第02讲 整式（练习）【3大考点13大题型】-2025年中考数学一轮复习【举一反三】系列（全国版）

第02讲 整式【3大考点13大题型】 考点一 代数式 【题型1 实际问题中的代数式】 1．（2024中考·湖北宜昌·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别求出2次的面积，比较大小即可． 【详解】原来的土地面积为平方米，第二年的面积为 所以面积变小了， 故选C． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算，平方差公式，代数式大小的比较，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键． 2．（2024中考·浙江台州·中考真题）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两份糖水中糖的重量，再除以混合之后的糖水总重，即可求解． 【详解】解：混合之后糖的含量：， 故选：D． 【点睛】本题考查列代数式，理解题意是解题的关键． 3．（2024中考·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 【答案】B 【分析】设原件为x元，根据调价方案逐一计算后，比较大小判断即可． 【详解】设原件为x元， ∵先打九五折，再打九五折， ∴调价后的价格为0.95x×0.95=0.9025x元， ∵先提价，再打六折， ∴调价后的价格为1.5x×0.6=0.90x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.3x×0.7=0.91x元， ∵先提价，再降价， ∴调价后的价格为1.25x×0.75=0.9375x元， ∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x 故选B 【点睛】本题考查了代数式，打折，有理数大小比较，准确列出符合题意的代数式，并能进行有理数大小的比较是解题的关键． 4．（2024中考·吉林·中考真题）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要 元．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】根据“总费用购买篮球的数量每个篮球的价格”即可得． 【详解】解：由题意得：一共需要的费用为元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，正确找出等量关系是解题关键． 5．（2024中考·重庆·中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ． 【答案】 【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+，B饮料的销售额为，C饮料销售额：，可求，六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比计算即可 【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4， 设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x， A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．, 设A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y． 六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m， A饮料增加的销售占六月份销售总额的 A饮料销售额为3xy+， A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3， B饮料的销售额为 B饮料的销售额增加部分为 ∴C饮料增加的销售额为 ∴C饮料销售额： ∴ ∴ 六月份A种预计的销售额， 六月份预计的销售数量 ∴A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比 故答案为 【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键 【题型2 求代数式的值】 1．（2024中考·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【答案】B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024中考·安徽芜湖·中考真题）若，则的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 【答案】B 【分析】由 可得且，解得，，再将其代入式子即可求解． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：，， 将，代入， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 3．（2024中考·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12 【答案】D 【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，可得a，b的值，再代入求解即可得到答案． 【详解】解： 点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b）， ， 解得： 故选D 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数． 4．（2024中考·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．12 【答案】C 【分析】令，代入已知等式进行计算即可得． 【详解】解：观察所求式子与已知等式的关系，令， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式求值，观察得出所求式子与已知等式的关系是解题关键． 5．（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 【答案】A 【分析】先化简已知的式子，再整体代入求值即可． 【详解】∵ ∴ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式、代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 6．（2024中考·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 ． 【答案】18 【分析】根据﹣3＜﹣1确定出应代入y＝2x2中计算出y的值． 【详解】解：∵﹣3＜﹣1， ∴x＝﹣3代入y＝2x2，得y＝2×9＝18， 故答案为：18 【点评】本题主要考查函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键． 7．（2024中考·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 【题型3 与代数式有关的规律探究】 1．（2024中考·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ） A．252 B．253 C．336 D．337 【答案】B 【分析】根据图形的变化及数值的变化找出变化规律,即可得出结论． 【详解】解：设第n个图形需要an（n为正整数）根小木棒， 观察发现规律：第一个图形需要小木棒：6=6×1+0， 第二个图形需要小木棒：14=6×2+2； 第三个图形需要小木棒：22=6×3+4，…， ∴第n个图形需要小木棒：6n+2（n-1）=8n-2． ∴8n-2=2022，得：n=253， 故选：B． 【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，解决该题型题目时，根据给定图形中的数据找出变化规律是关键． 2．（2024中考·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ） A．98 B．100 C．102 D．104 【答案】B 【分析】观察数字的变化，第n行有n个偶数，求出第n行第一个数，故可求解． 【详解】观察数字的变化可知： 第n行有n个偶数， 因为第1行的第1个数是： ； 第2行的第1个数是： ； 第3行的第1个数是：； … 所以第n行的第1个数是： ， 所以第10行第1个数是：， 所以第10行第5个数是： ． 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的规律探究，推导出一般性规律是解题的关键． 3．（2024中考·山东聊城·中考真题）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（    ）．       … A．150 B．200 C．355 D．505 【答案】C 【分析】由图形可知图①中白色小正方形地砖有12块，图②中白色小正方形地砖有12+7块，图③中白色小正方形地砖有12+7×2块，…，可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5，再令n=50，代入即可． 【详解】解：由图形可知图中白色小正方形地砖有12+7(n-1)=7n+5（块） 当n=50时，原式=7×50+5=355（块） 故选：C 【点睛】考查了规律型：图形的变化，解决这类问题首先要从简单图形入手，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 4．（2024中考·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（   ）根火柴． A．156 B．157 C．158 D．159 【答案】B 【详解】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案． 解：根据题意可知： 第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3， 第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3， 第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3， …， 第n个图案需n（n+3）+3根火柴， 则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）； 故选B． “点睛”此题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题. 5．（2024中考·江苏徐州·中考真题）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质和矩形周长，得到，然后设，然后根据列出代数式即可求解阴影部分面积． 【详解】∵矩形的周长为， ∴， 设，则，，， ， 故答案为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，和列代数式及整式的化简，关键是读懂题目，列出代数式． 6．（2024中考·山东潍坊·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为； 的圆心为点B，半径为； 的圆心为点C，半径为； 的圆心为点D，半径为；… 的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是 ． 【答案】 【分析】曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到，，再计算弧长． 【详解】解：由图可知，曲线是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1， ，，……， ，， 故的半径为， 的弧长=． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2024中考·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据前几个图案的规律，即可求解； （2）根据题意，结合图形规律，即可求解． （3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键． 考点二 整式及其运算 【题型4 整式的相关概念】 1．（2024中考·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式的定义、单项式次数的定义逐项判断即可得． 【详解】A、是多项式，此项不符题意； B、是二次单项式，此项符合题意； C、是三次单项式，此项不符题意； D、是一次单项式，此项不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了单项式，熟记定义是解题关键． 2．（2024中考·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 【答案】A 【分析】系数的绝对值均为奇数，可用(2n-1)表示；字母和字母的指数可用xn表示． 【详解】解：依题意，得第n项为（2n-1）xn， 故选：A． 【点睛】本题考查的是单项式，根据题意找出规律是解答此题的关键． 3．（2024中考·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【答案】0或8 【分析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：多项式是关于，的三次多项式， ，， ，， 或， 或， 或8． 故答案为：0或8． 【点睛】本题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键． 【题型5 整式的加减与幂的运算】 1．（2024中考·浙江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘除法，幂的乘方和合并同类项法则求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；     故选：C． 2．（2024中考·青海·中考真题）计算的结果是（    ） A．8x B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项．根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 3．（2024中考·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可 【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴， 解得，， ∴点在第四象限， 故选：D 4．（2024中考·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、与不可以合并，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 5．（2024中考·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方运算，同类项的合并，完全平方公式以及平方差公式，根据积的乘方运算法则，同类项的合并法则以及完全平方公式以及平方差公式一一计算判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，故该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； C．，原计算错误，故该选项不符合题意； D．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型6 整式的乘除】 1．（2024中考·山东青岛·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2．（2024·江苏苏州·一模）已知，则的值是 ． 【答案】14 【分析】根据题意可得，将已知等式两边同时除以，得到，进而根据完全平方公式的变形即可求解． 【详解】解：，且由题意可得， ， ， 原式 ， 故答案为：14 【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】首先根据多项式除以一个单项式的计算方法，用多项式的每一项去除以这个单项式，计算即可得解． 【详解】解：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 4．（2024·吉林·一模）若被除后余3，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据被除后余3，判断出为的一个因式，再根据特殊值法求得的值． 【详解】解：∵被除后余3， ∴可被整除， ∴为的一个因式， ∴当，即时，， 即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，理解被除式、除式、商、余式之间的关系是解题的关键． 5．（2024中考·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】设，把原式化简为关于x的代数式，再运算求解 【详解】设， 则原式 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，关键是灵活运用整体法求解． 6．（2024中考·江苏盐城·中考真题）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【答案】3 【分析】拼成的大长方形的面积是，即需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片． 【详解】解：由题意得，一个A类卡片的面积为，一个B类卡片的面积为，一个C卡片的面积为， ∵． ∴需要一个边长为的正方形，2个边长为的正方形和3个类卡片． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键． 【题型7 乘法公式的应用】 1．（2024中考·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 2．（2024中考·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键． 3．（2024中考·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∴原式= ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 4．（2024中考·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴； ，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾， ∴ ∴； ，同理， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小． 5．（2024中考·广东·中考真题）若且，则 ． 【答案】 【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴=， ∴ ==， 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键． 6．（2024中考·浙江杭州·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ． 【答案】﹣ 【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，两式相减即可求解． 【详解】解：∵M＝x+y，N＝x﹣y，M＝1，N＝2， ∴（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝4， ∴x2+2xy+y2＝1，＝x2﹣2xy+y2＝4， 两式相减得4xy＝﹣3， 解得xy＝﹣， 则P＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． 7．（2024中考·四川内江·中考真题）若代数式可化为，则的值是 ． 【答案】5 【详解】，根据题意得，，解得=3，b=8,那么=5. 8．（2024中考·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1)， (2)猜想结论：，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）结合题意利用（2）中结论求解即可． 【详解】（1）解： 当，时， 原式； 当，时， 原式； （2）猜想结论： 证明： ； （3） ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键． 9．（2024中考·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． 【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键． 【题型8 化简求值】 1．（2024中考·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 2．（2024中考·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】1 【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算． 【详解】解：原式 将代入原式 【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变. 3．（2024中考·湖南邵阳·中考真题）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=． 【答案】4ab，﹣4． 【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式进行展开，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2 =a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2 =4ab， 当a=﹣2，b=时，原式=﹣4． 【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握乘法公式以及整式混合运算的运算顺序及运算法则是解本题的关键． 4．（2024中考·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值： ，其中a，b是一元二次方程的两个实数根． 【答案】﹣ab，2． 【详解】试题分析：化简整式得原式=﹣ab，根据根与系数的关系可得ab=﹣2，即可得出答案． 试题解析：解：原式==﹣ab ∵a，b是一元二次方程的两个实数根，∴ab=﹣2，则原式=﹣ab=2． 点睛：本题主要考查整式的化简求值和根与系数的关系，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及根与系数的关系是解题的关键． 5．（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中x=，y=2. 【答案】xy－；－2． 【分析】首先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则将多项式展开，然后进行合并同类项，最后将x和y的值代入化简后的式子进行计算． 【详解】解： =－－－xy+2xy =xy－， 当x==1，y=2时， 原式 ． 【点睛】题目主要考查代数式的化简求值，包括平方差公式，零次幂的运算等，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 6．（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：，其中ab=． 【答案】5 【分析】原式的第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，第三项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，最后把ab的值代入化简后的式子计算即可求出值． 【详解】解：原式=4﹣a2+a2﹣5ab+3ab =4﹣2ab， 当ab=﹣时， 原式=4+1=5． 【点睛】此题考查了整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（2024中考·北京·中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式的值． 【答案】7 【分析】先根据整式的乘法化简，然后再整体代入即可求解． 【详解】解： = = ∵ ∴ ∴原式=7． 【点睛】本题考查整式的化简求值． 【题型9 用图形面积验证乘法公式】 1．（2024中考·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③    ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案． 【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积． 2．（2024中考·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 3．（2024中考·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设直角三角形的两直角边为 ， ，斜边为 ，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，，斜边为， 图1中大正方形的面积是24， ， 小正方形的面积是4， ， ， 图2中最大的正方形的面积； 故选：D． 4．（2024中考·湖北孝感·中考真题）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为 ． 【答案】 【详解】试题分析： 【点睛】本题主要考查了平方公式的几何背景和分式的化简. 5．（2024中考·浙江宁波·中考真题）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）． 【答案】ab 【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得， 解得， ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（）2-4×（）2=ab． 故答案为：ab. 6．（2024中考·浙江衢州·中考真题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ． 【答案】a+6． 【详解】解：拼成的长方形的面积=（a+3）2﹣32 =（a+3+3）（a+3﹣3） =a（a+6）， ∵拼成的长方形一边长为a， ∴另一边长是a+6． 故答案为：6． 7．（2024中考·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 【答案】 4 【分析】（1）直接利用正方形面积公式进行计算即可； （2）根据已知图形的面积公式的特征，利用完全平方公式即可判定应增加的项，再对应到图形上即可． 【详解】解：（1）∵甲、乙都是正方形纸片，其边长分别为 ∴取甲、乙纸片各1块，其面积和为； 故答案为：． （2）要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，则它们的面积和为，若再加上（刚好是4个丙），则，则刚好能组成边长为的正方形，图形如下所示，所以应取丙纸片4块． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及完全平方公式的几何意义，解决本题的关键是牢记公式特点，灵活运用公式等，本题涉及到的方法为观察、假设与实践，涉及到的思想为数形结合的思想． 8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据证即可得证； （2）设三角形的面积为，根据题意列出方程求解即可得出的面积，设，，根据数量关系推出的值，即可得出的长． 【详解】（1）证明：设、交于点，   ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由（1）知，， 四边形的面积的面积的面积的面积， 即四边形的面积的面积， 设的面积为， 则阴影部分的面积为：， 即， 解得， 设，， ， ，， ， 即， ． 9．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）①如图1，从动长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s，则______（用含a，b代数式表示） ②若把图1中的图形，沿着线段剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式． （2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式． 【答案】（1）①a2-b2；②a2-b2=(a+b)(a-b)；（2）能，图见解析，(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2 【分析】（1）①利用正方形的面积公式，阴影部分的面积=大正方形的面积-空白部分小正方形的面积； ②利用长方形的面积公式得图3的面积，与①中的阴影面积建立等式即可； （2）拼成长方形的长为b+2a，宽为a+b，计算长方形的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）①阴影部分的面积s=a2-b2， 故答案为：a2-b2； ②∵图3中s=(a+b)(a-b)， ∴a2-b2=(a+b)(a-b)； （2）拼接的长方形如图所示， 长为(b+2a)，宽为a+b，面积为b2+3ab+2a2， 所以，得到的等式为(b+2a)(a+b)=b2+3ab+2a2． 【点睛】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示面积是解题的关键． 考点三 因式分解 【题型10 提公因式法因式分解】 1．（2024·广东佛山·一模）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是找到公因式． 通过观察可知公因式为，将原式中的公因式提取出来即可解出此题． 【详解】解：∵中的公因式为， ∴原式， 故选：B． 2．（2024中考·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴原式， 故答案为：． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将进行因式分解后，求出的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， 又可因式分解成， ∴， ∴． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，提公因式法进行因式分解等知识．熟练掌握完全平方公式，提公因式法进行因式分解是解题的关键． 根据完全平方公式，提公因式法进行因式分解，求解作答即可． 【详解】解：方法一： ． 方法二： ． 【题型11 直接运用公式法因式分解】 1．（2024中考·广西柳州·中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2 【答案】A 【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故选：A． 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：． 2．（2024中考·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先把的左边分解因式，再把代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2024中考·浙江杭州·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是 （写一个即可）． 【答案】-1 【分析】令，使其能利用平方差公式分解即可． 【详解】令，整式为 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 4．（2024中考·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 【答案】 【分析】（1）根据图象表示出PQ即可； （2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个矩形的面积都是5， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． 5．（2024中考·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答； （2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n个等式为，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明． 【详解】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 6．（2024中考·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【答案】（1）；；（2）；和不能为负数，理由见解析． 【分析】（1）根据题意，每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，区就会自动减去，可直接求出初始状态按2次后A，B两区显示的结果． （2）依据题意，分别求出初始状态下按4次后A，B两区显示的代数式，再求A，B两区显示的代数式的和，判断能否为负数即可． 【详解】解：（1）A区显示结果为： ， B区显示结果为：； （2）初始状态按4次后A显示为： B显示为： ∴A+B= = = ∵恒成立， ∴和不能为负数． 【点睛】本题考查了代数式运算，合并同类项，完全平方公式问题，解题关键在于理解题意，列出代数式进行正确运算，并根据完全平方公式判断正负． 【题型12 提公因式后应用公式法因式分解】 1．（2024中考·广西贺州·中考真题）把多项式分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】原式==，故选B． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解题的关键． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 2．（2024中考·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（2024中考·贵州黔东南·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解． 【详解】解：原式=； 故答案为． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 4．（2024中考·山东威海·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此， 先提取公因式后继续应用完全平方公式分解即可：． 5．（2024中考·湖北十堰·中考真题）已知，则 ． 【答案】36 【分析】先把多项式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】∵， ∴原式=， 故答案是：36． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 【题型13 因式分解的实际应用】 1．（2024·江苏苏州·一模）计算  的结果为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了含乘方的有理数运算，提取公因式，化简计算即可． 【详解】解：原式 故选：B． 2．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，平方差公式的运用，涉及新定义，根据一个数等于两个连续奇数的平方差，用字母表示“幸福数”，可知“幸福数”是8的倍数，即可得到答案． 【详解】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴设“幸福数”为（n为整数）， ， ∴“幸福数”是8的倍数， 观察各选项，是8的倍数的只有512， 故选：C． 3．（2024·河北沧州·一模）已知、、为的三边，且满足，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理得逆定理，将等式化为或是解题的关键．先将等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得或，进而可得或，进而判定三角形的形状即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， （舍去负值）或， 是等腰三角形或直角三角形． 故选：B． 4．（2024中考·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可． 【详解】解：由图可得到： 则：， ∴， 故答案选：B． 【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．（2024中考·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则 ． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 【答案】 【分析】①把代入求值即可； ②由题意知：均为整数， ，则再分三种情况讨论即可． 【详解】解：①当时，， 解得：； ②当m、、为正整数时， 均为整数， 而 或或， 或或， 当时，时，；时，， 故为，共2个； 当时，时，；时，，时， 故为，共3个； 当时，时，；时，， 故为，共2个； 综上所述：共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题． 6．（2024中考·四川凉山·中考真题）已知，求的值． 【答案】-4 【分析】根据已知求出xy=-2，再将所求式子变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是掌握分式的运算法则和因式分解的应用． 7．（2024中考·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：． 例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． （1）填空：；； （2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值； （3）填空： ①； ②； ③； ④． 【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3） 【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值； （3）根据的定义即可依次求解． 【详解】（1）6＝1×6＝2×3， ∵6−1＞3−2， ∴＝； 9=1×9=3×3， ∵9−1＞3−3， ∴=1， 故答案为：；1； （2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为： 10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54， ∴b−a＝6， ∵1≤a≤b≤9， ∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1， ∴t为39，28，17； ∵39＝1×39＝3×13， ∴＝； 28＝1×28＝2×14＝4×7， ∴＝； 17＝1×17， ∴； ∴的最大值． （3）①∵=20×21 ∴； ②=28×30 ∴； ③∵=40×42 ∴； ④∵=56×60 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键． 8．（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 【答案】(1)能，证明见解析 (2)见解析，能 (3)见解析 【分析】本题考查有理数运算，因式分解的应用： （1）根据去尾相加法，进行判断和证明即可； （2）一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除，利用此种方法判断9163能够被7整数即可； （3）去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 【详解】（1）解：4165去掉个位5得416，并加上5的5倍得到441，去掉441的个位1，加上1的5倍，得到，故4165可以被7整除； 证明：一个数，若，则：， ∴， 即：可以被7整数； （2）解：方法为：一个数，去掉它的末位数字之后，再减去末位数字的2倍，如果所得的差能被7整除，这个自然数就能被7整除； 9163去掉个位3，得到916，再减去3的2倍得到910，去掉910的个位0，减去0的2倍，得到，故9163能被7整除； （3）解：去头相加法：一个自然数(至少有3位)，去掉它的首位数，把首位数的2倍加在其余的数的前两位数上，如果得数能被7整除，这个自然数就能被7整除． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 整式【3大考点13大题型】 考点一 代数式 【题型1 实际问题中的代数式】 1．（2024中考·湖北宜昌·中考真题）从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ） A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定 2．（2024中考·浙江台州·中考真题）将x克含糖10的糖水与y克含糖30的糖水混合，混合后的糖水含糖（   ） A．20 B． C． D． 3．（2024中考·浙江金华·中考真题）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（    ） A．先打九五折，再打九五折 B．先提价，再打六折 C．先提价，再降价 D．先提价，再降价 4．（2024中考·吉林·中考真题）篮球队要购买10个篮球，每个篮球元，一共需要 元．（用含的代数式表示） 5．（2024中考·重庆·中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为 ． 【题型2 求代数式的值】 1．（2024中考·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 2．（2024中考·安徽芜湖·中考真题）若，则的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．0 D．4 3．（2024中考·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．12 D．﹣12 4．（2024中考·贵州六盘水·中考真题）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．16 D．12 5．（2024中考·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值为（    ） A．13 B．8 C．－3 D．5 6．（2024中考·山东烟台·中考真题）按如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值为﹣3，则输出y的结果为 ． 7．（2024中考·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ． 【题型3 与代数式有关的规律探究】 1．（2024中考·广东广州·中考真题）如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为（  ） A．252 B．253 C．336 D．337 2．（2024中考·新疆·中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第10行第5个数是（    ） A．98 B．100 C．102 D．104 3．（2024中考·山东聊城·中考真题）人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖．如果按图①②③…的次序铺设地砖，把第个图形用图表示，那么图㊿中的白色小正方形地砖的块数是（    ）．       … A．150 B．200 C．355 D．505 4．（2024中考·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（   ）根火柴． A．156 B．157 C．158 D．159 5．（2024中考·江苏徐州·中考真题）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为 ． 6．（2024中考·山东潍坊·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为； 的圆心为点B，半径为； 的圆心为点C，半径为； 的圆心为点D，半径为；… 的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形的边长为1，则的长是 ． 7．（2024中考·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 考点二 整式及其运算 【题型4 整式的相关概念】 1．（2024中考·海南·中考真题）下列整式中，是二次单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024中考·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单项式是（    ） A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1) 3．（2024中考·四川绵阳·中考真题）若多项式是关于x，y的三次多项式，则 ． 【题型5 整式的加减与幂的运算】 1．（2024中考·浙江·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024中考·青海·中考真题）计算的结果是（    ） A．8x B． C． D． 3．（2024中考·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024中考·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024中考·四川成都·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 整式的乘除】 1．（2024中考·山东青岛·中考真题）计算： ． 2．（2024·江苏苏州·一模）已知，则的值是 ． 3．（2024·浙江杭州·模拟预测）计算： ． 4．（2024·吉林·一模）若被除后余3，则的值为 ． 5．（2024中考·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 6．（2024中考·江苏盐城·中考真题）如图，正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片 张． 【题型7 乘法公式的应用】 1．（2024中考·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 2．（2024中考·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 3．（2024中考·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024中考·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 5．（2024中考·广东·中考真题）若且，则 ． 6．（2024中考·浙江杭州·中考真题）设M＝x+y，N＝x﹣y，P＝xy．若M＝1，N＝2，则P＝ ． 7．（2024中考·四川内江·中考真题）若代数式可化为，则的值是 ． 8．（2024中考·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料： 将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，． 则 例如：当，时， 根据以上材料解答下列问题： (1)当，时，______，______； (2)当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)当，时，令，，，…，，且，求T的值． 9．（2024中考·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【题型8 化简求值】 1．（2024中考·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2024中考·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2024中考·湖南邵阳·中考真题）先化简，再求值：（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=． 4．（2024中考·湖南娄底·中考真题）先化简，再求值： ，其中a，b是一元二次方程的两个实数根． 5．（2024中考·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中x=，y=2. 6．（2024中考·湖北随州·中考真题）先化简，再求值：，其中ab=． 7．（2024中考·北京·中考真题）已知2a2+3a-6=0．求代数式的值． 【题型9 用图形面积验证乘法公式】 1．（2024中考·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式： ①   ②       ③    ④   其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024中考·四川资阳·中考真题）4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（    ） A． B． C． D． 3．（2024中考·四川眉山·中考真题）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（    ） A．24 B．36 C．40 D．44 4．（2024中考·湖北孝感·中考真题）如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 ，则可化简为 ． 5．（2024中考·浙江宁波·中考真题）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 （用a、b的代数式表示）． 6．（2024中考·浙江衢州·中考真题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ． 7．（2024中考·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）． （1）取甲、乙纸片各1块，其面积和为 ； （2）嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片 块． 8．（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．如图，在正方形中，．    (1)求证：． (2)【结论应用】如图②，设，相交于点G，若，图中阴影部分的面积和与正方形的面积之比为，则的面积为______，的长为______．    9．（2024·浙江杭州·模拟预测）（1）①如图1，从动长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，设图1中的阴影部分面积为s，则______（用含a，b代数式表示） ②若把图1中的图形，沿着线段剪开（如图2），把剪成的两张纸片拼成如图3的长方形，请写出上述过程你所发现的乘法公式． （2）下列纸片中有两张是边长为a的正方形，三张是长为a，宽为b的长方形纸片，一张是边长为b的正方形纸片，你能否将这些纸片拼成一个长方形，请你画出草图，并写出相应的等式． 考点三 因式分解 【题型10 提公因式法因式分解】 1．（2024·广东佛山·一模）将因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2024中考·浙江·中考真题）因式分解： 3．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知可因式分解成，其中a，b，c均为整数，求的值． 5．（2024·浙江宁波·模拟预测）用两种不同的方法计算：．（方法一：运用完全平方公式计算；方法二：运用因式分解计算，两种方法都须做） 【题型11 直接运用公式法因式分解】 1．（2024中考·广西柳州·中考真题）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2 2．（2024中考·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 3．（2024中考·浙江杭州·中考真题）若整式（为常数，且）能在有理数范围内分解因式，则的值可以是 （写一个即可）． 4．（2024中考·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且． （1）若a，b是整数，则的长是 ； （2）若代数式的值为零，则的值是 ． 5．（2024中考·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 6．（2024中考·河北·中考真题）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的区就会自动加上，同时区就会自动减去，且均显示化简后的结果．已知，两区初始显示的分别是25和－16，如图． 如，第一次按键后，，两区分别显示： （1）从初始状态按2次后，分别求，两区显示的结果； （2）从初始状态按4次后，计算，两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由． 【题型12 提公因式后应用公式法因式分解】 1．（2024中考·广西贺州·中考真题）把多项式分解因式的结果是（ ） A． B． C． D． 2．（2024中考·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 3．（2024中考·贵州黔东南·中考真题）分解因式： ． 4．（2024中考·山东威海·中考真题）分解因式： ． 5．（2024中考·湖北十堰·中考真题）已知，则 ． 【题型13 因式分解的实际应用】 1．（2024·江苏苏州·一模）计算  的结果为（    ） A． B． C． D．2 2．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（    ） A．268 B．330 C．512 D．588 3．（2024·河北沧州·一模）已知、、为的三边，且满足，则是（   ） A．直角三角形 B．等腰或直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．（2024中考·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024中考·湖南·中考真题）已知实数m、、满足：． ①若，则 ． ②若m、、为正整数，则符合条件的有序实数对有 个 6．（2024中考·四川凉山·中考真题）已知，求的值． 7．（2024中考·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：． 例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以． （1）填空：；； （2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值； （3）填空： ①； ②； ③； ④． 8．（2024·上海·模拟预测）小杨同学正在研究关于某一个数是否能被7整除的相关规律，他以整数7为代表，他发现，根据去尾相加法，可以得知，以下是他对数字1176的探究过程： 1176去掉个位6得117，并加上6的5倍得到147，去掉147的个位7，加上7的5倍，得到，故1176可以被7整除． (1)请判断4165是否能被7整除，并证明小杨方法的正确性 (2)小浦同学在小杨同学研究的基础上，发现了去尾相减法，请写出小浦同学的方法，并判断数字9163是否能被7整除 (3)你还能探究出其他判断一个数能否被7整除的方法吗，请直接写出你的方法（无需证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$