精品解析：上海市虹口区2024-2025学年高三上学期期终学生学习能力诊断测试数学试卷（一模）

虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.12 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出集合 ，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故答案为：. 2. 函数的定义域是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的定义可得，解不等式即可得出答案. 【详解】函数的定义域是， 所以，解得： 或. 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 3. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二倍角公式计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 4. 在的二项展开式中，项的系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】写出通项公式，利用通项公式求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令，可得，所以项的系数为. 故答案为：. 5. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，求得恒成立，进而得到函数恒过定点，得到答案. 【详解】令，可得恒成立， 所以函数的图象恒过定点 . 故答案为： . 6. 若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】首先求出母线，再由侧面积公式计算可得. 【详解】因为圆锥的底面半径，高，设母线为，则， 所以该圆锥的侧面积为. 故答案为： 7. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 8. 已知，则的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】设分别为 的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为 的中点，连接， 在正三角形ABC中，，， 在正方形BCDE中，，，， 所以为二面角的平面角，即， . 故答案为：. 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设，由是抛物线的焦点，可得，再由，可求得，在△中由余弦定理可得，再根据双曲线及离心率的定义可求出离心率． 【详解】如图过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设， 因为是抛物线的焦点，∴ ∵，∴， 在△中，由余弦定理得， ∴， 即，解得 又∵和是双曲线的左、右焦点， ∴， ∴. 故答案为：. 11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 【答案】 【解析】 【分析】先将 任意排列，依次将到 插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将 任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将 插入该数列，同样 不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与 相邻，共有种， 以此类推，将 插入该数列，共有种. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】集合角的范围和诱导公式计算出角的取值，再根据充分性和必要的用定义法进行判断. 【详解】充分性： 根据诱导公式，因为，所以或， 当时，；当时，； 所以由不能必然推出，充分性不成立； 必要性： 因为，所以，此时， 所以由可以推出，必要性成立； 综上，是的必要非充分条件； 故选：C. 14. 已知事件 和事件 满足 ，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件 和事件 独立 B. 事件 和事件 互斥 C. 事件 和事件 对立 D. 事件和事件互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的定义判断即可. 【详解】因为事件 和事件 满足 ，则一定可以得到事件 和事件 互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件 和事件 不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件 ，出现点为事件 ， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 15. 已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A. B. C. ． D. 【答案】A 【解析】 【分析】点P的轨迹是以为邻边的平行六面体，求出以为邻边的平行四边形面积和点到平面距离，由柱体的体积公式即可得出答案. 【详解】空间中的动点P满足， 则点P的轨迹是以为邻边的平行六面体， 将正四面体放入如图所示的正方体中， 则正四面体的内切球心O为正方体的中心， 设正方体的棱长为，所以，所以， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以， 所以以为邻边的平行四边形面积为： ， 设平面的法向量为， 则， 取，可得，所以，， 又因为点到平面距离为， 以为邻边的平行六面体的体积为：. 故选：A. 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】假设 ，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若 ，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象： 可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤． 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若 ，且在中，角 、 、 所对的边长为、、，锐角 满足，，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出 ，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【小问1详解】 因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. 【小问2详解】 当 时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理 ， 得，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 18. 如图，已知在四棱柱中， 垂直平面，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面为梯形，，，且异面直线与 所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取   的中点 ，连接 ，， 在  中，， 分别是  ，  的中点， 所以 ， 又 平面，平面， 所以 平面； 在四棱柱  中，，， 所以四边形  是平行四边形， 因此， ， 又  是   的中点， 是   的中点， 所以 ，且 ， 所以四边形  是平行四边形， 所以 ， 因为  平面，平面， 所以  平面， 又 ，且 ，平面， 所以平面 平面， 又平面， 所以  平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取   的中点 ，连接 ，，利用面面平行判定定理证明平面 平面，然后利用面面平行性质可得答案； （2）建系，利用线面角的空间向量的计算公式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由 垂直平面，可得，又由小问1知， 由条件异面直线与 所成角为，知， 又由小问1知，可得：， 即两两垂直， 故以 为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 由知：各点坐标分别为：，． 则， 设平面  的法向量为 ， 由 ，， 得, 取 ，则 ，，故 ， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． （1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； （2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； （3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 【答案】（1） （2） （3）这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为 ，. 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可； （2）先求出的人数，利用对立事件结合古典概型求解即可； （3）根据题意利用分层抽样的平均数和方差公式运算求解. 【小问1详解】 ∵， ∴第35百分位数为第两个数的平方数 【小问2详解】 由图1可知，图2中有2人， 所以从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分设为事件 ， 所以. 【小问3详解】 由题意可知：落在的频率为，落在的频率为， 因为这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7， 位于上的均值为73，方差为134.6， 所以， 设这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为， 所以，解得：， ， 解得：. 这1000名观众的评分位于上的均值与方差分别为 ，. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为 ，上顶点为 ，设为 上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在 上是否存在点使 的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆 交于另一点 ，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）存在；或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于 的不等式，解不等式可求得 的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. 【小问2详解】 由（1）知：， ，； 若存在点，使 的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即 ， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得： 或； 当 时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆 无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. 【小问3详解】 由题意可设直线 ，，， 由得：， ，即，，， 设线段 中点为 ，则，， ，又 为 中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 所以实数 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 21. 设．若函数满足 恒成立，则称函数具有性质． （1）判断 是否具有性质，并说明理由； （2）设 ，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意 以及，都有．若当时，恒有 ．求证：函数对任意实数a均具有性质． 【答案】（1） 记 ， 显然，则其是偶函数. 当 时， ，故 ， 所以 对 恒成立，具有性质 . （2） （3） 对任意 及 ， 都有， 即对任意 都有. 假设存在 使得 不具有性质 ， 则存在 使得 . 若 ，则 . 当 时，则在中取 ， 对任意 有 ， 于是， 即. 而当时， ， 故有，矛盾. 当 时，记，则 ， 由得，得 ， 故 . 与当 时同理可得矛盾. 若 ，则，与 时同理可得矛盾. 综上，假设不成立，即函数 对任意实数均具有性质 . 【解析】 【分析】（1）首先判断为偶函数，再判断出 时， 即可； （2）求导得 ，得到其单调性，再对分 和 以及 讨论即可； （3）根据定义知 ，再利用反证法即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 当时 严格单调递增， 当时 严格单调递减. 若 ，则 ，函数 在 上严格单调递增， 恒成立， 此时函数 具有性质 . 若 ，则函数 在 上严格单调递减， ， 故函数 不具有性质 . 若 ，则函数 在 上严格单调递增， “ 对 恒成立”等价于“ 对 恒成立”， 而 在 上严格单调递减，在上严格单调递增， 故 ，即， 即 . 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用反证法得到与定义像矛盾的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2024学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.12 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本考试分设试卷和答题纸．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，则_______． 2. 函数的定义域是_______． 3. 若，则_______． 4. 在的二项展开式中，项的系数为______. 5. 设且，则函数的图像恒过的定点坐标为_______． 6. 若某圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为_______．（结果保留） 7. 已知非零复数满足，则的虚部为_______． 8. 已知，则的解集是_______． 9. 如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角的大小为，则_______． 10. 双曲线的左、右焦点分别为和，若以点为焦点的抛物线与在第一象限交于点P，且，则的离心率为_______． 11. 2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为_______．（用含有H、h、m、t的式子表示） 12. 已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有_______个． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑． 13. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 已知事件和事件满足 ，则下列说法正确的是（ ）． A. 事件和事件独立 B. 事件和事件互斥 C. 事件和事件对立 D. 事件和事件互斥 15. 已知边长为2的正四面体的内切球（球面与四面体四个面都相切的球）的球心为O，若空间中的动点P满足，则点P的轨迹所形成的几何体的体积为（ ）． A. B. C. ． D. 16. 设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（ ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤． 17. 设． （1）当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； （2）若 ，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 18. 如图，已知在四棱柱中， 垂直平面 ，分别是的中点． （1）求证：平面： （2）若底面 为梯形，，，且异面直线与 所成角为．求直线与平面所成角的正弦值． 19. 2024年法国奥运会落下帷幕．某平台为了解观众对本次奥运会的满意度，随机调查了本市1000名观众，得到他们对本届奥运会的满意度评分（满分100分），平台将评分分为共5层，绘制成频率分布直方图（如图1所示）．并在这些评分中以分层抽样的方式从这5层中再抽取了共20名观众的评分，绘制成茎叶图，但由于某种原因茎叶图受到了污损，可见部分信息如图2所示． （1）求图2中这20名观众的满意度评分的第35百分位数； （2）若从图2中的20名观众中再任选取3人做深度采访，求其中至少有1名观众的评分大于等于90分的概率； （3）已知这1000名观众的评分位于上的均值为67，方差为64.7，位于上的均值为73，方差为134.6，求这1000名观众的评分位于上的均值与方差． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为 上的一点． （1）当时，求的值； （2）若点坐标为，则在 上是否存在点使 的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆 交于另一点 ，当直线与轴和 轴均不平行时，有，求实数 的取值范围． 21. 设．若函数满足 恒成立，则称函数具有性质． （1）判断 是否具有性质，并说明理由； （2）设 ，若函数具有性质，求实数a的取值范围； （3）设函数的定义域为R，且对任意 以及，都有．若当时，恒有 ．求证：函数对任意实数a均具有性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $