6.3 角（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版2024新教材）

6.3 角 【考点1 角的概念及表示】 【考点2 度分秒换算】 【考点3 钟面角】 【考点4 方位角】 【考点5 三角板中角度运算】 【考点6 角平分线的有关运算】 【考点7 余角概念及及性质】 【考点8 补角及性质】 【考点9 与余角，补角的有关计算】 知识点1 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点1 角的概念及表示】 【典例1】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【变式1-1】下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B．C． D． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【考点2 度分秒换算】 【典例2】可化为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】用度、分、秒表示为（） A． B． C． D． 【变式2-2】若，，，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 【变式2-3】如果，，则 ， ． 知识点3 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【考点3 钟面角】 【典例3】某人下午6点多钟外出买东西时，看钟表上的时针和分针的夹角是，下午近7点回家时，发现时针与分针的夹角又是，则此人外出用了（  ） A．30分钟 B．40分钟 C．50分钟 D．60分钟 【变式3-1】如图，上午，时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】钟面上的时间走到4时分，此时时针与分针的夹角是 °． 【变式3-3】如图，钟表上时针与分针所成角的度数是 ． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【考点4 方位角】 【典例4】如图，点A位于点O的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【变式4-1】如图，海平面上的两艘军舰的位置在A和B，则由B测得A的方向应该是（   ） A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏西30° D．北偏西60° 【变式4-2】为了使地铁号线在亚运会前全线贯通，继站开工之后，某路上的第二座车站开始主体施工(要求两站的地铁线是笔直的)，从施工点测得施工点的走向是北偏西，两个月后两站要准确对接，则施工点的地铁走向应该是（    ） A．北偏西 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏北 【变式4-3】如图，轮船A位于灯塔O的北偏西的方向，，那么轮船B的方向是（    ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏西 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【考点5 三角板中角度的运算】 【典例5】如图，把两块三角板拼在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中和是直角．若，则的度数 ．    【考点6 角平分线的有关运算】 【典例6】如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 【变式6-1】已知O为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【变式6-2】如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 知识点7：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【考点7 余角概念及及性质】 【典例7】已知，则的余角度数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【变式7-2】已知与互余，若，则的度数为 【变式7-3】已知，那么的余角度数为 ． 【考点8 补角及性质】 【典例8】一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】若与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】若，那么的补角是 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【典例9】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（  ） A．B．C． D． 【变式9-1】如图，．假设，那么的大小为 ．    【变式9-2】如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 1．如图，下列表示角的说法，错误的是（    ） A．也可用表示 B．与表示同一个角 C．表示的是 D．和都不能用表示 2．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 3．从2时整到3时35分，时针转过的角度是（　　） A． B． C． D． 4．用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 5．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 10．一个角的余角的4倍比这个角的2倍大，则这个角的余角的度数为（ ） A． B． C． D． 11．如图，是的高，．若，则的度数是 ． 12．如图，射线的方向是北偏东，，则射线的方向是 ．    13．如图，，，平分，则的度数为 ． 14．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 15．如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 16．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 17．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．    【计算与观察】 （1）若，则____________；若，则____________； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.3 角 【考点1 角的概念及表示】 【考点2 度分秒换算】 【考点3 钟面角】 【考点4 方位角】 【考点5 三角板中角度运算】 【考点6 角平分线的有关运算】 【考点7 余角概念及及性质】 【考点8 补角及性质】 【考点9 与余角，补角的有关计算】 知识点1 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． 图2 图1 （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意： （1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意： 用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【考点1 角的概念及表示】 【典例1】如图，下列表示角的方法，错误的是（   ） A．与表示同一个角 B．也可用来表示 C．图中共有三个角： D．表示的是 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可； 【详解】和表示同一个角，正确，故A不符合题意； 不可以用表示，故B错误； 图是共有三个角：，，，正确，故A不符合题意； 表示的是，正确，故D不符合题意． 故选B． 【变式1-1】下列选项中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的表示方法，解决这类问题的关键是要熟练掌握角的几种表示方法．根据角的表示方法对各选项逐一分析即可作出判断． 【详解】A．顶点O处有四个角， 这四个角均不能用表示，故本选项错误； B．顶点O处只有一个角， 这个角能用，，表示，故本选项正确； C．顶点O处有三个角， 这三个角均不能用表示，故本选项错误； D．顶点O处有3个角， 这3个角均不能用表示，故本选项错误； 故选：B． 【变式1-2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是角的表示方法，利用角的三种表示方法，逐个进行分析即可．熟练掌握角度的三种正确表示方法是解题的关键． 【详解】解：A．表示同一个角，不能用表示，故此选项不符合题意； B．不是同一个角，故此选项不符合题意； C．不能表示同一个角，不能用表示，故此选项不符合题意； D．，，可以表示同一个角，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意； C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、也可以表示为，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 知识点2 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意： 在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位 【考点2 度分秒换算】 【典例2】可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查度分秒的换算，根据，进行计算即可． 【详解】解：， 故选D． 【变式2-1】用度、分、秒表示为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，度化成分乘以60，分化成秒乘以60．根据度分秒的进率，可得答案． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式2-2】若，，，则下列结论正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度分秒的换算，掌握度、分的单位换算方法是解题的关键． 先将进行单位换算，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 【变式2-3】如果，，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，角的和差计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据角度的加减运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ； ∴， ， ． 故答案为：，． 知识点3 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【考点3 钟面角】 【典例3】某人下午6点多钟外出买东西时，看钟表上的时针和分针的夹角是，下午近7点回家时，发现时针与分针的夹角又是，则此人外出用了（  ） A．30分钟 B．40分钟 C．50分钟 D．60分钟 【答案】B 【分析】本题考查了钟表时针与分针的夹角，正确掌握钟表时针与分针的夹角是解答本题的关键．根据钟面角为时针转过的角度与分针转过的角度之差，结合题中外出前后钟面角均为可设外出买东西的时间是分钟；由钟表的特点可知，此时时针走了度，分针走了度，而它们的差值即为钟面角的2倍，进而列出关于的方程，求解即可. 【详解】解：设此人外出用了分钟， 根据题意得：， 解得：， 此人外出用了40分钟． 故选：B． 【变式3-1】如图，上午，时针与分针的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据钟面角的定义，以及钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系进行计算即可．本题考查钟面角，理解钟面角的定义，掌握钟面上时针、分针转动过程中所成角度的变化关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图， 由钟面角的定义可知，，， ∴， 故选：A． 【变式3-2】钟面上的时间走到4时分，此时时针与分针的夹角是 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了钟面角，正确分析出钟表中时针与分针每分钟转过的度数是解题关键．钟面上有个大格，每个大格是，4时分时，时针指向4和5之间，分针指向9，时针和分针之间有4个大格和个大格，用4乘，再加上乘，即可求出时针和分针的夹角． 【详解】分针指向9，时针指向4和5之间， 时针和分针之间有4个大格和个大格 ． 此时时针与分针的夹角是， 故答案为：． 【变式3-3】如图，钟表上时针与分针所成角的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了钟面上的角度计算，了解钟面的结、明确每份的度数是解题的关键． 根据钟面一周为，被分成了12等份，每份的度数是，依此即可求出4时的时针与分针所成的角度即可． 【详解】解：如图：钟表上时针与分针所成角的度数是． 故答案为：． 知识点4 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意： （1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点 【考点4 方位角】 【典例4】如图，点A位于点O的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】本题考查了方位角的表示，根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断． 【详解】解：由图可得，点A位于点O的北偏西的方向上． 故选：B． 【变式4-1】如图，海平面上的两艘军舰的位置在A和B，则由B测得A的方向应该是（   ） A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏西30° D．北偏西60° 【答案】D 【分析】根据方位的判定方法即可得出答案． 【详解】根据图示可得：A的方向为：北偏西60°方向上，故选D． 【点睛】本题主要考查的是方位角的问题，属于基础题型．解决这个问题的关键就是找出观测点． 【变式4-2】为了使地铁号线在亚运会前全线贯通，继站开工之后，某路上的第二座车站开始主体施工(要求两站的地铁线是笔直的)，从施工点测得施工点的走向是北偏西，两个月后两站要准确对接，则施工点的地铁走向应该是（    ） A．北偏西 B．南偏东 C．南偏东 D．东偏北 【答案】C 【分析】根据方向角的定义画出相应的图形即可． 【详解】解：如图，施工点测得施工点的走向是北偏西，则施工点测得施工点的走向是南偏东，      故选：． 【点睛】此题考查方向角，理解方向角的定义是解题的关键． 【变式4-3】如图，轮船A位于灯塔O的北偏西的方向，，那么轮船B的方向是（    ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏西 D．南偏西 【答案】C 【分析】根据题意：轮船A位于灯塔O的北偏西的方向，，再结合平角的定义，即可得出结论． 【详解】解：∵轮船A位于灯塔O的北偏西的方向， 又∵， ∴根据平角定义，可得：， ∴轮船位于灯塔O的南偏西的方向． 故选：C 【点睛】本题考查了方位角问题，解本题的关键在正确描述方位角． 知识点5 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC， ∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 知识点6：角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意： (1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【考点5 三角板中角度的运算】 【典例5】如图，把两块三角板拼在一起，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角的和差运算，直接利用角的加法列式计算即可． 【详解】解：由图可知． 故选B． 【变式5-1】如图，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，如图可知，的度数正好是两直角相加减去的度数，进而即可解出答案． 【详解】解：，， ， 故选：A． 【变式5-2】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，掌握角度的和差计算方法是解题的关键． 根据题意可得，得到的度数，再根据，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C ． 【变式5-3】如图，将一副三角板的直角顶点重合在一起，其中和是直角．若，则的度数 ．    【答案】/65度 【分析】根据等角（或同角）的余角相等，得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角的概念，解题关键是掌握等角的余角相等． 【考点6 角平分线的有关运算】 【典例6】如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算角平分线的有关计算． （1）直接根据计算即可； （2）根据题意，由角平分线定义得出，，由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵平分，平分，，， ∴， ∴ ． 【变式6-1】已知O为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，从而求出的度数；根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵O为直线上一点， ∴． 【变式6-2】如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合 ，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 【变式6-3】如图，直线和相交于点O，把分成两部分，且，平分． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，（1）利用了对顶角相等，邻补角互补，（2）利用了角平分线的定义，邻补角互补的性质，角的和差． （1）根据对顶角相等，可得的度数，根据，可得，根据邻补角，可得答案； （2）根据角平分线的定义，可得，根据邻补角的关系，可得关于的方程，求出的度数，可得答案． 【详解】（1）由对顶角相等，得， 由把分成两部分且，得， 由邻补角，得； （2） 平分， ． 由邻补角，得， 即， 解得． ∴，， ∴． 知识点7：余角和补角 （1）余角： 如果两个角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角,简称互余,也可以说其中一个角是另一个角的余角。 ∠A +∠C=90°,∠A= 90°-∠C ,∠C的余角=90°-∠C 即:∠A的余角=90°-∠A （2）补角： 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角 ∠A +∠C=180°,∠A= 180°-∠C ,∠C的补角=180°-∠C 即:∠A的补角=180°-∠A （3）补角的性质： 同角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠A+∠C=180°,则：∠C=∠B。 等角的补角相等。比如：∠A+∠B=180°,∠D+∠C=180°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 （4）余角的性质： 同角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠A+∠C=90°,则：∠C=∠B。 等角的余角相等。比如：∠A+∠B=90°,∠D+∠C=90°,∠A=∠D则：∠C=∠B。 注意： ①钝角没有余角； ②互为余角、补角是两个角之间的关系。如∠A+∠B+∠C=90°，不能说∠A、∠B、∠C互余；同样：如∠A+∠B+∠C=180°，不能说∠A、∠B、∠C互为补角； ③互为余角、补角只与角的度数相关，与角的位置无关。只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角。 【考点7 余角概念及及性质】 【典例7】已知，则的余角度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角，如果两个角的和是，那么这两个互为余角，由此计算即可． 【详解】解：若，则的余角为， 故选：B． 【变式7-1】如图，，则下列说法错误的是（    ） A．与不互为余角 B．与互为余角 C．与互为余角 D．与互为余角 【答案】A 【分析】本题考查了互余的概念及计算，掌握互余的概念是解题的关键． 根据互余的概念及计算可得，由此进行判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即与互为余角，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即与互为余角，故A选项错误，符合题意； ∴，即与互为余角，故D选项正确，不符合题意； ∴，即与互为余角，故C选项正确，不符合题意； 故选：A ． 【变式7-2】已知与互余，若，则的度数为 【答案】/70度 【分析】本题考查了求一个角的余角，根据两个角互余，则两个角相加之和为，进行求解即可． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】已知，那么的余角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角，度分秒的换算，熟练掌握互为余角的定义以及度分秒的换算是解题的关键．如果两个角的和是，那么这两个角互为余角，由此计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为， 故答案为：． 【考点8 补角及性质】 【典例8】一个角的补角是，这个角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了补角的定义以及角度的计算，根据互为补角的两角之和为，且计算即可得出这个角的度数． 【详解】解：根据题意，， 故选：C． 【变式8-1】若与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了补角的定义，直接根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵与互补，， ∴． 故选A． 【变式8-2】图中，的补角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了补角的定义，如果两个角的度数和为，那么这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角称为另一个角的补角．据此求解即可． 【详解】解：根据平角的意义知：, ∴的补角是， 故选：B． 【变式8-3】若，那么的补角是 【答案】 【分析】此题考查了补角和度分秒的换算，熟练掌握求一个角补角的方法和度分秒之间的换算进率是解决问题的关键．两个角的和为，则两个角互为补角．根据概念进行计算． 【详解】解：根据互为补角的概念，得：． 故答案为：． 【考点9 与余角，补角的有关计算】 【典例9】如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中与不相等的图形为（  ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据余角和补角的性质一一进行判断即可得到最后答案． 【详解】解：、，故本选项不符合题意； 、和都等于减去重合的角，故，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了角度的计算及余角、补交的性质，理解等角的余角和补角相等是解答本题的关键． 【变式9-1】如图，．假设，那么的大小为 ．    【答案】/度 【分析】根据可以推理得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，正确推出是解题的关键． 【变式9-2】如果一个角的余角比它补角的多，则这个角为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了角度的计算，设这个角为，则它的余角为，补角为，依据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角为，则它的余角为，补角为， 由题意可得，， 解得：， 即：这个角为， 故答案为：． 1．如图，下列表示角的说法，错误的是（    ） A．也可用表示 B．与表示同一个角 C．表示的是 D．和都不能用表示 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的表示方法，熟知角的表示方法是解题的关键．根据角的表示方法，逐一判断即可得到答案 【详解】解：A、由于顶点处不止一个角，故不可用表示，原说法错误，符合题意； B、与表示同一个角，原说法正确，不符合题意； C、表示的是，原说法正确，不符合题意； D、和都不能用表示，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了度、分、秒间的换算，注意相邻两个单位间的进率是60． 根据度、分、秒之间的换算关系进行计算即可． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 3．从2时整到3时35分，时针转过的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查钟表分针所转过的角度计算．因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，从2点到3时35分，时针转过了份，再计算度数． 【详解】解：∵从2点到3时35（分），时针转过了大格， ∴转过的角度是． 故选：C． 4．用度、分、秒表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，掌握换算公式是解题的关键． 根据1度等于60分，1分等于60秒，由大单位转换成小单位乘以60，按此转化即可． 【详解】解： 故选：A 5．如图，点在直线上，、分别是、的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的性质可得，，再结合，即可获得答案． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴，， ∵点在直线上， ∴， ∴． 故选：B． 6．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠的性质，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7．如图，，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算，根据角的和差关系可得出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】解： ，， ， 平分， 故选： 8．如图，已知，，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算、方程，根据已知条件列方程即可． 【详解】设，则，． 因为，所以，解得． 所以 故选：C． 9．如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，比较角的大小的方法有：(1)估测法；(2)度量法；(3)叠合法；(4)推理法． 根据已知图形可知，，减去公共部分后大小关系不变，即可比较与的大小 【详解】∵， ∴，， ∴． 故选C． 10．一个角的余角的4倍比这个角的2倍大，则这个角的余角的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角的概念及计算，一元一次方程，掌握方程的运用，余角的计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设这个角为， ∴这个角的余角为， ∴， 解得：， ∴这个角的余角为， 故选：A． 11．如图，是的高，．若，则的度数是 ． 【答案】/32度 【分析】根据同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角（或等角）的余角相等是解题的关键． 12．如图，射线的方向是北偏东，，则射线的方向是 ．    【答案】北偏西或南偏东． 【分析】本题考查了方位角的计算与表示，数形结合是解题的关键．分两种情况画图，再根据或即可求解． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴， ∴射线的方向是北偏西， 如图，    ∵，， ∴， ∴射线的方向是南偏东， 故答案为：北偏西或南偏东． 13．如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，熟练掌握角的和差倍分是解答本题的关键． 根据条件先计算出，再依据条件计算出，根据平分求得结果即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 故答案为：． 14．如图，已知O为直线上一点，是直角，平分．若，则的度数为 °． 【答案】40 【分析】本题考查了角度直角的和差关系，角平分线，先求出，根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：∵，是直角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：40． 15．如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 16．如图，点是直线上的一点，，平分． (1)试说明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查余角、补角，角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示中角度的关系，掌握余角、补角的计算是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可求解； （2）根据角平分线的性质，同角的余角相等可得，，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起．    【计算与观察】 （1）若，则____________；若，则____________； 【猜想与证明】 （2）猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 （3）若，求的度数． 【答案】（1）；；（2）（或与互补）．理由见解析；（3） 【分析】（1）根据角的和差定义计算即可． （2）利用角的和差定义计算即可． （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】解：（1）①，， ， ， ； ②，， ， ． 故答案为：，； （2）猜想得：（或与互补）． 理由：，， ， ， ． （3），， ， 解得． 【点睛】本题考查余角和补角，角的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$