精品解析： 北京师范大学第二附属中学2024-2025学年上学期12月月考八年级数学试卷

2024-2025学年度第一学期12月阶段测试 八年级数学 2024．12 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，26道小题．考试时间100分钟，试卷满分100分． 2．除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分，每题只有1个正确的选项） 1. 七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】第一个图形不是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 第五个图形是轴对称图形， 第六个图形是轴对称图形， 综上所述，是轴对称图形的有4个． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题要注意不考虑拼接线． 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：． 3. 若分式有意义．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 4. 下列式子是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断是否是因式分解，将一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边含有分式，不符合题意； 故选C． 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子和分母同乘或同除同一个不为0的整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A、，等式不成立，不符合题意； B、，等式不成立，不符合题意； C、，等式成立，符合题意； D、，等式不成立，不符合题意； 故选C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a-b=0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 7. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数的范围，先求出分式方程的解，根据解为正数，且分式有意义，得到不等式，进行求解即可． 【详解】解：，解得：， 由题意，得：且， ∴且， 解得：且； 故选D． 8. 如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ） A. 2 B. 2或6 C. 4或6 D. 2或4或6 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质与判定，分两种情况：（1）当点P在线段上时；（2）当点P在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点P在线段上时， 设t时后是等腰三角形， ∵ ∴ ∴， 即， 解得； （2）当点P在的延长线上时，此时经过时的时间已用， 当是等腰三角形时， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即， 解得，， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为2或6． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点P在点O的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 【答案】3（a﹣1）2． 【解析】 【详解】解：原式=3（a2﹣2a+1）=3（a﹣1）2． 故答案为：3（a﹣1）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 10. 当________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式为零的条件，掌握分式为零的条件为分子为零成为解题的关键． 直接根据分式为零的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 即． 故答案为：． 11. 计算：_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查多项式除以单项式，用多项式的每一项分别除以单项式，再把商相加即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______． 【答案】（a+b）2-2ab = a2+b2 【解析】 【分析】利用各图形的面积求解即可． 【详解】解：两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或 （a+b）2-2ab， 故可得： （a+b）2-2ab = a2+b2 故答案为：（a+b）2-2ab = a2+b2 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是明确四块图形的面积． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用三角形的外角及等腰三角形的性质表示出，求得的度数，进而利用三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由三角形的外角定理得，， ， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，，于点．若，则_____________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理得到，再根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 15. 如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】延长CD交AB于点E，根据垂线及角平分线的性质可得，，然后利用全等三角形的判定定理和性质可得，再由等角对等边可得，由此即可得出线段长度． 【详解】解：如图所示：延长CD交AB于点E， ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】题目主要考查角平分线和等角对等边的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 16. 如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值为的长，再根据垂线段最短，得到时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ， ， ， ∴， ∴ ， ， 最小时，的值最小， 当时，的值最小， 此时， ∴， ∴ 的最小值为3， 的周长的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 三、解答题（共10小题，17题，5分，18题6分，19-20题，7分，21题，6分，22、23、25题，7分，24题8分，28题8分，共68分） 17. 计算∶． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，先去绝对值，进行负整数指数幂和零指数幂的计算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，先进行完全平方公式和多项式乘以多项式的运算，再合并同类项进行化简，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式 ． 19. 解分式方程∶ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：， 检验，经检验，是原方程的解． 20. 化简:，并选择一个适当的的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算即可化简，再代入合适的值计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，， ∴当时，原式． 21. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由条件证得，由全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）是解题关键． 22. 某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 【答案】求测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 【解析】 【分析】考查了分式方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并依照等量关系列出方程求解． 【详解】解：设测试者使用键盘输入平均每分钟输入x个单词，则使用语音输入平均每分钟输入个单词． 由题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 所以． 答：测试者使用语音输入平均每分钟输入240个单词． 23. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点的坐标是 ； ②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 【答案】 （1）①平面直角坐标系xOy如图所示 ②（1，2），（1，-2）； （2）①（5，1）； ②P点位置如图所示： ③（2-m，n） 【解析】 【分析】（1）由A、B点坐标即可知x轴和y轴的位置，即可从图像中得知C点坐标，而的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数． （2）由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1 ①点是点A关于直线l的对称点，由横坐标和点A横坐标之和为2，纵坐标不变，即可求得坐标为（5，1）． ②由①可得点A关于直线l的对称点，连接B交l于点P，由两点之间线段最短即可知点P为所求点． ③设点Q（m，n）关于l的对称点为（x，y），则有（m+x）÷2=1，y=n，即可求得对称点（2-m，n） 【详解】（1）①略； ②由图象可知C点坐标为（1，2） 点是 C点关于x轴对称得来的 则的横坐标不变，纵坐标为C点纵坐标的相反数 即点坐标为（1，-2）． （2）如图所示，由C点坐标（1，2）可知直线l为x=1 ①A点坐标为（-3，1）， 关于直线x=1对称的坐标横坐标与A点横坐标坐标和的一半为1，纵坐标不变 则为坐标为（5，1） ②连接①所得B，B交直线x=1于点P 由两点之间线段最短可知为B时最小 又∵点是点A关于直线l的对称点 ∴ ∴为B时最小 故P即为所求点． ③设任意格点Q（m，n）关于直线x=1的对称点为（x，y） 有（m+x）÷2=1，y=n 即x=2-m，y=n 则纵坐标不变，横坐标为原来横坐标相反数加2 即对称点坐标为（2-m，n）． 【点睛】本题考查了坐标轴中的对称点问题，熟悉坐标点关于轴对称的坐标变换，结合图象运用数形结合思想是解题的关键． 24. 阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【详解】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF， ∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFG， ∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示： 则∠G＝∠CAD， ∵AD为△ABC中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（AAS）， ∴AC＝BG， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD， ∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF， ∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 25. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律 （1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：_____________，_____________，不难发现，结果都等于_____________．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数_____________． 【答案】（1）15，15，15． （2）见解析 （3）11 【解析】 【分析】（1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）分别表示出四个数再进行计算即可得到答案； （3）分别用含有a的代数式表示出最大的数和最小的数，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：； ； 不难发现，结果都等于15 故答案为：15；15；15； 【小问2详解】 证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则， 所以， ； 【小问3详解】 ∵正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数最中间的数为a， ∴最大的数为，最小的数为， 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：11 【点睛】此题考查了整式的混合运算，有理数的混合运算以及日历上的方程等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 26. 在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． （1）如图①，判断的形状并证明； （2）如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 【答案】（1）等腰三角形，理由见解析 （2）①补全图形见解析，②，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． (1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) ①根据题意补全图形即可； ②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【小问1详解】 解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 ①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期12月阶段测试 八年级数学 2024．12 考生须知 1．本试卷共6页，共四道大题，26道小题．考试时间100分钟，试卷满分100分． 2．除特别说明外，试卷答案一律填涂在答题卡或书写在答题纸上． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上作答，其他试题用黑色字迹的钢笔或签字笔作答． 一、选择题（共16分，每题2分，每题只有1个正确的选项） 1. 七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 2. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 若分式有意义．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子是因式分解的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，O是射线上一点，，动点P从点C出发沿射线以的速度运动，动点Q从点O出发沿射线以的速度运动，点P，Q同时出发，设运动时间为，当是等腰三角形时，t的值为（ ） A. 2 B. 2或6 C. 4或6 D. 2或4或6 二、填空题（共8小题，每小题2分，共16分） 9. 分解因式：3a2﹣6a+3=____． 10. 当________时，分式的值为0． 11. 计算：_________． 12. 如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为______． 13. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是__________． 14. 如图，，于点．若，则_____________（用含的式子表示）． 15. 如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝________． 16. 如图，在边长为2的等边中，点，，分别是，，上的动点，则周长的最小值为___________． 三、解答题（共10小题，17题，5分，18题6分，19-20题，7分，21题，6分，22、23、25题，7分，24题8分，28题8分，共68分） 17. 计算∶． 18. 已知，求代数式的值． 19. 解分式方程∶ 20. 化简:，并选择一个适当的的值代入求值． 21. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上，，，．求证：． 22. 某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词． 23. 如图，的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题： 平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(－3，1)，(－1，4)， （1）①请在图中画出平面直角坐标系xOy； ②点C的坐标是 ，点C关于x轴的对称点的坐标是 ； （2）设l是过点C且平行于y轴的直线， ①点A关于直线l的对称点的坐标是 ； ②在直线l上找一点P，使最小，在图中标出此时点P的位置； ③若Q(m，n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点的坐标（用含m，n的式子表示）． 24. 阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题： （1）①思路一的辅助线的作法是：　 　； ②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 25. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律 （1）图①是2022年12月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：_____________，_____________，不难发现，结果都等于_____________．（请完成填空） （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． （3）如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数_____________． 26. 在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． （1）如图①，判断的形状并证明； （2）如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $