石家庄市22中2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷(学生版)-河北省石家庄市八年级上学期期末试卷汇编

第 11 页 共 108 页 2022-2023学年河北省石家庄二十二中八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本大题有 16个小题，共 42分.1～10小题各 3分；11～16小题各 2分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集 2022年冬奥会会徽和冬 残奥会会徽设计方案，共收到设计方案 4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 2．（3分）若分式 2 4 4 2 x x   的值为零，则 x的值是 ( ) A．2 B． 2 C． 2 D．0 3．（3分）已知一个等腰三角形的两条边长分别为 3cm和 5cm，则该等腰三角形的周长为 ( ) A．11cm B．13cm C．13cm或11cm D．16cm 4．（3分）某地兴建的幸福小区的三个出口 A、 B、C 的位置如图所示，物业公司计划在不 妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口 的距离都相等，则充电桩应该在 (ABC ) A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 5．（3分）对于数字 2 5  ，下列说法中正确的是 ( ) A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比 0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为 2 5 6．（3分）已知 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别是 a，b，c．下列条件不能判断 ABC 是直角三角形的是 ( ) A． 2 2 2a b c  B． C A B    C． : : 3 : 4 : 5A B C    D． : : 5 :12 :13a b c  第 12 页 共 108 页 7．（3分）如图， ABC △ A B C  ，且点 B在 AB边上，点 A恰好在 BC的延长线上，下列 结论错误的是 ( ) A．CB CB  B． 2ACB B   C． B CA B AC     D． B C 平分 BB A   8．（3分）小沈对下面式子进行化简整理： 2 2 2 2 1 1 ( 3) 1 ( 1)( 3) 3 9 3 9 9 9 a a a a a a a a a a a a                第一步 2 ( 3) 1 ( 1)( 3) 9 a a a a a        第二步 2 7 4 9 a a     第三步 对于小沈的化简过程，你认为 ( ) A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误 9．（3分）下列等式：① 49 7 64 8   ，② 33 ( 2) 2   ，③ 18 2 9  ，④ 5 | 2 5 | 3 5   ， ⑤ ( 5 3)( 5 2) 5 6    ．正确的个数有 ( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的 距离 BC为 0.7m，梯子顶端到地面的距离 AC为 2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子 斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为 ( ) A． 2m B． 2.5m C． 2.6m D． 2.7m 11．（2分）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③ 有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是 ( ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 12．（2 分）如图，Rt ABC 中， 90C  ， 30B  ，要求用圆规和直尺作图，把它分成 两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是 ( ) A． B． C． D． 第 13 页 共 108 页 13．（2分）若 a的算术平方根为 17.25，b的立方根为 8.69 ； x的平方根为 1.725 ， y的立 方根为 86.9，则 ( ) A． 1 100 x a ， 1000y b  B． 1 100 x a ， 100y b C． 100x a ， 1 100 y b D． 1 1000 x a ， 100y b  14．（2分）若关于 x的方程 5 1 2 x a x x     无解，则 (a  ) A．3 B．0或 8 C． 2 或 3 D．3或 8 15．（2分）如图，点 E在等边 ABC 的边 BC上， 6BE  ，射线CD BC 于点C ，点 P是 射线CD上一动点，点 F 是线段 AB上一动点，当 EP PF 的值最小时， 7BF  ，则 AC为 ( ) A．10 B．12 C．13 D．14 16．（3分）如图， 7AB cm ， 5AC cm ， 60CAB DBA    ，点 P在线段 AB上以 2 /cm s 的速度由点 A向点 B运动，同时，点Q在射线 BD上运动速度为 /xcm s，它们运动的时间为 ( )t s（当点 P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点 P、Q运动到某处时，有 ACP 与 BPQ 全等，则相应的 x、 t的值为 ( ) A． 2x  ， 7 4 t  B． 2x  ， 7 4 t  或 20 7 x  ， 1t  C． 2x  ， 1t  D． 2x  ， 1t  或 20 7 x  ， 7 4 t  二、填空题（本大题有 3个小题，每小题 3分，共 9分.其中 18小题第一空 2 分，第二空 1 分；19小题每空 1分，把答案写在题中横线上） 17．（3分） 3 1 2   的倒数是 ． 18．（3分）已知 2 8 4 4 16 a b x x x x      ，则 ab的值为 ； ab的算术平方根是 ． 19．（3分）如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会 ( )ICME 的会徽，主体图案是由如图 乙的一连串直角三角形演化而成，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A     ，现把图乙中的直角 三角形继续作下去，则 4OA  ， nOA  ；若 3 nOA OA 的值是整数，且1 80( 3)n n „ „ ， 则符合条件的 n有 个． 三、解答题（本大题有 7个小题，共 69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）计算： （1） 2 031( 3 2) 27 ( 3.14) 3      ； （2） 3(2 3 6) (2 3 6) 2 12 2 4       ． 第 14 页 共 108 页 21．（9分）（1）根据所示的程序，求输出D的化简结果； （2）已知 x的立方根是它本身，选取一个合适的 x的值代入，求D的值． 22．（9分）如图，在四边形 ABCD中， / /AB DC ，AC 平分 DAB ，CB AB ，CE AD 交 AD的延长线于点 E． （1）求证： ACD 是等腰三角形； （2）连接 BE，求证： AC垂直平分 BE． 23．（10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 2 是无理数，而无理数是无限不循环小 数，因此 2 的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部 分，因为 2 的整数部分是 1，于是用 2 1 来表示 2 的小数部分． 又例如：  4 7 9  ，即 2 7 3  ，  7 的整数部分是 2，小数部分为 7 2 ． （1） 17的整数部分是 ，小数部分是 ； （2）点 A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m ，小数部分为 n， 则下列对于m ， n的说法正确的是 （填序号即可）； ①m ， n均为有理数；②1 2m  ；③ 3 4m n   ；④3 4m n   （3）若m ， n分别是 6 5 的整数部分和小数部分，求 23m n 的值． 第 15 页 共 108 页 24．（10分）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元 学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某商场用 6万元购进甲种型号的平板，很 快销售一空．该商场又用 12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的 2倍，但单价贵了 40元，甲型平板和乙型平板售价都是 700元，但最后剩下的 50件乙型平 板按售价的八折销售，很快售完． （1）该该商场购进甲型平板和乙型平板的单价各多少元？ （2）售完这两种平板，商场共盈利多少元？ 25．（10分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的 4倍的三角形叫做常态 三角形．例如：某三角形三边长分别是 5，6和 8，因为 2 2 26 8 4 5 100    ，所以这个三角 形是常态三角形． （1）若 ABC 三边长分别是 3，2 5和 4，则此三角形 常态三角形（选填“是”或“不 是” )； （2）若Rt ABC 是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从小 到大排列）； （3）如图，Rt ABC 中， 90ACB  ， 6BC  ，点D为 AB的中点，连接CD，若 BCD 是 常态三角形，求 ABC 的面积． 26．（12分）【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具 有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有 这个规律的图形称为“手拉手”图形． 【材料理解】（1）如图 1，在“手拉手”图形中，小高发现若 BAC DAE   ，AB AC ，AD AE ， 则 ABD ACE   ．请证明小高的发现． 【深入探究】（2）如图 2， 90BAC DAE    ，AB AC ，AD AE ，试探索线段CD，BD， AD之间满足的等量关系，并证明结论； 【延伸应用】（3）①如图 3，在四边形 ABCD中，BD CD ，AB BE ， 60ABE BDC    ， A 与 BED 的数量关系为： （直接写出答案，不需要说明理由）； ②如图 4，在四边形 ABCD中， 45ABC ACB ADC      ．若 3BD  ， 1CD  ，则 AD的 长为 （直接写出答案，不需要说明理由）． 第 20 页 共 125 页 2022-2023学年河北省石家庄二十二中八年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 16个小题，共 42分.1～10小题各 3分；11～16小题各 2分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）在北京冬奥会举办之前，北京冬奥会组委曾面向全球征集 2022年冬奥会会徽和冬 残奥会会徽设计方案，共收到设计方案 4506 件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图 形又是中心对称图形的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C ．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C ． 2．（3分）若分式 2 4 4 2 x x   的值为零，则 x的值是 ( ) A．2 B． 2 C． 2 D．0 【解答】解：由题意可知： 2 4 0 4 2 0 x x       ， 第 21 页 共 125 页 解得： 2x   ， 故选： B． 3．（3分）已知一个等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 5cm ，则该等腰三角形的周长为 ( ) A．11cm B．13cm C．13cm或11cm D．16cm 【解答】解：当等腰三角形的腰为 3cm ，底为 5cm 时，3cm ，3cm ，5cm 能够组成 三角形，此时周长为 3 3 5 11cm   ； 当等腰三角形的腰为 5，底为 3cm 时，3cm ，5cm ，5cm 能够组成三角形，此时周 长为 5 5 3 13cm   ． 则这个等腰三角形的周长是11cm或13cm． 故选：C ． 4．（3分）某地兴建的幸福小区的三个出口 A、 B、C 的位置如图所示，物业公司计划在不 妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口 的距离都相等，则充电桩应该在 (ABC ) A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三个角的平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【解答】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等， 充电桩应该在 ABC 三条边的垂直平分线的交点处， 故选：D． 5．（3分）对于数字 2 5  ，下列说法中正确的是 ( ) A．它不能用数轴上的点表示出来 B．它比 0小 C．它是一个无理数 D．它的相反数为 2 5 【解答】解： A 、 2 5  是实数，因为数轴上的点与实数是一一对应的，所以能用数轴上 的点表示出来，故 A不符合题意； B、 5 4 2  ， 2 5 0   ，故 B不符合题意； C 、因为 5 是无理数，所以 2 5  也是无理数，故C 符合题意； D、 2 5  的相反数为 2 5 ，故D不符合题意． 故选：C ． 6．（3分）已知 ABC 中， A ， B ， C 的对边分别是 a，b，c．下列条件不能判断 ABC 是直角三角形的是 ( ) A． 2 2 2a b c  B． C A B     C． : : 3 : 4 : 5A B C    D． : : 5 :12 :13a b c  【解答】解： A、 2 2 2a b c  ， 2 2 2a b c   ，故 ABC 是直角三角形； B、 C A B     ， 90A  ，故 ABC 是直角三角形； C 、 : : 3 : 4 : 5A B C    ， 5180 75 3 4 5 C       ，故 ABC 不是直角三角形； D、 2 2 25 12 13  ， 2 2 2a b c   ，故 ABC 是直角三角形． 故选：C ． 7．（3分）如图， ABC △ A B C  ，且点 B在 AB边上，点 A恰好在 BC 的延长线上，下列 结论错误的是 ( ) 第 22 页 共 125 页 A．CB CB  B． 2ACB B   C． B CA B AC     D． B C 平分 BB A   【解答】解： ABC  △ A B C  ， BC B C   ， ACB A CB    ， B A B C     ， A． ABC  △ A B C  ， BC B C   ，故本选项不符合题意； B． BC B C  ， B CB B    ， 2A CB B BB C B          ， ACB A CB     ， 2ACB B   ，故本选项不符合题意； C ．不能推出 B CA B AC     ，故本选项符合题意； D． B BB C    ， B A B C     ， A B C BB C      ， 即 B C 平分 BB A  ，故本选项不符合题意； 故选：C ． 8．（3分）小沈对下面式子进行化简整理： 2 2 2 2 1 1 ( 3) 1 ( 1)( 3) 3 9 3 9 9 9 a a a a a a a a a a a a                第一步 2 ( 3) 1 ( 1)( 3) 9 a a a a a        第二步 2 7 4 9 a a     第三步 对于小沈的化简过程，你认为 ( ) A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误 【解答】解： 2 1 1 3 9 3 a a a a a       2 2 2 ( 3) 1 ( 1)( 3) 9 9 9 a a a a a a a          2 2 2 3 1 4 3 9 a a a a a        2 7 4 9 a a     ． 故选：D． 9．（3分）下列等式：① 49 7 64 8   ，② 33 ( 2) 2   ，③ 18 2 9  ，④ 5 | 2 5 | 3 5   ， ⑤ ( 5 3)( 5 2) 5 6    ．正确的个数有 ( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：① 49 7 64 8  ，原来的计算错误， ② 33 ( 2) 2   是正确的， ③ 18 2 9 3   ，原来的计算错误， ④ 5 | 2 5 | 3 5   是正确的， ⑤ ( 5 3)( 5 2) 5 10 15 6      ，原来的计算错误． 故正确的个数有 2个． 故选：C ． 10．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的 距离 BC 为 0.7m，梯子顶端到地面的距离 AC 为 2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子 斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m ，则小巷的宽为 ( ) 第 23 页 共 125 页 A． 2m B． 2.5m C． 2.6m D． 2.7m 【解答】解：在Rt ABC 中，由勾股定理得： 2 2 2 22 4 0 7 2.5( )AB AC BC m       ， 2.5A B AB    米， 在 Rt△ A BD 中，由勾股定理得： 2 2 2 22 5 1 5 2( )BD A B A D m        ， 2 0.7 2.7( )CD BC BD m      ， 即小巷的宽为 2.7米， 故选：D． 11．（2分）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③ 有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是 ( ) A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【解答】解：①直角三角形的一锐角对应相等， 另一锐角也对应相等， 又斜边对应相等， 可以利用 ASA证出两直角三角形全等，①符合题意； ②斜边和一直角边对应相等， 可以利用 HL证出两直角三角形全等，②符合题意； ③由有两条边相等，无法证出两直角三角形全等，③不符合题意； ④由两个锐角对应相等，可证出两直角三角形相似，无法证出全等，④不符合题意． 能使这两个直角三角形全等的是①②． 故选： A． 12．（2 分）如图， Rt ABC 中， 90C  ， 30B  ，要求用圆规和直尺作图，把它分成 两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是 ( ) A． B． C． D． 【解答】解： A．由作法知 AD AC ， ACD 是等腰三角形，故选项 A不符合题意； B．由作法知所作图形是线段 BC 的垂直平分线， 不能推出 ACD 和 ABD 是等腰三角形，故选项 B符合题意； C 由作法知，所作图形是线段 AB的垂直平分线， DA DB  ， ABD 是等腰三角形，故选项C 不符合题意； D． 90C  ， 30B  ， 60BAC  ， 由作法知 AD是 BAC 的平分线， 30BAD B     ， DB DA  ， ABD 是等腰三角形，故选项D不符合题意； 第 24 页 共 125 页 故选 B． 13．（2分）若 a的算术平方根为 17.25，b的立方根为 8.69 ； x的平方根为 1.725 ， y的立 方根为 86.9，则 ( ) A． 1 100 x a ， 1000y b  B． 1 100 x a ， 100y b C． 100x a ， 1 100 y b D． 1 1000 x a ， 100y b  【解答】解： a 的算术平方根为 17.25， x的平方根为 1.725 ， 217.25a  2(1.725 10)  2100 1.725  ， 2 2( 1.725) 1.725x    ， 100a x  ， 1 100 x a  ， b 的立方根为 8.69 ， y的立方根为 86.9， 3 3( 8.69) 8.69b     ， 386.9y  3(8.69 10)  31000 8.69  ， 1000 ( ) 1000y b b      ， 故选： A． 14．（2分）若关于 x的方程 5 1 2 x a x x     无解，则 (a  ) A．3 B．0或 8 C． 2 或 3 D．3或 8 【解答】解 5 1 2 x a x x     ， ( ) 5( 2) ( 2)x x a x x x     ， 2 25 10 2x ax x x x     ， ( 3) 10a x   ， 当 3 0a   时，方程 ( 3) 10a x   无解， 3a  ， 关于 x的分式方程 5 1 2 x a x x     无解， 2 0x   或 0x  ， 2x  或 0x  ， 把 2x  代入 ( 3) 10a x   中得： 2( 3) 10a    ， 2a   ， 把 0x  代入 ( 3) 10a x   中得： 0 10  ， 综上所述：若关于 x的方程 5 1 2 x a x x     无解，则 a的值为 3或 2 ， 故选：C ． 15．（2分）如图，点 E 在等边 ABC 的边 BC 上， 6BE  ，射线CD BC 于点C ，点 P是 射线CD上一动点，点 F 是线段 AB上一动点，当 EP PF 的值最小时， 7BF  ，则 AC 为 ( ) 第 25 页 共 125 页 A．10 B．12 C．13 D．14 【解答】解： ABC 是等边三角形， AC BC  ， 60B  ， 作点 E 关于直线CD的对称点G ，过G 作GF AB 于 F ，交CD 于 P， 则此时， EP PF 的值最小， 60B   ， 90BFG  ， 30G  ， 7BF  ， 2 14BG BF   ， 8EG  ， 4CE CG   ， 10AC BC   ， 故选： A． 16．（3分）如图， 7AB cm ， 5AC cm ， 60CAB DBA    ，点 P在线段 AB上以 2 /cm s 的速度由点 A向点 B运动，同时，点Q在射线 BD上运动速度为 /xcm s，它们运动的时间为 ( )t s（当点 P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点 P、Q运动到某处时，有 ACP 与 BPQ 全等，则相应的 x、 t的值为 ( ) A． 2x  ， 7 4 t  B． 2x  ， 7 4 t  或 20 7 x  ， 1t  C． 2x  ， 1t  D． 2x  ， 1t  或 20 7 x  ， 7 4 t  【解答】解：①若 ACP BPQ   ， 则 AC BP ， AP BQ ，可得： 5 7 2t  ， 2t xt 解得： 2x  ， 1t  ； ②若 ACP BQP   ， 则 AC BQ ， AP BP ，可得： 5 xt ， 2 7 2t t  解得： 20 7 x  ， 7 4 t  ． 故选：D． 二、填空题（本大题有 3个小题，每小题 3分，共 9分.其中 18小题第一空 2 分，第二空 1 分；19小题每空 1分，把答案写在题中横线上） 17．（3分） 3 1 2   的倒数是 1 3  ． 【解答】解： 3 1 2   的倒数是 2 1 3 ， 分母有理化为 2 (1 3) 1 3 (1 3)(1 3)        ． 18．（3分）已知 2 8 4 4 16 a b x x x x      ，则 ab的值为 16 ； ab的算术平方根是 ． 【解答】解： 2 8 4 4 16 a b x x x x      ， 第 26 页 共 125 页  2 ( 4) ( 4) 8 ( 4)( 4) 16 a x b x x x x x        ， 即 ( 4) ( 4) 8a x b x x    ， ( ) 4( ) 8a b x a b x     ，  8 0 a b a b      ， 解得 4 4 a b    ， 4 4 16ab    ， ab的算术平方根为 4． 故答案为：16，4． 19．（3分）如图所示，图甲是第七届国际数学教育大会 ( )ICME 的会徽，主体图案是由如图 乙的一连串直角三角形演化而成，其中 1 1 2 2 3 7 8 1OA A A A A A A     ，现把图乙中的直角 三角形继续作下去，则 4OA  2 ， nOA  ；若 3 nOA OA 的值是整数，且1 80( 3)n n „ „ ， 则符合条件的 n有 个． 【解答】解：由勾股定理得： 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2OA OA A A     ， 同理可得： 3 3OA  ， 4 4 2OA   ， nOA n  ， 3 3nOA OA n   ， 在1 80n„ „ 中，当 3n 为整数时，整数 n有 12、27、48、75共 4个， 故答案为：2； n ，4． 三、解答题（本大题有 7个小题，共 69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20．（8分）计算： （1） 2 031( 3 2) 27 ( 3.14) 3      ； （2） 3(2 3 6) (2 3 6) 2 12 2 4       ． 【解答】解：（1）原式 32 3 3 1 3      2 34 3   ； （2）原式 312 6 4 3 2 2      612 6 2    12 6 3 2   6 3 2  ． 21．（9分）（1）根据所示的程序，求输出D的化简结果； （2）已知 x的立方根是它本身，选取一个合适的 x的值代入，求D的值． 第 27 页 共 125 页 【解答】解：（1） 1 2 xB A x     2 1 2 x x x x      ( 2)( 2) ( 1) ( 2) x x x x x x       4 ( 2) x x x    ， 2 4 4 4 xC B x x      24 ( 2) ( 2) 4 x x x x x       2x x   ， 2D C x  22x x x    ( 2)x x  2 2x x  ． （2）由题意可知 0x  或 1 ， 由分式有意义的条件可知： x不能取 0， 当 1x  时， 1 2 1D     ． 22．（9分）如图，在四边形 ABCD 中， / /AB DC ， AC 平分 DAB ，CB AB ，CE AD 交 AD的延长线于点 E ． （1）求证： ACD 是等腰三角形； （2）连接 BE ，求证： AC 垂直平分 BE ． 【解答】证明：（1） / /AB DC ， DCA CAB   ， AC 平分 DAB ， DAC CAB   ， DCA DAC   ， DA DC  ， ACD 是等腰三角形； （2） AC 是 EAB 的平分线，CE AE ，CB AB ， CE CB  ， 90CEA CBA    ， 又 AC AC ， Rt CEA Rt CBA(HL)    ， AE AB  ， 点 A、点C 在线段 BE 的垂直平分线上， 第 28 页 共 125 页 AC 垂直平分 BE ． 23．（10分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 2 是无理数，而无理数是无限不循环 小数，因此 2 的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数 部分，因为 2 的整数部分是 1，于是用 2 1 来表示 2 的小数部分． 又例如：  4 7 9  ，即 2 7 3  ，  7 的整数部分是 2，小数部分为 7 2 ． （1） 17 的整数部分是 4 ，小数部分是 ； （2）点 A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为 n， 则下列对于m， n的说法正确的是 （填序号即可）； ①m ， n均为有理数；②1 2m  ；③3 4m n   ；④ 3 4m n   （3）若m ， n分别是 6 5 的整数部分和小数部分，求 23m n 的值． 【解答】解：（1） 16 17 25  ，即 4 17 5  ，  17 的整数部分为 4，小数部分为 17 4 ， 故答案为：4， 17 4 ； （2）设点 A所表示的无理数为 a，由点 A在数轴上的位置可知， 3 4a  ， 所以点 A所表示的无理数 a的整数部分 3m  ，小数部分 3n a  ， 因此①m， n均为有理数，不正确； ②由于1 3 2  ，即1 2m  ， 因此②正确； ③ 3 4a  ，而 3 3 6m n a a      ， 2 3m n    ， 因此③不正确； ④ 3 4a  ，而 3 3m n a a     ， 3 4m n    ， 因此④正确； 综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④； （3） 4 5 9  ，即 2 5 3  ， 3 5 2     ， 3 6 5 4    ， 6 5  的整数部分 3m  ，小数部分 6 5 3 3 5n      ， 2 23 9 (3 5)m n     9 (9 6 5 5)    6 5 5  ． 24．（10分）某地区以移动互联和大数据技术支持智慧课堂，实现学生的自主、个性和多元 学习，全区学生逐步实现上课全部使用平板电脑．某商场用 6万元购进甲种型号的平板，很 快销售一空．该商场又用 12.8万元购进了乙种型号的平板，所购数量是甲型平板购进数量的 2倍，但单价贵了 40元，甲型平板和乙型平板售价都是 700元，但最后剩下的 50件乙型平 板按售价的八折销售，很快售完． （1）该该商场购进甲型平板和乙型平板的单价各多少元？ （2）售完这两种平板，商场共盈利多少元？ 【解答】解：（1）设该商场购进甲型平板的单价为 x元，则购进乙型平板的单价为 ( 40)x  元， 第 29 页 共 125 页 由题意得： 60000 1280002 40x x    ， 解得： 600x  ， 经检验： 600x  是原分式方程的解，且符合题意， 则 40 640x   ， 答：该商场购进甲型平板的单价为 600元，乙型平板的单价为 640元； （2）该商场共购进甲型平板和乙型平板： (60000 600) 3 300   （件 )， 共盈利： (300 50) 700 700 0.8 50 60000 128000 15000        （元 )， 答：售完这两种平板，商场共盈利 15000元． 25．（10分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的 4倍的三角形叫做常态 三角形．例如：某三角形三边长分别是 5，6和 8，因为 2 2 26 8 4 5 100    ，所以这个三角 形是常态三角形． （1）若 ABC 三边长分别是 3， 2 5 和 4，则此三角形 是 常态三角形（选填“是”或 “不是” )； （2）若Rt ABC 是常态三角形，求此三角形的三边长之比（请写出求解过程并将三边按从 小到大排列）； （3）如图，Rt ABC 中， 90ACB  ， 6BC  ，点D为 AB的中点，连接CD，若 BCD 是 常态三角形，求 ABC 的面积． 【解答】解：（1） 2 2 22 4 4 ( 5) 20    ， ABC 三边长分别是 2， 5 和 4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2） Rt ABC 是常态三角形， 设两直角边长为： a， b，斜边长为： c， 则 2 2 2a b c  ， 2 2 24a c b  ， 则 2 22 3a b ， 故 : 3 : 2a b  ， 设 3a x ， 2b x ， 则 5c x ， 此三角形的三边长之比为： 2 : 3 : 5． （3） Rt ABC 中， 90ACB  ， 6BC  ，点D为 AB的中点， BCD 是常态三角形， 当 AD BD DC  ， 2 2 24 6CD BD   时， 解得： 6 2BD DC  ， 则 12 2AB  ， 故 2 2(12 2) 6 6 7AC    ， 则 ABC 的面积为： 1 6 6 7 18 7 2    ． 当 AD BD DC  ， 2 2 24CD BC BD   时， 解得： 2 3BD DC  ， 则 4 3AB  ， 故 2 3AC  ， 则 ABC 的面积为： 1 6 2 3 6 3 2    ． 故 ABC 的面积为18 7 或 6 3． 第 30 页 共 125 页 26．（12分）【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具 有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有 这个规律的图形称为“手拉手”图形． 【材料理解】（1）如图 1，在“手拉手”图形中，小高发现若 BAC DAE   ，AB AC ，AD AE ， 则 ABD ACE   ．请证明小高的发现． 【深入探究】（2）如图 2， 90BAC DAE    ， AB AC ， AD AE ，试探索线段CD， BD， AD之间满足的等量关系，并证明结论； 【延伸应用】（3）①如图 3，在四边形 ABCD中，BD CD ，AB BE ， 60ABE BDC    ， A 与 BED 的数量关系为： 180A BED     （直接写出答案，不需要说明理由）； ②如图 4，在四边形 ABCD中， 45ABC ACB ADC      ．若 3BD  ， 1CD  ，则 AD 的长为 （直接写出答案，不需要说明理由）． 【解答】（1）证明： BAC DAE   ， BAC CAD DAE CAD       ， BAD CAE   ， 在 ABD 和 ACE 中， AB AC BAD CAE AD AE       ， ( )ABD ACE SAS   ； （2）解：结论： 2 2 22BD CD AD  ． 理由：如图 2中，连接CE ， 由（1）得， BAD CAE   ， BD CE  ， ACE B   ， 90DCE  ， 2 2 2CE CD ED   ． 又 AD AE ， 2 22DE AD  ， 2 2 22BD CD AD   ． （3）解：① 180A BED    ． 证明： 60BDC   ， BD CD ， BDC 是等边三角形， BD BC  ， 60DBC  ， 60ABC DBC     ， 第 31 页 共 125 页 ABD CBE   ， AB BE ， ( )ABD EBC SAS   ， BEC A   ， 180BED BEC     ， 180A BED    ． 故答案为： 180A BED    ； ②如图 4中，作 AE AD ，使 AE AD ，连接CE ，DE． BAC CAD DAE CAD       ， 即 BAD CAE   ， 在 BAD 与 CAE 中， AB AC BAD CAE AD AE       ， ( )BAD CAE SAS   ， 3BD CE   ， 45ADC   ， 45EDA  ， 90EDC  ， 2 2 2 23 1 2 2DE CE CD      ， 90DAE   ， 2 2 2AD AE DE   ， 2 4AD  ， 0AD  ， 2AD  ． 故答案为：2． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2023/9/8 12:41:23；用户：初中数学；邮箱：ydyd192@xyh.com；学号： 48157783