期末复习重要考点06《平面图形的初步认识》十四大考点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重要考点】专练（苏科版2024）

（苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点06 《平面图形的初步认识》十四大考点题型 ▲知识点1.线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别 直线 射线 线段 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或（直线BA） 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 ▲知识点2. 两个基本事实和两点间的距离 1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . 2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 3、关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单说成两点确定一条直线. ▲知识点3. 线段的长度 1、线段比较的方法: 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 2、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ▲知识点4. 角度 概念和表示方法 1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角； ②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角； 2、角的表示方法： 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4）∠α ▲知识点5. 角的比较及运算 1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较 2、角的和、差 ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC 3、角的平分线： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. ▲知识点6. 余角和补角的概念及性质 余角的定义：如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称互余, 性质：同角（等角）的余角相等. 补角的定义：如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称互补, 性质：同角（等角）的补角相等. ▲知识点7. 相交线 1、对顶角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 性质：两直线相交，对顶角相等. 2、 垂直 （1）垂直概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足． 如图，AB垂直CD，垂足为 O．记作：AB ⊥CD 于点 O． 符号语言： 因为AB ⊥CD，所以　∠AOC = 90°． 反之，因为∠AOC = 90°， 所以AB⊥CD． （2）垂线基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【注意】“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． （3）垂线段及点到直线的距离 ◆垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ◆垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ◆点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． ▲知识点7. 平行线 1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 2、平行线的画法：过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 3.平行公理及推论 ★平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ▲知识点8. 同位角、内错角、同旁内角的特征 ▲知识点9. 平行线的判定 ★判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. ▲知识点10. 平行线的性质 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ▲知识点11.多边形 1.多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 2.多边形的相关概念： 边 组成多边形的各条线段. 顶点 相邻两条边的公共端点. 内角 多边形相邻两边组成的角. 外角 多边形的边与它邻边的延长线组成的角. 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 4.多边形的外角与相邻内角的关系：多边形的外角与相邻的内角互为补角. ▲知识点12.正多边形 定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.正多边形定义中，“各边相等”“各内角也相等”这两个条件缺一不可. 【题型1直线、射线、线段的表示方法】 1．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短 2．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线； ③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线． 其中结论错误的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 3．（2023秋•北京月考）如图中，有 　 　条直线，　 　条射线，　 　条线段． 4．（2023秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有　 　条；能用字母表示的线段有　 　条；在直线EF上的射线有　 　条． 【题型2直线、线段的基本事实的应用】 1．（2024•长沙一模）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 2．（2023秋•海港区期中）书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 3．（2023秋•长春期末）如图是学校花圃的一角，小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点之间直线最短 4．（2023秋•栾城区校级期末）下列现象： （1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上． （2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． （3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线． （4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 5．（2024秋•朝阳区期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 　 　．（只填序号） 【题型3线段长度的计算】 1．（2023秋•东丰县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 2．（2023秋•陵水县期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝19，BC＝13． （1）求线段AM的长； （2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝6：7，求线段MN的长． 4．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，ACAB． （1）若AB＝60，求BC的长； （2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由． 5．（2023秋•广平县校级期中）直线l上的三个点A，B，C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm． （1）①当点P在点N的左侧时，求MP的长度； ②当点P在点N的右侧时，求MP的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度． 【题型4 角的概念及表示方法】 1．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（　　） A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角 3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•北京月考）如图所示，能用一个字母表示的角有 　 个，图中所有小于平角的角 有 　 　个． 【题型5角的度量及角度的运算】 1．（2023秋•广汉市期末）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 2．下列换算中，错误的是（　　） A．0.25°＝900″ B．16°5′24″＝16.09° C．47.28°＝47°16′48″ D．80.5°＝80°50′ 3．（2023无为市三模）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（　　） A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′ 4．（2023秋•新华区校级期末）把40°10'12″化为用度表示，下列正确的是（　　） A．40.11° B．40.16° C．40.17° D．40.26° 5．计算： （1）90°﹣57°23′27″； （2）22°18′×5； （3）180°﹣（34°55′+21°33′）； （4）（180°﹣91°31′24″）÷2． 【题型6 钟表中的角度问题】 1．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．120° B．125° C．135° D．150° 2．（2023春•肇东市期末）一节课45分钟，分针所转过的角度是（　　） A．180° B．270° C．90° D．45° 3．（2023秋•三明期末）时钟表面2点30分钟时，时针与分针所成的夹角是 　 　度． 4．（2023秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（　　） A．105° B．155° C．159° D．157° 【题型7 角度的计算】 1．（2023秋•宽城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB．若∠AOE＝35°，∠DOC＝65°，则∠DOE的大小是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 2．（2023秋•唐县期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65° 3．（2023秋•定远县期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A'，B'，E在同一直线上，已知，求的度数为　　 ． 4．（2023秋•未央区校级期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2，若∠BOE＝13°，求∠DOE的度数． 5．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线． （1）当∠BOC＝30°时，∠DOE＝　 　； （2）当∠BOC为任意锐角时，（1）中∠DOE的度数是否发生变化？请说明理由． 【题型8余角、补角、对顶角】 1．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 2．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 3．（2023秋•黄岩区期末）如果∠α和2∠β互补，且∠α＜2∠β，给出下列四个式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③；④．其中可以表示∠α余角的式子有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（2024春•临清市校级月考）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 5．（2023秋•上蔡县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【题型9 平行线的定义及平行公理】 1．（2023春•连平县校级期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 2．（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（　　） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内 3．（2023秋•姑苏区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 4．（2023春•望城区校级月考）下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 【题型10 垂线及其性质、点到直线的距离】 1．（2023春•澄迈县期末）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，直线AB表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P，则沿图中线段　 　修建可使用料最省，理由是　 　. 3.（2023春•新宾县期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•南宁期中）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD． （1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOE＝2α°，猜想OA与OB之间的位置关系，并证明． 【题型11 三线八角的识别】 1．（2023秋•衡山县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 2．（2023春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 　 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 　；图中∠4的内错角是 　 　． 3．如图．在图中， （1）同位角共　 　对，内错角共　 　对，同旁内角共　 　对； （2）∠1与∠2是　 　，它们是　 　被　 　截成的； （3）∠3与∠4中　 　被　 　所截而得到的角； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是　 　，同旁内角是　 　． 【题型12 平行线的判定与性质】 1．（2024春•广安期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 2．（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 3．（2024秋•东莞市校级期中）如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 4．（2023春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°． （1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数； （2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF． 5．（2024•宁津县开学）如图，已知CF∥AB，∠1+∠B＝180°． （1）尝试判断EF与BC平行吗？请说明理由； （2）若CF平分∠BCD，CF⊥AD于点F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数． 【题型13 多边形及相关概念】 1．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图图形中六边形的个数是（　　） A．1 B．4 C．2 D．3 3．（2024秋•凉州区校级月考）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【题型14 线段动点与动角的探究问题】 1．（2023秋•兴隆县期末）应用题：如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若AC＝4，求DE的长； （2）若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是 　 　； （3）试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变． 2．（2023秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 3．（2023秋•普宁市期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 4．（2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 1．（2023春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行 2．（2023秋•管城区月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2023•安康一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 3．（2023春•文昌期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 4．若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝180°+∠3 5．（2023秋•西安期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 6．（2023秋•天长市期中）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝56°，则∠COE＝62°．其中正确的是（　　） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 7．（2023秋•凉州区期末）某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　 　种不同的票价，应发行 　 　种不同的车票． 8．（2023春•呼和浩特期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为 　 　． 9．（2023•渝北区校级自主招生）已知线段AB＝15cm，点C为直线AB上一点，且AC＝7cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为 　　 ． 10．计算： （1）180°﹣（25°18′+65°56'）； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2． 11．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 12．（2023春•叶县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 13．（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 14．（2023秋•西安区期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，∠AOC＝45°，求∠DOE的度数； （2）在图①，∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数；（用含α的代数式表示） （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系． 15．（2023秋•驻马店期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点： ①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出EF的长． ②当CF＝0.8时，请直接写出线段DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ （苏科版）七年级上册数学期末复习 重要考点06 《平面图形的初步认识》十四大考点题型 ▲知识点1.线段、射线、直线 1、线段、射线、直线的表示方法、联系与区别 直线 射线 线段 图形 表示方法 1 用两个大写字母表示： 直线AB或（直线BA） 用它的端点和射线上的另一点来表示：射线OA 用表示端点的两个大写字母表示：线段 AB ( 或线段 BA ) 2 用一个小写字母表示： 直线m 用一个小写字母表 示： 射线d 用一个小写字母示： 线段 a 端点个数 0个 1个 2个 伸展性 向两个方向无限延伸 向一个方向无限延伸 不能延伸 度量 不可度量 不可度量 可度量 ▲知识点2. 两个基本事实和两点间的距离 1、线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短 . 2、两点之间的距离的定义：连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 3、关于直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线. 简单说成两点确定一条直线. ▲知识点3. 线段的长度 1、线段比较的方法: 方法一：度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较； 方法二：叠合法：将点A与点C重合，再进行比较； 2、线段的中点： 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点. ▲知识点4. 角度 概念和表示方法 1、角的概念：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角. 动态定义：如图（1）角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. ①如图（2），当射线旋转到起始位置OA与终止位置OB在一条直线上时，形成平角； ②如图（3），继续旋转，OB与OA重合时，又形成周角； 2、角的表示方法： 角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下四种： 记作：（1）∠AOB （2） ∠O （3）∠1 （4）∠α ▲知识点5. 角的比较及运算 1、角的比较有两种方法： 方法一：度量法，测量度数大的那个角就大，反之，度数小的那个角就小 . 方法二：叠合法：利用尺规作图把其中的一条边重合，通过观察另一条边的位置作比较 2、角的和、差 ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC的和 ，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC； ∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC－∠BOC； 类似地，∠AOC－∠AOB= ∠AOC 3、角的平分线： 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC. ▲知识点6. 余角和补角的概念及性质 余角的定义：如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称互余, 性质：同角（等角）的余角相等. 补角的定义：如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称互补, 性质：同角（等角）的补角相等. ▲知识点7. 相交线 1、对顶角：两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角. 性质：两直线相交，对顶角相等. 2、 垂直 （1）垂直概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足． 如图，AB垂直CD，垂足为 O．记作：AB ⊥CD 于点 O． 符号语言： 因为AB ⊥CD，所以　∠AOC = 90°． 反之，因为∠AOC = 90°， 所以AB⊥CD． （2）垂线基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【注意】“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”，“过一点”的点在直线上或直线外都可以． （3）垂线段及点到直线的距离 ◆垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． ◆垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短． 【注意】正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． ◆点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． ▲知识点7. 平行线 1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 记作：AB∥CD； 记作：a∥b； 读作：直线AB平行于直线CD． 读作：直线a平行于直线b． 2、平行线的画法：过直线外一点画已知直线的平行线的方法： 一“落”把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”沿三角尺过已知点的边画直线． 3.平行公理及推论 ★平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. ★平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. ▲知识点8. 同位角、内错角、同旁内角的特征 ▲知识点9. 平行线的判定 ★判定两直线平行的方法 （1）平行线的定义； （2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3利用同位角相等说明两直线平行； （4）利用内错角相等说明两直线平行； （5）利用同旁内角互补说明两直线平行； （6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行. ▲知识点10. 平行线的性质 性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ▲知识点11.多边形 1.多边形的定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形. 2.多边形的相关概念： 边 组成多边形的各条线段. 顶点 相邻两条边的公共端点. 内角 多边形相邻两边组成的角. 外角 多边形的边与它邻边的延长线组成的角. 对角线 连接多边形不相邻的两个顶点的线段. 3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 4.多边形的外角与相邻内角的关系：多边形的外角与相邻的内角互为补角. ▲知识点12.正多边形 定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫作正多边形.正多边形定义中，“各边相等”“各内角也相等”这两个条件缺一不可. 【题型1 直线、射线、线段的表示方法】 1．（2023秋•杜尔伯特县期末）下列说法错误的是（　　） A．直线AB和直线BA表示同一条直线 B．过一点能作无数条直线 C．射线AB和射线BA表示不同射线 D．射线比直线短 【分析】利用直线、射线、线段的定义判断． 【解答】解：直线AB和直线BA表示同一条直线，A选项正确； 过一点能作无数条直线，B选项正确； 射线AB和射线BA表示不同射线，C选项正确； 射线、直线都是无限长的，不能比较长短，D错误． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，解题的关键是掌握直线、射线、线段的定义． 2．（2023秋•襄城县期末）如图，小轩同学根据图形写出了四个结论： ①图中共有2条直线； ②图中共有7条射线； ③图中共有6条线段； ④图中射线BD与射线CD是同一条射线． 其中结论错误的是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【分析】根据直线、线段、射线的区别逐项分析判断即可． 【解答】解：①图中只有1条直线BD，故错误； ②以B、C为端点可以各引出两条射线，以D为端点可以引出3条射线，以A端点可以引出1条射线，则图中共有2×2+3+1＝8条射线，故错误； ③图中共有6条线段，即线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，故正确； ④图中射线BD与射线CD不是同一条射线，故错误； ∴错误的有①②④． 故选：D． 【点评】本题考查了直线、线段、射线的区别与联系，理解三者的区别是解题的关键． 3．（2023秋•北京月考）如图中，有 　 　条直线，　 　条射线，　 　条线段． 【分析】根据直线、射线、线段的定义即可得出答案． 【解答】解：如图所示，图中共有1条直线，8条射线，6条线段． 故答案为：1，8，6． 【点评】本题考查了根据直线、射线、线段的定义，注意结合图形作答，不要遗漏． 4．（2023秋•昌黎县期中）如图，能用字母表示的直线有　 　条；能用字母表示的线段有　 　条；在直线EF上的射线有　 　条． 【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到． 【解答】解：图中有直线AB、直线AD，直线EF有3条； 以B为端点的射线：有射线BE、射线BC；以C为端点的射线有：CE，CD；以D为端点的射线有：DC、DF，射线共有6条； 线段有：AB、BC、CA、BD、CD，AD共有6条． 故答案为：3，6，6． 【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键． 【题型2直线、线段的基本事实的应用】 1．（2024•长沙一模）值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点的距离最短 D．以上说法都不对 【分析】根据直线的性质公理，两点可以确定一条直线进行解答． 【解答】解：把每一列最前和最后的课桌看作两个点， ∴这样做的道理是：两点确定一条直线． 故选：B． 【点评】本题考查了直线的性质公理，确定出两点是利用公理的关键，是需要熟记的内容． 2．（2023秋•海港区期中）书法艺术是中华民族的瑰宝，作为艺术品，经常被人们挂起来欣赏．我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这里面包含的数学事实是（　　） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点能够确定多条直线 D．点动成线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，根据两点确定一条直线解答即可． 【解答】解：我们在挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固，这样做应用的数学知识是：两点确定一条直线， 故选：B． 【点评】本题考查了两点确定一条直线，熟练掌握直线的性质是解题的关键． 3．（2023秋•长春期末）如图是学校花圃的一角，小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点之间直线最短 【分析】直接利用线段的性质分析得出答案． 【解答】解：小明同学认为走AB比走折线A﹣C﹣B更近，他的数学依据是两点之间线段最短． 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4．（2023秋•栾城区校级期末）下列现象： （1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上． （2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设． （3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线． （4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程． 其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案． 【解答】解：（1）用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线； （2）从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，根据是两点之间线段最短； （3）植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线； （4）把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短． 故选：B． 【点评】此题主要考查了线段以及直线的性质，正确把握相关性质是解题关键． 5．（2024秋•朝阳区期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 　 　．（只填序号） 【分析】依据直线的性质进行判断，即可得出结论． 【解答】解：有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为②，③，④． 故答案为：②，③，④． 【点评】本题主要考查了直线的性质，关键是掌握直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线． 【题型3线段长度的计算】 1．（2023秋•东丰县期末）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB的长度是（　　） A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm 【分析】根据题意可以画出简单示意图，请仔细观察图形特点，找出已知条件和图形中的隐含的条件； 观察图形可知，BO＝AB﹣AO，即只要求出AO的值便可；由AB＝8cm，结合AO＝CO，可知AOAB，解答此题． 【解答】解：根据题意画出简单示意图： ∵AB+BC＝AC，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝8cm． ∵AO+CO＝AC，AO＝CO，AC＝8cm， ∴AO＝4cm． ∵AB＝5cm，AO＝4cm， ∴BO＝AB﹣AO＝5﹣4＝1cm． 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，掌握距离公式是解题关键． 2．（2023秋•陵水县期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．3cm B．5cm C．3cm或7cm D．5cm或7cm 【分析】分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时；②当点C在线段AB的延长线时．根据线段中点的定义，计算即可． 【解答】解：①当点C在线段AB上时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB﹣BC＝6cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC3cm，2cm， ∴MN＝MC+CN＝5cm； ②当点C在线段AB的延长线时，如图， ∵AB＝10cm，BC＝4cm， ∴AC＝AB+BC＝14cm， ∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC7cm，2cm， ∴MN＝MC﹣CN＝5cm； 综上，线段MN的长度时5cm． 故选：B． 【点评】本题考查两点间的距离，解题关键是熟练掌握线段中点的定义，难点在于分情况讨论． 3．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，点C在线段AB上，点M是AC的中点，AB＝19，BC＝13． （1）求线段AM的长； （2）在线段BC上取一点N，使得CN：NB＝6：7，求线段MN的长． 【分析】（1）先求出AC＝6，由中点得到AM＝3； （2）由中点得到MC＝3，根据CN：NB＝6：7求出CN的值，从而得到答案． 【解答】解：（1）∵点C在线段AB上，AB＝19，BC＝13， ∴AC＝AB﹣BC＝19﹣13＝6， ∵点M是AC的中点， ∴AMAC6＝3； （2）∵M是AC的中点， ∴MCAC＝3， ∵点N在线段BC上，BC＝13， ∴CN+NB＝BC＝13， 又∵CN：NB＝6：7， ∴CNBC13＝6， ∴MN＝MC+CN＝3+6＝9． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差是解题关键． 4．（2023秋•惠城区期末）已知点C是线段AB上一点，ACAB． （1）若AB＝60，求BC的长； （2）若AB＝a，D是AC的中点，E是BC的中点，请用含a的代数式表示DE的长，并说明理由． 【分析】（1）首先根据AB＝60，ACAB，求出AC的长度是多少；然后用AB的长减去AC的长，求出BC的长是多少即可． （2）首先根据D是AC的中点，E是BC的中点，可得：DCAC，CEBC，推得DEAB；然后根据AB＝a，用含a的代数式表示DE的长即可． 【解答】解：（1）∵AB＝60，， ∴， ∴BC＝AB﹣AC＝60﹣20＝40． （2）如图，， ∵D是AC的中点，E是BC的中点， ∴，， ∴DE＝DC+CEACBC（AC+BC）ABa． 【点评】此题主要考查了两点间的距离的求法，以及线段的中点的特征和应用，要熟练掌握． 5．（2023秋•广平县校级期中）直线l上的三个点A，B，C，若满足BCAB，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，BCAB，此时点C就是点A关于点B的一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm． （1）①当点P在点N的左侧时，求MP的长度； ②当点P在点N的右侧时，求MP的长度； （2）若点G也是直线m上一点，且点G是线段MP的中点，求线段GN的长度． 【分析】（1）①可求，由MP＝MN﹣PN即可求解；②可求，由MP＝MN+PN即可求解． （2）①当点P在点N的左侧时，可求，由GN＝GP+PN即可求解；②当点P在点N的右侧时，可求，由GN＝MN﹣MG即可求解． 【解答】解：（1）①如图， 因为点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm， 所以， 所以MP＝MN﹣PN ＝6﹣3＝3cm， 故MP的长度为3cm； ②如图， 因为点P是点M关于点N的“半距点”，MN＝6cm， 所以， 所以MP＝MN+PN ＝6+3＝9cm， 故MP的长度为9cm． （2）解：①当点P在点N的左侧时，如图， 由（1）得：MP＝3cm，PN＝3cm， 因为点G是线段MP的中点， 所以， 所以GN＝GP+PN ； ②当点P在点N的右侧时，如图， 由（1）得：MP＝9cm， 因为点G是线段MP的中点， 所以， 所以GN＝MN﹣MG ； 综上所述：线段GN的长度或． 【点评】本题主要考查了线段的和差及线段的中点定义，理解定义，掌握线段和差计算方法是解题的关键． 【题型4 角的概念及表示方法】 1．（2023秋•唐县期末）下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误； D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确； 故选：D． 【点评】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 2．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（　　） A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线 B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线 C．∠A和∠BAD表示的是同一个角 D．∠1和∠B表示的是同一个角 【分析】根据线的表示方法和角的表示方法逐个判断即可． 【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确； B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确； C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确； D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确； 故选：A． 【点评】本题考查了角的表示方法和线的表示方法的应用，准确识图是解题关键． 3．（2023秋•泗县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式． 【解答】解：画n条射线所得的角的个数为： 1+2+3+…+（n+1）． 故选：D． 【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 4．（2023秋•北京月考）如图所示，能用一个字母表示的角有 　 个，图中所有小于平角的角 有 　 　个． 【分析】根据角的概念和角的表示方法，依题意求得答案． 【解答】解：能用一个字母表示的角有2个：∠B，∠C； 小于平角的角有7个：∠BAD，∠BAC，∠DAC，∠B，∠C，∠ADB，∠ADC． 故答案为：2；7． 【点评】本题考查了角的概念：从一点引出两条射线组成的图形就叫做角．角的表示方法一般有以下几种：1．角+3个大写英文字母；2．角+1个大写英文字母；3．角+小写希腊字母；4．角+阿拉伯数字． 【题型5 角的度量及角度的运算】 1．（2023秋•广汉市期末）把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案． 【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″， 故选：A． 【点评】此题主要考查度、分、秒的转化运算，进行度、分、秒的转化运算，注意以60为进制． 2．下列换算中，错误的是（　　） A．0.25°＝900″ B．16°5′24″＝16.09° C．47.28°＝47°16′48″ D．80.5°＝80°50′ 【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意； B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意； C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意； D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了度分秒的换算，正确掌握运算法则是解题关键． 3．（2023无为市三模）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（　　） A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′ 【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数． 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′， ∴∠EAC＝32°20′， ∵∠EAD＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′； 故选：B． 【点评】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题． 4．（2023秋•新华区校级期末）把40°10'12″化为用度表示，下列正确的是（　　） A．40.11° B．40.16° C．40.17° D．40.26° 【分析】根据度分秒的进制，进行计算即可解答． 【解答】解：∵1'＝60''， ∴12''＝0.2'， ∵1°＝60'， ∴10.2'＝0.17°， ∴40°10'12''＝40.17°， 故选：C． 【点评】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 5．计算： （1）90°﹣57°23′27″； （2）22°18′×5； （3）180°﹣（34°55′+21°33′）； （4）（180°﹣91°31′24″）÷2． 【分析】（1）、（2）类比于数的减法和乘法计算方法计算即可，注意满60进一，借一当60． （3）先把括号内相加得到56°28′，再把180°化为179°60′，然后进行减法运算． （4）先把180°化179°59′60″，再进行括号内的减法运算，然后进行除法运算． 【解答】解：（1）原式＝89°59′60″﹣57°23′27″＝32°36′33″． （2）原式＝110°90′＝111°30′． （3）原式＝180°﹣55°88′ ＝179°60′﹣56°28′ ＝123°32′． （4）原式＝（179°59′60″﹣91°31′24″）÷2 ＝88°28′36″÷2 ＝44°14′18″． 【点评】此题考查度分秒的计算，注意掌握1°＝60′，1′＝60″． 【题型6 钟表中的角度问题】 1．（2024春•泰山区期中）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是（　　） A．120° B．125° C．135° D．150° 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：4.5×30°＝135°， ∴1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的度数是135°， 故选：C． 【点评】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 2．（2023春•肇东市期末）一节课45分钟，分针所转过的角度是（　　） A．180° B．270° C．90° D．45° 【分析】根据钟面角的定义，求出每分钟分针转过的角度即可． 【解答】解：钟面上每分钟，分针转过的角度为6°， 所以一节课45分钟，分针所转过的角度是6°×45＝270°， 故选：B． 【点评】本题考查钟面角，理解钟面角的定义，求出每分钟分针转过的角度是解决问题的关键． 3．（2023秋•三明期末）时钟表面2点30分钟时，时针与分针所成的夹角是 　 　度． 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，在2点30分时，时针位于3与4之间，分针指到6上，中间夹3.5份，所以时针与分针的夹角可求． 【解答】解：时钟在2点30分时，时针与分针所成角的度数为： 3.5×30°＝105°． 故答案为：105． 【点评】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形． 4．（2023秋•滕州市校级期末）在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为（　　） A．105° B．155° C．159° D．157° 【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，从而列式求解即可得到答案． 【解答】解：∵10：18时，时针与分针之间11到3间隔度数为30°×4＝120°，3分钟对应角度为，18分钟时针对应角度， ∴在时刻10：18，时钟上时针与分针的夹角为120°+18°+21°＝159°． 故选：C． 【点评】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键． 【题型7 角度的计算】 1．（2023秋•宽城区期末）如图，点A、O、B在同一条直线上，OC平分∠DOB．若∠AOE＝35°，∠DOC＝65°，则∠DOE的大小是（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【分析】根据OC平分∠DOB，∠DOC＝65°，可得∠BOD＝2∠DOC＝130°，所以得∠AOD＝50°，即可以求出∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝85°． 【解答】解：∵OC平分∠DOB，∠DOC＝65°， ∴∠BOD＝2∠DOC＝130°， ∴∠AOD＝180°﹣130°＝50°， ∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝50°+35°＝85°． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的定义和角的和差，关键是结合图形求解． 2．（2023秋•唐县期末）已知∠AOB＝30°，OD平分∠AOB，∠BOC＝50°，则∠DOC的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或80° D．35°或65° 【分析】分两种情况画出图形，根据角平分线的定义结合图形求出∠DOC的度数即可． 【解答】解：当∠AOB在∠BOC的外部时，如图1所示： ∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB， ∴， ∵∠BOC＝50°， ∴∠DOC＝∠BOD+∠BOC＝65°； 当∠AOB在∠BOC的内部时，如图2所示： ∵∠AOB＝30°，OD平分∠AOB， ∴， ∵∠BOC＝50°， ∴∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝35°； 综上分析可知，∠DOC的度数为35°或65°，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考出了角平分线的定义，几何图形中角的计算，解题的关键是根据题意画出图形，注意分类讨论． 3．（2023秋•定远县期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EN，EM为折痕，折叠后点A'，B'，E在同一直线上，已知，求的度数为　　 ． 【分析】根据折叠的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【解答】解：由题意知，， 则，， 所以， ∵， ∴． 故答案为：58°． 【点评】本题考查了折叠的性质，角的计算，解决此类问题的关键，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 4．（2023秋•未央区校级期末）如图，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，∠AOB：∠BOC＝3：2，若∠BOE＝13°，求∠DOE的度数． 【分析】首先设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x，再根据角平分线性质可得∠AOE∠AOCx，再根据角的和差关系可得∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3xxx， 进而得到x＝13°，再解方程即可得到x＝26°，进而得到答案 【解答】解：设∠AOB＝3x，∠BOC＝2x． 则∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝5x． ∵OE是∠AOC的平分线， ∴∠AOE∠AOCx， ∴∠BOE＝∠AOB﹣∠AOE＝3xxx， ∵∠BOE＝13°， ∴x＝13°， 解得，x＝26°， ∵OD是∠BOC的平分线， ∴∠BOD∠BOC＝x＝26°， ∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝26°+13°＝39°． 【点评】此题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系． 5．（2023秋•公主岭市期末）如图，∠AOB＝90°，OC在∠AOB的内部，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线． （1）当∠BOC＝30°时，∠DOE＝　 　； （2）当∠BOC为任意锐角时，（1）中∠DOE的度数是否发生变化？请说明理由． 【分析】（1）先根据∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC，求出∠AOC，再根据角平分线的性质求出∠COD和∠COE，最后根据∠DOE＝∠COD+∠COE，求出答案即可； （2）先根据角平分线的性质求出∠COD，最后根据∠DOE＝∠COD+∠COE，求出∠DOE，并用∠AOB表示，进行解答即可． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°， ∵OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线， ∴， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝30°+15°＝45°， 故答案为：45°； （2）∠DOE的度数不发生变化，理由如下： ∵OD、OE分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线， ∴，， ∴ ∵∠AOB＝90°， ∴∠DOE＝45°． 【点评】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义和性质，正确识别图形，找出角与角之间的数量关系． 【题型8 余角、补角、对顶角】 1．（2023秋•南岗区校级期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOD＝100°，则∠BOE＝（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】根据邻补角的性质以及角平分线的定义即可解决问题； 【解答】解：∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣100°＝80°， 又∵OE平分∠BOD， ∴∠BOE∠BOD＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查邻补角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 2．小明将一副三角板摆成如图形状，下列结论不一定正确的是（　　） A．∠COA＝∠DOB B．∠COA与∠DOA互余 C．∠AOD＝∠B D．∠AOD与∠COB互补 【分析】由余角和补角的概念分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵∠COD＝∠AOB＝90°， ∴∠COD﹣∠AOD＝∠AOB﹣∠AOD， 即∠AOC＝∠DOB，故选项A不符合题意； B、∵∠COA+∠DOA＝90°， ∴∠COA与∠DOA互余，故选项B不符合题意； C、当AB⊥OD时，∠AOD＝∠B，故选项C符合题意； D、∵∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠COA+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝90°+90°＝180°， ∴∠AOD与∠COB互补，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了余角和补角的概念，熟记余角和补角的概念是解题的关键． 3．（2023秋•黄岩区期末）如果∠α和2∠β互补，且∠α＜2∠β，给出下列四个式子：①90°﹣∠α；②2∠β﹣90°；③；④．其中可以表示∠α余角的式子有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】若两个角之和为90°，这两个角互余；若两个角之和为180°，这两个角互补，据此即可作答． 【解答】解：∵∠α与2∠β互补， ∴∠α+2∠β＝180°， ∴， ①由余角的定义知90°﹣∠α为∠α的余角； ②∵， ∴2∠β﹣90°与∠α互余； ③∵， ∴与∠α互余； ④由③可知不是∠α的余角， ∴可以表示∠α的余角的有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了余角和补角，熟记余角和补角的概念是解题的关键． 4．（2024春•临清市校级月考）（1）如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数． （2）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数． 【分析】（1）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． （2）设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数． 【解答】解：（1）设这个角为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°， 根据题意，得180°﹣x＝4（90°﹣x）， 解得x＝60°， 故这个角的度数是60°． （2）设这个角的度数为x°，则这个的补角的度数为（180﹣x）°，它的余角的度数为（90﹣x）°， 根据题意，得：180°﹣x＝2（90°﹣x）+40°， 解得x＝40°． 故这个角的度数为40°． 【点评】本题考查了余角和补角，列方程是解题的关键． 5．（2023秋•上蔡县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB，在直线AB另一侧以O为顶点作∠DOE＝90°． （1）若∠AOE＝46°，那么∠BOD＝　　 ；∠AOE与∠DOB的关系是 　； （2）∠AOE与∠COD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由． 【分析】（1）先根据平角的意义，得∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°，再由条件可知∠AOE+∠BOD＝90°，可求得答案； （2）先证得，∠DOE＝90°，再利用平角的定义证得∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝90°，即可证∠AOE+∠COD＝180°． 【解答】解：（1）∵点O在直线AB上， ∴∠AOE+∠EOD+∠BOD＝180°， 又∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣90°＝90°， 若∠AOE＝46°，则∠BOD＝90°﹣46°＝44°； 故填：44°，互余． （2）∠AOE+∠COD＝180°，理由如下： ∵点O是直线AB上一点，OC平分∠AOB， ∴， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOE+∠BOD＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠AOE+∠COD＝∠AOE+∠BOD+∠BOC＝90°+90°＝180°， 即：∠AOE+∠COD＝180°． 【点评】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键． 【题型9 平行线的定义及平行公理】 1．（2023春•连平县校级期中）在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c，b与c的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交 【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线得出即可． 【解答】解：∵在同一个平面内，直线a、b相交于点P，a∥c， ∴b与c的位置关系是相交， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线，相交线的应用，能根据定理进行判断是解此题的关键，注意：过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线． 2．（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（　　） A．在同一个平面内 B．不相交 C．平行或重合 D．不在同一个平面内 【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案． 【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d； 当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d， 故C正确； 故选：C． 【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．（2023秋•姑苏区校级期末）如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列各棱与棱AB平行的是（　　） A．BC B．CG C．EH D．HG 【分析】在同一平面内，不相交的两直线平行，根据平行线的定义，结合图形直接判断即可． 【解答】解：结合图形可知，与棱AB平行的棱有CD，EF，GH． 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的定义，注意在同一平面内，两直线的位置关系只有平行和相交． 4．（2023春•望城区校级月考）下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 【分析】分别利用平行公理以及平行线的判定与性质分别分析得出答案． 【解答】解：A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，正确，不合题意； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，正确，不合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，正确，不合题意； D、在同一平面内，不相交的两条线段是平行线，错误，符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了平行公理以及平行线的判定与性质，正确把握相关定理是解题关键． 【题型10 垂线及其性质、点到直线的距离】 1．（2023春•澄迈县期末）过点C向AB边作垂线段，下列画法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据垂线段的定义及题意逐个图进行判断即可得出正确结论． 【解答】解：A．此选项是过点A作BC边的垂线段，故错误； B．此选项是过点B作AB边的垂线段，故错误； C．此选项是过点C作AB边的垂线段，故此项正确； D．此选项是过点B作CA边的垂线段，故错误． 故选：C． 【点评】本题考查了垂线段的定义及作法，是一道基础题，解题时要善于观察，准确理解垂线段的定义是解题的关键． 2.如图，直线AB表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄P，则沿图中线段　 　修建可使用料最省，理由是　 　. 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短即可得出结论． 【解答】解：由图可得，PD＜PC＜PE， ∴沿图中线段PD修建可使用料最省，理由是垂线段最短， 故答案为：PD，垂线段最短． 【点评】本题考查的是垂线段的性质，熟知垂线段最短是解答此题的关键． 3.（2023春•新宾县期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等积法求出点C到直线AB的距离即可． 【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB， ∴， ∴， 即点C到直线AB的距离为，故C正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形面积计算，点到直线的距离，解题的关键是根据等积法求出． 4．（2023春•南宁期中）如图，直线EF，CD相交于点O，OC平分∠AOF，∠AOE＝2∠BOD． （1）若∠AOE＝40°，求∠DOE的度数； （2）若∠AOE＝2α°，猜想OA与OB之间的位置关系，并证明． 【分析】（1））根据邻补角的定义，由∠AOE＝40°，得∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°．根据角平分线的定义，由OC平分∠AOF，得∠COF70°．根据对顶角的定义，得∠DOE＝∠COF＝70°． （2）根据邻补角的定义，由∠AOE＝2α°，得∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2α°．根据角平分线的定义，由OC平分∠AOF，得∠COF90°﹣α°．根据对顶角的定义，得∠DOE＝∠COF＝90°﹣α°．由∠AOE＝2∠BOD＝2α°，得∠BOD＝α°，从而推断出∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°，那么∠AOB＝90°． 【解答】解：（1）∵∠AOE＝40°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°． ∵OC平分∠AOF， ∴∠COF70°． ∴∠DOE＝∠COF＝70°． （2）OA⊥OB，证明过程如下： ∵∠AOE＝2α°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2α°． ∵OC平分∠AOF， ∴∠COF90°﹣α°． ∴∠DOE＝∠COF＝90°﹣α°． ∵∠AOE＝2∠BOD＝2α°， ∴∠BOD＝α°． ∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣α°﹣α°＝90°﹣2α°． ∴∠AOB＝∠BOE+∠AOE＝90°﹣2α°+2α°＝90°． ∴OA⊥OB． 【点评】本题主要考查对顶角以及邻补角、角平分线的定义、角的和差关系，熟练掌握对顶角以及邻补角、角平分线的定义、角的和差关系是解决本题的关键． 【题型11 三线八角的识别】 1．（2023秋•衡山县期末）下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．③④ D．①②④ 【分析】利用同位角定义进行解答即可． 【解答】解：图①②④中，∠1和∠2是同位角， 故选：D． 【点评】此题主要考查了同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形． 2．（2023春•赵县月考）如图所示，直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是 　 ；直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是 　；图中∠4的内错角是 　 　． 【分析】根据内错角的定义找出即可． 【解答】解：直线AB与BC被直线AD所截得的内错角是∠1和∠3， 直线DE与AC被直线AD所截得的内错角是∠2和∠4， 图中∠4的内错角是∠2和∠BED， 故答案为：∠1和∠3，∠2和∠4，∠2和∠BED． 【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义等知识点，能正确识图是解此题的关键． 3．如图．在图中， （1）同位角共　 　对，内错角共　 　对，同旁内角共　 　对； （2）∠1与∠2是　 　，它们是　 　被　 　截成的； （3）∠3与∠4中　 　被　 　所截而得到的角； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是　 　，同旁内角是　 　． 【分析】（1）直接利用同位角、内错角、同旁内角的定义得出答案； （2）利用内错角的定义得出答案； （3）利用内错角的定义得出答案； （4）利用已知图形得出内错角、同旁内角． 【解答】解：（1）同位角共4对，内错角共6对，同旁内角共12对． 故答案为：4；6；12； （2）∠1与∠2是内错角，它们是AD、BC被AC截成的． 故答案为：内错角；AD、BC；AC； （3）∠3与∠4中AB、CD被AC所截而得到的角． 故答案为：AB、CD；AC； （4）AB和BE被AC所截而成的内错角是∠3和∠ACE，同旁内角是∠3和∠2． 故答案为：∠3和∠ACE；∠3和∠2． 【点评】此题主要考查了内错角、同位角、同旁内角的定义，正确把握相关定义是解题关键． 【题型12 平行线的判定与性质】 1．（2024春•广安期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AC∥DF的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠4+∠2＝180° C．∠2＝∠3 D．∠A＝∠1 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴EF∥AB， 故A符合题意； ∵∠4+∠2＝180°， ∴AC∥DF， 故B不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴AC∥DF， 故C不符合题意； ∵∠A＝∠1， ∴AC∥DF， 故D不符合题意； 故选：A． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 2．（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　） A．88° B．89° C．90° D．91° 【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数． 【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°， ∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC， ∵∠BOC＝133°， ∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°， ∴∠OCD＝∠POC＝89°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 3．（2024秋•东莞市校级期中）如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（　　） A．30° B．60° C．80° D．不能确定 【分析】先由翻折变换的性质求出∠FEG的度数，再根据平行线的性质求出∠AGE的度数即可． 【解答】解：由翻折变换的性质可知∠FEG＝∠FEC， ∵∠FEC＝30°， ∴∠FEG＝30°， ∴∠CEG＝∠FEC+∠FEG＝60°， ∵AD∥BC， ∴∠AGE＝∠CEG＝60°． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质以及翻折的性质，解题的关键是根据平行线的性质找到相等的角． 4．（2023春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°． （1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数； （2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF． 【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解； （2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF． 【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC， ∴∠BHC+∠HBF＝180°， ∴BF∥EC， ∴∠ACE＝∠F＝30°， 又∵CE平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠ACE＝60°． 故∠ACB的度数为60°； （2）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠ACE， ∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G， ∴∠BCE＝∠G， ∴DG∥EC， 又∵BF∥EC， ∴DG∥BF． 【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 5．（2024•宁津县开学）如图，已知CF∥AB，∠1+∠B＝180°． （1）尝试判断EF与BC平行吗？请说明理由； （2）若CF平分∠BCD，CF⊥AD于点F，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数． 【分析】（1）由CF∥AB可得∠B+∠FCB＝180°，再结合∠1+∠B＝180°可得∠1＝∠FCB，可得EF∥BC； （2）由CF⊥AD，可得∠CFD＝90°，再结合CF平分∠BCD，∠BCD＝54°，可求得∠DCF＝∠FCB＝27°，则可求∠DFE的度数． 【解答】（1）证明：EF∥BC，理由如下： ∵CF∥AB， ∴∠B+∠FCB＝180°， ∵∠1+∠B＝180°， ∴∠1＝∠FCB， ∴EF∥BC； （2）解：∵CF⊥AD， ∴∠CFD＝90°， ∵CF平分∠BCD，∠BCD＝54°， ∴∠DCF＝∠FCB＝27°， 由（1）可得∠1＝∠FCB＝27° ∴∠DFE＝∠CFD﹣∠1＝63°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用． 【题型13 多边形及相关概念】 1．如图所示的图形中，属于多边形的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第四个． 【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个． 故选：A． 【点评】本题主要考查了多边形的定义，理解多边形的定义，根据定义进行正确判断． 2．如图图形中六边形的个数是（　　） A．1 B．4 C．2 D．3 【分析】根据六边形的定义，数一数所给出图形的边数即可得出答案． 【解答】解：如图： ∵图1和图2是六边形，图3是五边形，图4是七边形， ∴图形中六边形的个数是2． 故选：C． 【点评】此题主要考查了多边形的定义，理解由六条边依次首尾相连接所组成的封闭图形是六边形是解答此题的关键． 3．（2024秋•凉州区校级月考）过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成的三角形的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．据此解答即可． 【解答】解：∵从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）， ∴过五边形一个顶点的所有对角线，把这个多边形分成三角形的个数是5﹣2＝3（个）， 故选：A． 【点评】本题主要考查多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 4．（2024秋•滨海新区校级月考）如图，从五边形纸片ABCDE中剪去一个三角形，剩余部分是（　　） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【分析】分为三种情况，画出图形，解答即可． 【解答】解：如图1，剩余图形是四边形； 如图2，剩余图形是五边形； 如图3，剩余图形是六边形； 综上所述，剩余的部分是四边形或五边形或六边形． 故选：D． 【点评】本题考查了多边形，能画出符合的所有情况是解此题的关键． 【题型14 线段动点与动角的探究问题】 1．（2023秋•兴隆县期末）应用题：如图，已知线段AB＝12cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点． （1）若AC＝4，求DE的长； （2）若C为AB的中点，则AD与AB的数量关系是 　 　； （3）试着说明，不论点C在线段AB上如何运动，只要不与点A和B重合，那么DE的长不变． 【分析】（1）首先根据线段的和差关系求出BC＝AB﹣AC＝8，然后根据线段中点的概念求出DC＝2，CE＝4，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【解答】解：（1）因为AC＝4， 所以BC＝AB﹣AC＝8． 因为点D是AC的中点． 所以DC＝2， 因为点E是BC的中点． 所以CE＝4， 所以DE＝DC+CE＝6（cm）； （2）∵C为AB的中点， ∴， ∵点D是AC的中点， ∴； （3）因为点D是AC的中点． 所以， 因为点E是BC的中点． 所以， 所以， 所以，DE的长不变． 【点评】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 2．（2023秋•新抚区期末）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动． （1）若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s． ①若2cm＜AP＜14cm，当动点C，D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP：PB； （2）若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度． 【分析】（1）①先计算BD，PC，再计算AC+PD． ②利用中点的性质求解． （2）将AP用其它线段表示即可． 【解答】解：（1）①由题意得：BD＝2×2＝4（cm），PC＝1×2＝2（cm）． ∴AC+PD＝AB﹣PC﹣BD＝18﹣2﹣4＝12（cm）． 故答案为：12； ②∵点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，设运动时间为t， 则：AP＝2PC＝2t，BP＝2BD＝4t， ∴AP：PB＝2t：4t＝1：2． 故答案为：1：2； （2）设运动时间为t，则PC＝t，BD＝3t， ∴BD＝3PC， ∵PD＝3AC． ∴PB＝PD+BD＝3PC+3AC＝3（PC+AC）＝3AP． ∴APAB（cm）． 【点评】本题考查求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键． 3．（2023秋•普宁市期末）已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠COE，∠DOB的度数． （2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由∠AOC＝30°，∠COD是直角，可知∠BOC＝150°，∠BOD＝60°，因为OE平分∠BOC，所以； （2）设∠AOC＝α，因为∠COD是直角，所以∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°，因为OE平分∠BOC，所以；所以． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∠COD＝90°， ∴∠DOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°， ∵OE平分∠BOC， ∴； （2）．理由如下： 设∠AOC＝α， ∵∠COD是直角， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，∠COD＝90°， ∵OE平分∠BOC， ∴； ∴． 即． 【点评】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义等知识，关键是由图形得到角度之间的关系． 4．（2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°． （1）求∠EOB的度数． （2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发 　 　分钟． 【分析】（1）根据题意可求得∠EOF＝53°，再由角平分线的定义可得∠AOE＝106°，从而可求∠EOB的度数； （2）先求解∠FOD＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解即可； （3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，分两种情况列方程，计算可求解． 【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°， ∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°． ∵OF 平分∠AOE， ∴∠AOE＝53°×2＝106°． ∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°． （2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°， ∴∠EOD＝90°． ∴∠FOD＝90°+53°＝143°． 设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143， 解得：x＝26． 答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合． （3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°， 设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°， 当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t， 解得t＝20； 当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t， 解得t＝32， 综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°． 故答案为：20或32． 【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，角平分线的定义，对顶角与补角，理解题意正确列方程是解题的关键． 1．（2023春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条不相交的直线叫做平行线 B．一条直线的平行线有且只有一条 C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥c D．若两条线段不相交，则它们互相平行 【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案． 【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误； B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误； C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确； D、根据平行线的定义知是错误的． 故选：C． 【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键． 2．（2023秋•管城区月考）下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”进行判断即可． 【解答】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧可以利用“两点确定一条直线”来解释，而弯曲公路改直，则可以利用“两点之间线段最短”来解释，所以可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有3个， 故选：C． 【点评】本题考查直线的性质，掌握“两点确定一条直线”，“两点之间线段最短”的基本事实是正确判断的关键． 4．（2023•安康一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，若∠AOE＝50°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【分析】根据垂线定义可求得∠EOC＝90°，进而求得∠AOC，再根据对顶角相等求解即可． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠EOC＝90°， ∴∠EOA+∠AOC＝90°， ∵∠AOE＝50°， ∴∠AOC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BOD＝∠AOC＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查垂线定义、对顶角相等，熟练掌握垂线定义和对顶角相等是解答的关键． 3．（2023春•文昌期末）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】根据垂线段最短可得答案． 【解答】解：根据垂线段最短可得：应建在A处， 故选：A． 【点评】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 4．若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1与∠3的关系（　　） A．互余 B．互补 C．相等 D．∠1＝180°+∠3 【分析】根据等角的补角相等的性质即可求解． 【解答】解：若∠1+∠2＝180°，∠2+∠3＝180°，则∠1＝∠3． 故选：C． 【点评】此题考查了余角和补角的性质：等角的补角相等．等角的余角相等． 5．（2023秋•西安期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、BA、AC上的点，连接EF，ED，EC，则下列条件中，能判定DE∥AC的是（　　） A．∠BED＝∠EFC B．∠1＝∠2 C．∠BEF+∠B＝180° D．∠3＝∠4 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：由∠BED＝∠EFC，不能判定DE∥AC， 故A不符合题意； ∵∠1＝∠2， ∴EF∥BC， 故B不符合题意； ∵∠BEF+∠B＝180°， ∴EF∥BC， 故C不符合题意； ∵∠3＝∠4， ∴DE∥AC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 6．（2023秋•天长市期中）如图，点O是直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，则以下结论：①∠AOD与∠BOE互为余角；②；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝56°，则∠COE＝62°．其中正确的是（　　） A．只有①④ B．只有③④ C．只有①③④ D．①②③④ 【分析】根据余角和补角的概念进行解答即可． 【解答】解：∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°， ∴∠AOD与∠BOE互为余角，故①正确． ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE，无法推断得到，故②错误． 设∠COD＝x， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣x， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE，则∠AOD＝90°﹣2x， ∵∠AOD+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝2x，即∠BOE＝2∠COD，故③正确． ∵∠BOE＝56°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝124°． ∵OC平分∠AOE， ∴，故④正确． 综上：正确的有①③④． 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线、余角与补角，根据补角以及角平分线的定义解决此题． 7．（2023秋•凉州区期末）某复兴号列车在哈尔滨和北京之间运行，途中要停靠于3个站点，如果任意两站之间的票价都不同，那么有 　 　种不同的票价，应发行 　 　种不同的车票． 【分析】作出线段图，然后找出图中的线段的条数即可． 【解答】解：如图，途中有3个站点， 共有线段：AC、AD、AE、AB， CD、CE、CB， DE、DB， EB共10条线段， 所以共有10种不同的票价； 因为往返的车票不同， 所以应发行20种不同的车票． 故答案为：10，20． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 8．（2023春•呼和浩特期末）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．∠DOG的度数为 　 　． 【分析】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可． 【解答】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°， ∴∠BOF＝∠AOE＝70°， ∵CD⊥EF， ∴∠DOF＝90°， ∵OG平分∠BOF， ∴， ∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的性质，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2023•渝北区校级自主招生）已知线段AB＝15cm，点C为直线AB上一点，且AC＝7cm，点D为线段BC的中点，则线段AD的长为 　　 ． 【分析】分点C在线段AB上和在线段BA的延长线上，两种情况，进行讨论求解即可． 【解答】解：当点C在线段AB上时： ∵AB＝15cm，AC＝7cm， ∴BC＝AB﹣AC＝8cm， ∵D为线段BC的中点， ∴， ∴AD＝AC+CD＝11cm； 当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC＝22cm， ∵D为线段BC的中点， ∴， ∴AD＝CD﹣AC＝4cm； 综上：AD的长为4cm或11cm； 故答案为：4cm或11cm． 【点评】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 10．计算： （1）180°﹣（25°18′+65°56'）； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2． 【分析】（1）先算括号内的加法，再算减法即可； （2）先算括号内的减法，再算乘法，最后算加法即可． 【解答】解：（1）180°﹣（25°18′+65°56'） ＝180°﹣91°14′ ＝88°46′； （2）（31°40′﹣25°4′30″）×3+283°×2 ＝6°35′30″×3+283°×2 ＝19°46′30″+566° ＝585°46′30″． 【点评】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 11．（2023秋•随县期末）如图，点C为线段AB上一点，AC＝12cm，，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 【分析】根据AC＝12cm，，可得CB的长，根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AD、AE的长，再根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：∵AC＝12cm，， ∴， ∴AB＝AC+CB＝12+8＝20cm， ∵D、E分别为AC、AB的中点， ∴，， ∴DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4cm． 【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质． 12．（2023春•叶县期中）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE＝∠BOD，OF平分 ∠AOE． （1）判断OF与OD的位置关系，并说明理由； （2）若∠AOC：∠AOD＝1：4，求∠EOF的度数． 【分析】（1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案； （2）结合已知得出∠AOC的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【解答】解：（1）OF与OD的位置关系：互相垂直，理由如下： ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠FOE， ∵∠DOE＝∠BOD， ∴∠AOF+∠BOD＝∠FOE+∠DOE180°＝90°， ∴OF与OD的位置关系：互相垂直； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：4， ∴∠AOC180°＝36°， ∴∠BOD＝∠EOD＝36°， ∴∠AOE＝180°﹣2×36°＝108， ∴∠EOF∠AOE＝54°． 【点评】本题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，正确得出各角之间关系是解题关键． 13．（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°． （1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由； （2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°． 【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下： ∵AB∥CF，∠ACF＝80°， ∴∠BAC＝∠ACF＝80°， ∵∠CAD＝20°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°， ∵∠ADE＝120°， ∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°， ∴DE∥AB． （2）DE∥AB，∠CED＝71°， ∴∠B＝∠CED＝71°， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°． 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定． 14．（2023秋•西安区期末）已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． （1）如图①，∠AOC＝45°，求∠DOE的度数； （2）在图①，∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数；（用含α的代数式表示） （3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其它条件保持不变，探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系． 【分析】（1）根据角平分线的性质进行计算即可； （2）根据（1）的结论求解即可； （3）由∠COD＝90°，OE，OE平分∠BOC可得，∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE．可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝135°，∠COD是直角，OE平分∠BOC， ∴． （2）由（1）得，即． （3）∠AOC＝2∠DOE． 由题意可得：∠COE＝∠BOE＝90°﹣∠DOE． ∴∠AOC＝180°﹣2（90°﹣∠DOE），即∠AOC＝2∠DOE． 【点评】本题考查角的计算，正确记忆相关知识点是解题关键． 15．（2023秋•驻马店期末）线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． （1）如图1，当AC＝4时，求DE的长． （2）如图2，F为AD的中点： ①点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出EF的长． ②当CF＝0.8时，请直接写出线段DE的长． 【分析】（1）先求出BC＝12，再根据线段中点的定义得到CE＝6，最后根据DE＝CE﹣CD可得答案； （2）①根据EF＝AB（AB+CD）可得结论； ②分两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）∵AC＝4，AB＝16， ∴BC＝12， ∵E为BC的中点， ∴CE＝6， ∵CD＝2， ∴DE＝6﹣2＝4； （2）①∵E是BC的中点，F是AD的中点， ∴，， ∴EF＝FD+DE 16﹣1 ＝7， ∴线段EF的长度不会发生变化，EF＝7； ②当点F在点C的左侧时， ∵FC＝0.8，CD＝2， ∴FD＝FC+CD＝2.8， 由①知EF＝7， ∴DE＝EF﹣FD＝7﹣2.8＝4.2， 当点F在点C的右侧时， ∵FC＝08，CD＝2， ∴FD＝CD﹣FC＝1.2， 由①知EF＝7， ∴DE＝EF﹣FD＝7﹣1.2＝5.8， 综上所述，当CF＝0.8时，线段DE的长为4.2或5.8． 【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$