精品解析：上海市浦东惠南学区2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试题

2024学年第一学期12月初三数学学习素养调研 （完卷时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知一坡面的坡度，则坡角为（ ） A B. C. D. 2. 已知一个单位向量，设、、是非零向量，那么下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则有，或 C. D. 若，，则 3. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A B. C. D. 4. 如图，已知表示两幢相距米大楼，小明在大楼的底部测得其顶部在的玻璃幕墙上的反射点的仰角为度，那么大楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C. 该抛物线一定经过点 D. 该抛物线的对称轴是直线 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_______． 8. 已知为锐角，且，那么的余弦值为_______． 9. 已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ． 10. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么_______． 11. 如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______． 12. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______． 13. 已知抛物线的对称轴在轴的右边，则这个抛物线的开口方向_________________． 14. 如果梯形的两底分别为和，高为，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是_______． 15. 如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）． 16. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 17. 在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么_______． 18. 如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边交边于点，如果，那么的值是_______． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，和相交于点，点在上，，． （1）求的长； （2）已知，求的面积． 21. “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 22. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 23. 如图，四边形是菱形，点在的延长线上且交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 24. 已知：如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）连接，过点作的垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 25. 已知：如图，在中，是边上中线，点是线段上一动点（点不与重合）． （1）当时，求证：； （2）设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围； （3）连接，当与相似时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第一学期12月初三数学学习素养调研 （完卷时间：100分钟，满分：150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知一坡面的坡度，则坡角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由斜坡的坡比为可得，由此结合特殊角的三角函数值即可求得坡角的度数. 【详解】解：∵斜坡的坡比为，坡角为， ∴， ∴. 故选：B． 2. 已知一个单位向量，设、、是非零向量，那么下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则有，或 C. D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意； B、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据勾股定理，AB=， BC=， AC=， 所以△ABC的三边之比为=， A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意; B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意； C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意； D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 如图，已知表示两幢相距米的大楼，小明在大楼的底部测得其顶部在的玻璃幕墙上的反射点的仰角为度，那么大楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识解直角三角形． 作交于点F，则四边形是矩形，在中，求出，在中，求出，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，作交于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ， 解得∶ (米)， 大楼的顶部在的玻璃幕墙上的反射点， ∴， 在中， ∵， 解得∶ (米)， (米)． 故选D． 5. 如图，在平行四边形中，为上一点，，连接，且交于点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．先根据已知条件得出，进而可得，，，由此可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， ， ，， ． 故选：A． 6. 已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（ ） A. 该抛物线开口向上 B. 沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C. 该抛物线一定经过点 D. 该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握向量的运算法则是关键． 去掉括号，然后根据向量的加减运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 已知为锐角，且，那么的余弦值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了锐角三角函数的定义．由题意设，则，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∴的余弦值为， 故答案为：． 9. 已知线段，点在线段上，且，那么线段的长_____ ． 【答案】## 【解析】 【详解】根据黄金分割定义得到点是线段的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案． 【解答】解：∵， 点是线段的黄金分割点，， ， 故答案：． 【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 10. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，点在边上，且，设，，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是向量的线性运算、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握向量的线性运算．首先由四边形是平行四边形，求得，，又由点是边的中点，，求得与，再利用三角形法则求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， 点是边的中点，， ，， ． 故答案为：． 11. 如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果，，那么线段CE的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到点G是△ABC的重心，根据重心的性质得到DG=AD，CG=CE，BG=BF，D是BC的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得BC=5，再根据勾股定理求出GC即可解答.． 【详解】解：延长AG交BC于D点， ∵中线BF、CE交于点G， ∵△ABC的两条中线AD、CE交于点G， ∴点G是△ABC的重心，D是BC的中点， ∴AG=AD，CG=CE，BG=BF， ∵，， ∴,. ∵CE⊥BF，即∠BGC=90°， ∴BC=2DG=5， 在Rt△BGC中，CG=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．理解三角形重心的性质是解题的关键. 12. 如图，在中，，点在上，且，垂足为交于，如果四边形和的面积都为6，那么的面积为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形中线性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键．证明，得到的面积与的面积均为6，证明得，进而得到的面积为8，即可求出的面积为20． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的面积与的面积均为6． ∵， ∴， ∴ ∴， ∵四边形的面积为6， ∴的面积为8， ∴的面积为． 故答案为：20． 13. 已知抛物线的对称轴在轴的右边，则这个抛物线的开口方向_________________． 【答案】向下 【解析】 【分析】根据对称轴公式，对称轴的位置判断的符号，从而得出抛物线的开口方向． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴的右边， ∴对称轴＞0，即＜0， ∴抛物线开口向下． 故答案为：向下． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线的对称轴与解析式的二次项、一次项系数的关系，根据对称轴的位置判断出二次项系数的符号是解题的关键． 14. 如果梯形的两底分别为和，高为，那么两腰延长线的交点到这个梯形的较大底边的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据、的比值求的值是解题的关键． 根据，即可求得，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：在梯形中， 作于，交于，，如图所示： ∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）． 【答案】2. 【解析】 【详解】试题分析：如图， Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6， ∴BC=AC•tanA=6×=2． 根据勾股定理，得：AB=． 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是2米． 故答案为：2． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 16. 抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 17. 在直角中，，如果的中线上有个点，使，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解直角三角形，根据题意得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∵是的中线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边交边于点，如果，那么的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】作垂足为，求出出，先根据含角直角三角形的性质求出、根据勾股定理求出、，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作垂足为， 是由翻折， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ，， ， ， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，解题时要善于发现特殊三角形，属于中考常考题型． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则，是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，和相交于点，点在上，，． （1）求的长； （2）已知，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，利用面积比得对应线段比证明线段平行，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）过作于，由，可证，可得，由，可得，可证，可得，可证，可得即可； （2）由，可得即可． 【小问1详解】 解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. “阳光体育活动”促进了学校体育活动的开展，小杰在一次铅球比赛中，铅球出手以后的轨迹是抛物线的一部分（如图所示），已知铅球出手时离地面1.6米（如图，直角坐标平面中的长），铅球到达最高点时离地面2米（即图中的长），离投掷点3米（即图中的长），请求出小杰这次掷铅球的成绩（即图中的长，精确到0.01米，参考数据）． 【答案】小杰这次掷铅球的成绩为米 【解析】 【分析】已知抛物线上的两点，其中为顶点坐标，可设顶点式，再代入点求得，从而得到解析式，然后将代入函数解析式即可得出结果． 【详解】解：由题意得：， 设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴抛物线解析式， 令，得， 解得：或（舍去） ∴米， 答：小杰这次掷铅球的成绩为米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及到抛物线上的三点而求其解析式，难度一般． 22. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，点在同一水平线上，斜杆与水平线的夹角，支撑杆，垂足为，该支架的边与的夹角，又测得米． （1）求该支架的边的长； （2）求支架的边的顶端到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】（1）7米 （2）6.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用．熟练掌握锐角三角函数定义，矩形判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键． （1）根据，，得．根据，得．根据，，得． （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为G．则，证明四边形是矩形，，得．得．得，根据，得． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴， ∵ ∴． 答：该支架的边的长7米． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为，过点作，垂足为G． 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 答：支架的边的顶端到地面的距离为6.5米． 23. 如图，四边形是菱形，点在的延长线上且交于点，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，得出，即可证明； （2）证明，得出，即可证明． 【小问1详解】 证明：菱形， ， ， ， ， 在和中 ， ， ∴． 【小问2详解】 解：， ， 菱形， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 24. 已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）连接，过点作垂线，交抛物线于点，交抛物线的对称轴于点，求的值； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似，求此时点的坐标．直接写出你的结论，不必证明． 【答案】（1），， （2）2 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式，分别令，解方程，即可求解； （2）过点 作 轴于点 ，即 ．证明，得出，设 ，，则 ．即 ． 代入抛物线解析式，求得 ，进而勾股定理求得，根据正切的定义，即可求解； （3）以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或，根据（2）的结论，分别解直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点 ∴当时，， 解得： ∴，， 当时，， ∴ 【小问2详解】 ∵， ∴ 过点 作 轴于点 ，即 ． ， ． ， ． ， ， 设 ，，则 ．即 ． 把点 坐标代入二次函数解析式，得 解得：或（舍去） ． ，， ． ，， ． 在 中， ． 【小问3详解】 解：∵在抛物线的对称轴上，，， ∴ 设直线的解析式为，代入， 得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ ∵，而， ∴以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，或， 如图所示， 当， ∴ ∴ ∵在抛物线对称轴上，，则 ∴ ∴，即 当时， ∴ ∴ 设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，即 综上所述， 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，求抛物线与坐标轴交点，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质，相似三角形的性质是解题的关键． 25. 已知：如图，在中，是边上的中线，点是线段上一动点（点不与重合）． （1）当时，求证：； （2）设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围； （3）连接，当与相似时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是证明三角形相似． （1）延长交的垂线于点，则．证明，即可求出．再证，即可证明． （2）在中，勾股定理求出．在中，勾股定理求出．证明，得出，即可求出关于的函数解析式． （3）连接．分为当，即时，当，即时，分别求解即可． 【小问1详解】 证明：延长交的垂线于点，则． ， ． ． ， ． ． 又， ． ． 为边的中线， ． 又， ． ， ． ， ， 即． 【小问2详解】 解：在中，， ． 在中，， ． ， ， ， ， ， ． 关于的函数解析式为，的取值范围为． 【小问3详解】 解：连接． 在中，， ． 当，即时，即． ，此时． 当，即时，即． ，此时． 所以，当与相似时，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$