：C． 【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 6．（4分）若，则x的取值范围是（　　） A．x＝2 B．x≤﹣2 C．x≤2 D．x≥2 【分析】根据算术平方根的非负性即可求解． 【解答】解：∵， ∴2﹣x≥0， ∴x≤2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了算术平方根，掌握算术平方根的双重非负性是解题的关键． 7．（4分）已知关于x的方程（k﹣3）x|k|﹣1+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程，则k的值应为（　　） A．±3 B．3 C．﹣3 D．不能确定 【分析】利用一元二次方程的定义，可得出关于k的不等式及方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的方程（k﹣3）x2+（2k﹣3）x+4＝0是一元二次方程， ∴， 解得：k＝﹣3， ∴k的值应为﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 8．（4分）三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（　　） A．24 B．24或8 C．48或8 D．8 【分析】由x2﹣16x+60＝0，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x＝6时，是等腰三角形；与x＝10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【解答】解：∵x2﹣16x+60＝0， ∴（x﹣6）（x﹣10）＝0， 解得：x1＝6，x2＝10， 当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高， ∴BD＝4，AD＝＝2， ∴S△ABC＝BC•AD＝×8×2＝8； 当x＝10时，如图②，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， S△ABC＝BC•AC＝×8×6＝24． 故选：B． 【点评】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 9．（4分）已知＝a，＝b，则用a、b表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得先将变形为，由此可得出答案． 【解答】解：由题意得：＝＝＝． 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，注意将变形是关键． 10．（4分）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0和cx2+bx+a＝0，其中a，b，c是常数，且a+c＝0，如果x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是（　　） A．±2020 B．﹣ C．﹣2020 D．± 【分析】根据一元二次方程的解的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：∵a≠0，c≠0，a+c＝0， ∴＝﹣1， ∴x2+x+＝0，x2+x+1＝0， ∴x2+x﹣1＝0，x2﹣x﹣1＝0， ∵x＝2020是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴x＝2020是方程x2+x﹣1＝0的一个根， ∴20202+×2020﹣1＝0， ∴（﹣2020）2﹣×（﹣2020）﹣1＝0， ∴x＝﹣2020是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根， ∴方程cx2+bx+a＝0的另一个根是x＝， 即一定是方程cx2+bx+a＝0的根的是x＝﹣2020和x＝， 故选：C． 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念，本题属于中等题型． 二、填空题（每小题4分，共6小题，共24分） 11．（4分）化简：＝　　． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式＝3﹣2＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． 12．（4分）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0，则m的值为 　2　． 【分析】根据一元二次方程的定义和“关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的常数项等于0”得到：m2﹣4＝0且m+2≠0，据此求得m的值． 【解答】解：根据题意，得 m2﹣4＝0， 解得，m＝±2； 又∵二次项系数m+2≠0，即m≠﹣2， ∴m＝2； 故答案为：2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件． 13．（4分）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根，则2m2﹣10m﹣1＝　3　． 【分析】根据一元二次方程的根的定义，将m代入x2﹣5x﹣2＝0，求出m2﹣5m＝2，即可求出2m2﹣10m﹣1的值． 【解答】解：∵m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣5m＝2， ∴2m2﹣10m﹣1＝2（m2﹣5m）﹣1＝2×2﹣1＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 14．（4分）若为整数，x为正整数，则x的值是 　4或7或8　． 【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵8﹣x≥0，x为正整数， ∴1≤x≤8且x为正整数， ∵为整数， ∴＝0或1或2， 当＝0时，x＝8， 当＝1时，x＝7， 当＝2时，x＝4， 综上，x的值是4或7或8， 故答案为：4或7或8． 【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键． 15．（4分）如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　2032　． 【分析】由题意可知m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，又n2＝n+3，利用它们可以化简2n2﹣mn+2m+2021＝2（n+3）﹣mn+2m+2021＝2n+6﹣mn+2m+2021＝2（m+n）﹣mn+2027，然后就可以求出所求的代数式的值． 【解答】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3， 所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3， 又n2＝n+3， 则2n2﹣mn+2m+2021 ＝2（n+3）﹣mn+2m+2021 ＝2n+6﹣mn+2m+2021 ＝2（m+n）﹣mn+2027 ＝2×1﹣（﹣3）+2027 ＝2+3+2027 ＝2032． 故答案为：2032． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值． 16．（4分）阅读理解 对于任意正整数a，b，∵≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．若m＞1，有最小值为　3　． 【分析】利用﹣1+≥2得到+≥3，从而得到+的最小值． 【解答】解：+＝﹣1++1， 而﹣1+≥2， 即﹣1+≥2， 所以+≥3， 即+的最小值为3． 故答案为3． 【点评】本题考查了分母有理化，分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了非负数的性质． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（12分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算． 【解答】解：（1）原式＝ ＝； （2）原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径． 18．（12分）解方程： （1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2﹣4x+3＝0． 【分析】（1）先移项，然后利用直接开平方法解方程； （2）先利用左边先进行因式分解法把方程转化为x﹣1＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：（1）（x+2）2＝25， x+2＝±5， 即x+2＝5或x+2＝﹣5 所以x1＝3，x2＝﹣7； （2）（x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程． 19．（8分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1． 【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy ＝9xy， 当x＝﹣1，y＝+1时，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45． 【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 20．（8分）求+的值 解：；设x＝+， 两边平方得：x2＝（）2+（）2+2， 即x2＝3++3﹣+4，x2＝10 ∴x＝±． ∵+＞0， ∴+＝ 请利用上述方法，求+的值． 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案． 【解答】解：设x＝+， 两边平方得：x2＝（）2+（）2+2， 即x2＝4++4﹣+6， x2＝14 ∴x＝±． ∵+＞0， ∴x＝ 【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 21．（8分）如图1，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． （1）如果要围成面积为36平方米的花圃，AB的长是多少米？ （2）如图2，如果在平行于墙面的篱笆上开两道1米宽的门，如果要围成面积为55平方米的花圃，AB的长是多少米？ 【分析】（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24﹣3x）米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可； （2）设AB的长为m米，则BC的长为（24﹣3m+1+1）米，再利用矩形的面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（24﹣3x）米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得x1＝2，x2＝6， 当x＝2时，BC＝24﹣3x＝18＞15，不符合题意， 当x＝6时，BC＝24﹣3x＝6，符合题意， ∴AB的长是6米； （2）设AB的长为m米，则BC的长为（24﹣3m+1+1）米， 根据题意得：m（24﹣3m+1+1）＝55， 解得m1＝，m2＝5， 当m＝时，BC＝24﹣3m+1+1＝15，符合题意， 当m＝5时，BC＝24﹣3m+1+1＝11，符合题意； ∴AB的长是米或5米． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程． 22．（8分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润＝（售价﹣进价）×销售量列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得50（1+x）2＝72， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）， 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得（y﹣30）[500﹣10（y﹣40）]＝8000， 整理，得y2﹣120y+3500＝0， 解得y1＝50，y2＝70， 因尽可能让顾客得到实惠， ，所以y＝70不合题意，舍去． 所以y＝50． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【分析】（1）根据判别式Δ＝16m2≥0，即可得到结果； （2）根据根与系数的关系即可得出α+β＝2m，αβ＝﹣3m2，再由α+2β＝5，求出β＝5﹣2m，α＝4m﹣5，进而根据αβ＝﹣3m2得出（4m﹣5）（5﹣2m）＝﹣3m2，解之即可得出m的值． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣2m）2﹣4×（﹣3m2）＝16m2≥0， ∴无论m取什么实数值，这方程总有两个实数根； （2）∵方程的两个实数根分别为α，β， ∴α+β＝2m， ∵α+2β＝5， ∴β＝5﹣2m， ∴α＝4m﹣5， ∵αβ＝﹣3m2， ∴（4m﹣5）（5﹣2m）＝﹣3m2， 解得m＝1或5． 故m的值为1或5． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系． 24．（10分）阅读下列解题过程： 例：若代数式，求a的取值． 解：原式＝|a﹣2|+|a﹣4|， 当a＜2时，原式＝（2﹣a）+（4﹣a）＝6﹣2a＝2，解得a＝2（舍去）； 当2≤a＜4时，原式＝（a﹣2）+（4﹣a）＝2，等式恒成立； 当a≥4时，原式＝（a﹣2）+（a﹣4）＝2a﹣6＝2，解得a＝4； 所以，a的取值范围是2≤a≤4． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当3≤a≤7时，化简：＝　4　； （2）请直接写出满足＝5的a的取值范围　1≤a≤6　； （3）若＝6，求a的取值． 【分析】（1）利用二次函数的性质得到原式＝|a﹣3|+|a﹣7|，然后根据a的范围去绝对值后合并即可； （2）利用题中的分类讨论的方法求解； （3）先根据二次根式的性质得到原式＝|a+1|+|a﹣3|，再分a＜﹣1或当﹣1≤a＜3或a≥3时进行讨论，去绝对值后分别解方程确定满足条件的a的值． 【解答】解：（1）原式＝|a﹣3|+|a﹣7|， ∵3≤a≤7， ∴原式＝（a﹣3）+（7﹣a）＝4； 故答案为4； （2）当1≤a≤6时，＝5； 故答案为1≤a≤6； （3）原式＝|a+1|+|a﹣3|， 当a＜﹣1时，原式＝﹣（a+1）+（3﹣a）＝2﹣2a＝6，解得a＝﹣2； 当﹣1≤a＜3时，原式＝（a+1）+（3﹣a）＝4，等式不成立； 当a≥3时，原式＝（a+1）+（a﹣3）＝2a﹣2＝6，解得a＝4； 所以，a的值为﹣2或4． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的基本性质：≥0，a≥0；（）2＝a （a≥0）；＝|a|． 25．（12分）阅读下列材料：已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9．∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值． （2）设a，b满足等式（a2+b2）（2a2+2b2﹣1）＝3，则3a2+3b2﹣1的值． （3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【分析】（1）设2x2+2y2＝m，通过换元降次求解； （2）设a2+b2＝m，进而利用换元法降次求解； （3）先设未知数列方程，再进行换元降次求解． 【解答】解：（1）设2x2+2y2＝m，则（m+3）（m﹣3）＝27， ∴m2﹣9＝27， ∴m＝±6， ∵2x2+2y2≥0， ∴2x2+2y2＝6， ∴x2+y2＝3； （2）设a2+b2＝m，则m（2m﹣1）＝3， ∴2m2﹣m＝3， ∴m＝或m＝﹣1， ∵a2+b2≥0， ∴a2+b2＝； ∴3a2+3b2﹣1＝3×﹣1＝； （2）设最小正整数为x，则x（x+1）（x+2）（x+3）＝24， 即：（x2+3x）（x2+3x+2）＝24， 设x2+3x＝y，则y2+2y﹣24＝0， ∴y1＝﹣6，y2＝4， ∵x为正整数， ∴y＝x2+3x＝4， ∴x1＝1，x2＝﹣4＜0（舍去）， ∴这四个整数为1，2，3，4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$