精品解析：广东省云浮市罗定市培献中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学第3次素质检测 （时间：120分，总分：120分） 一、单选题 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 过点A作圆O的切线只有一条，那么点A与圆O的位置关系是（ ） A. 点A在圆O外 B. 点A在圆O上 C. 点A在圆O内 D. 以上都有可能 5. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、填空题 11. 半径为，圆心角为的扇形面积是________． 12. 点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，则的度数是__． 14. 如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为________ 15. 如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）方程的一个根是，求的值； （2）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标． 19. 某航空公司有若干个飞机场．每两个飞机场之间都开辟一条航线，若共有36条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？ 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 21. 如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 23. 如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、． （1）用m来表示的长； （2）当为等腰三角形时，求m的值； （3）如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第3次素质检测 （时间：120分，总分：120分） 一、单选题 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 方程的根为（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：， 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把抛物线解析式化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：解抛物线转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 过点A作圆O的切线只有一条，那么点A与圆O的位置关系是（ ） A. 点A在圆O外 B. 点A在圆O上 C. 点A在圆O内 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点A与圆O的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：A、点A在圆O外，过点A作圆O的切线有来两条，不符合题意； B、点A在圆O上，过点A作圆O的切线只有一条，符合题意； C、点A在圆O内，过点A的直线与圆O相交，不符合题意； D、B符合题意，故D不符合题意； 故选：B． 5. 某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 6. 如图，为的直径，点在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由圆周角定理可得，进而由直角三角形的两锐角互余即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和等知识，掌握旋转的性质及等腰三角形的性质是关键；由旋转知，等于旋转角，，由等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解：由旋转知，等于旋转角，， ∴， ∴， 即旋转角为 故选：C． 8. 如图，点A，B，C，D都在上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂线的性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． 根据圆周角定理可得，由可得，再根据即可得出答案． 【详解】解：根据圆周角定理可得： ， ， ， ， 故选：． 9. 正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的半径为，点在经过点，的直线上，与相切于点，则切线长的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点．连接．根据勾股定理知，因为是定值，所以当时，线段最短，即线段最短． 【详解】连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短； 又，， ， ， 的最小值． 故选B． 二、填空题 11. 半径为，圆心角为的扇形面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积公式的应用．根据扇形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积， 故答案为：． 12. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 13. 如图，将绕点A按逆时针旋转后，得到，则的度数是__． 【答案】65 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质，得到为等腰三角形是解决问题的关键． 先根据旋转的性质得，，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针旋转后，得到， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，．若，则的度数为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，等边对等角，根据圆内接四边形的对角互补，求出的度数，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了求其他不规则图形的面积，涉及了旋转的性质以及圆周角定理等知识点，连接，可推出是等边三角形、是等边三角形，进而得；根据，可得图中阴影部分的面积，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，， ∴的半径为，且， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键，先移项，然后利用因式分解法求解方程即可． 【详解】解： 解得：． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）方程的一个根是，求的值； （2）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）； （2） 证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ． ∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点顺时针方向旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求， 点的坐标为 （2）如图所示，即为所求， 点的坐标为 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； （）根据旋转的性质作出图形，再根据图形写出坐标即可； 本题考查了作轴对称图形，旋转作图，坐标与图形，掌握轴对称和旋转的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图可得点的坐标为； 【小问2详解】 解：由图可得点的坐标为． 19. 某航空公司有若干个飞机场．每两个飞机场之间都开辟一条航线，若共有36条航线，则这个航空公司共有飞机场多少个？ 【答案】这个航空公司共有飞机场9个 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，得到飞行总航线与飞机场数的等量关系是解决本题的关键．每个飞机场都要与其余的飞机场开辟一条航线，但两个飞机场之间只开通一条航线．等量关系为：飞机场数×（飞机场数，把相关数值代入求正数解即可． 【详解】解：设共有x个飞机场． ， 解得（不合题意，舍去）． 答：这个航空公司共有飞机场9个． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）设矩形的边，则边的长度是多少？（用含有x的代数式表示） （2）当羊圈的面积为时，该羊圈的长和宽分别应为多少？ 【答案】（1） （2）羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用： （1）用栅栏长减去长的两倍再加上的长即可得到答案； （2）根据（1）所求结合矩形面积计算公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得：， 解得或， 当时，，； 当时，，； 答：羊圈的长为，宽为或羊圈的长为，宽为． 21. 如图，已知正方形ABCD，∠MAN＝45°，连接CB，交AM、AN分别于点P、Q，求证：CP2+BQ2＝PQ2． 【答案】 证明：将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′， ∴AQ′＝AQ，CQ′＝BQ，∠BAQ＝∠CAQ′，∠ACQ′＝∠ABC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ACQ′＝∠ABC＝∠ACB＝45°，∠CAB＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠CAP+∠BAQ＝45°， ∴∠Q′AP＝∠CAQ′+∠CAP＝45°， ∴∠Q′AP＝∠QAP， 在△Q′AP和△QAP中， ， ∴△Q′AP≌△QAP（SAS）， ∴PQ＝PQ′， ∵∠Q′CP＝∠ACQ′+∠ACB＝90°， 在Rt△Q′CP中，由勾股定理得， Q′P2＝Q′C2+CP2， ∴CP2+BQ2＝PQ2． 【解析】 【分析】将△ABQ绕A点顺时针旋转90°得到△ACQ′，连接PQ′，则可证△Q′AP≌△QAP，得到PQ＝PQ′，再由勾股定理即可得到CP2+BQ2＝PQ2． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确利用旋转模型构造全等三角形． 22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接， 如图所示： ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，∵， ∴， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等，掌握切线的判定方法及弧长的计算公式是解题的关键． （1）连接，由，可得，进而可得，结合可证，即可得出是的切线； （2）由，可得，设，则，结合，在中，由三角形内角和定理列式计算出，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度． 23. 如图1，抛物线与坐标轴交于A、B、C三点，连接．直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点，连接、、、． （1）用m来表示的长； （2）当为等腰三角形时，求m的值； （3）如图2，直线l经过的中点且与抛物线交于M、N两点，直线分别与l、x轴交于G、Q两点，当平分的面积时，求l的解析式． 【答案】（1） （2） （3）直线l的解析式为 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出点A、B、C的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，用含m的代数式表示即可； （2）先证明和是等腰直角三角形，根据为等腰三角形可得，建立方程求解即可得出答案； （3）设H是的中点，先得出，设直线l的解析式为，与抛物线解析式联立得，运用根与系数关系可得，再由题意可得的中点G的横坐标为2，建立方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：在抛物线中， 令，得， ， 令，得， 解得：， ， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线分别与抛物线、、x轴交于D、E、F三点， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 解得：或， ， ∴； 【小问3详解】 解：设H是的中点，如图， ， 设直线l的解析式为， 联立得， 整理得：， ∴， ∵直线平分的面积， 的中点G的横坐标为2， ∴，即， 解得：， ∴直线l的解析式为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积，一元二次方程根与系数关系的应用等，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $